Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P1

Die Abbildung zeigt den Graphen der
Funktion $f$ mit $f (x) = a \cdot b^{x}$ mit $a > 0$ und $b > 0$ .
Bestimmen Sie die passenden Werte von $a$ und $b$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Anfangswert $a$
Bei $y = 0,5$ verläuft der Graph durch die y-Achse. Damit ist der Anfangswert $a = 0,5$ .
Wachstumsrate $b$
Lies einen weiteren Punkt des Graphen wie $P (1 | 2)$ aus dem Koordinatensystem ab. Wir setzen ihn in die Funktionsgleichung ein:
$f (x)$ $=$ $0,5 \cdot b^{x}$
↓
Punkt einsetzen
$2$ $=$ $0,5 \cdot b^{1}$ $: 0,5$
$4$ $=$ $b$
Damit ist die Funktionsgleichung: $f (x) = 0,5 \cdot 4^{x} $
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Bestimme den Anfangswert $a$ mithilfe der Stelle, an der der Graph durch die y-Achse geht.
Bestimme $b$ mit einem weiteren Punkt des Graphen.
Der Graph der in $ℝ$ definierten Funktion $g$ mit $g (x) = 3^{x}$ wird um $2$ in negative $x$ -Richtung verschoben.
Zeigen Sie, dass der dadurch entstehende Graph auch durch eine Streckung des Graphen von $g$ in $y$ -Richtung erzeugt werden kann. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Verschiebung um $2$ in negativer $x$ -Richtung
$g (x) = 3^{x + 2}$
Umformung von $g (x)$
$g (x) = 3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 9 \cdot 3^{x}$
Somit kann $g (x)$ auch durch eine Streckung in $y$ -Richtung um den Faktor $9$ erzeugt werden.
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Verschiebe die Funktion um $2$ in negative $x$ -Richtung.
Wende die Potenzgesetze an.

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$f (x)$	$=$	$0,5 \cdot b^{x}$
	↓	Punkt einsetzen
$2$	$=$	$0,5 \cdot b^{1}$	$: 0,5$
$4$	$=$	$b$

Aufgabe P1

Anfangswert a

Wachstumsrate b

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Verschiebung um 2 in negativer x-Richtung

Umformung von g(x)

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Anfangswert $a$

Wachstumsrate $b$

Verschiebung um $2$ in negativer $x$ -Richtung

Umformung von $g (x)$