Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Anfangswert $a$

Bei $y=0{,}5$ verläuft der Graph durch die y-Achse. Damit ist der Anfangswert $a=0{,}5$.

Wachstumsrate $b$

Lies einen weiteren Punkt des Graphen wie $P(1\mid 2)$ aus dem Koordinatensystem ab. Wir setzen ihn in die Funktionsgleichung ein:

Damit ist die Funktionsgleichung: $f(x)=0{,}5⋅4^x$

Verschiebung um $2$ in negativer $x$-Richtung

$g(x)=3^{x+2}$

Umformung von $g(x)$

$g(x)=3^{x+2}= 3^x\cdot3^2=9\cdot3^x$

Somit kann $g(x)$ auch durch eine Streckung in $y$-Richtung um den Faktor $9$ erzeugt werden.

Linearfaktoren bilden

• Linearfaktor für $x=1$ $\quad\Rightarrow\quad$$(x-1)$

• Linearfaktor für $x=2$ $\quad\Rightarrow\quad$$(x-2)$

• Linearfaktor für $x=-3$ $\quad\Rightarrow\quad$$(x+3)$, da $(-(-3)=3)$

Linearfaktordarstellung

$f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$

Ausmultiplizieren

Also ist eine mögliche Funktionsgleichung für die gegebene ganzrationale Funktion $f(x)=x^3-7x+6.$

Nullstellen berechnen

$x_1=-4$

$x_2=6$

$2$. Ableitung

$h''\left(x\right)=2x-2$

Hinreichende Bedingung

$h''\left(-4\right)=2⋅(-4)-2=-10$

$h''\left(6\right)=2⋅6-2=10$

Da beide ungleich Null sind , sind $x_1=-4$ und $x_2=6$ Extremstellen des Graphen von $h$.

Vektoren bilden

$A(0|0| 0), B(8|6| 0) \Rightarrow\ \overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-0\\6-0\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}$

$A(0|0| 0), C(4|3| z) \Rightarrow\ \overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-0\\3-0\\z-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}$

$B(8|6| 0), C(4|3| z) \Rightarrow\ \overrightarrow{{BC}}=\begin{pmatrix}c_1-b_1\\c_2-b_2\\c_3-b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-8\\3-6\\z-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-3\\z\end{pmatrix}$

Länge berechnen

$\left|\overrightarrow{{AB}}\right|=\left|\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{8^2+6^2+0^2}=\sqrt{100}=10$

$\left|\overrightarrow{{AC}}\right|=\left|\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+3^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

$\left|\overrightarrow{{BC}}\right|=\left|\begin{pmatrix}-4\\-3\\z\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

Da $\overrightarrow{{AC}}$und $\overrightarrow{{BC}}$ gleich lang sind, ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig und die Basis ist $\overline{AB}$.

Flächeninhalt berechnen

Für die Vektoren $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\\{y}_3\end{pmatrix}$lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks im Dreidimensionalen mit folgender Formel berechnen:

${A}_{ABC}=\frac12\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\ =\frac12\left|\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}\right|=\frac12\sqrt{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)^2+\left(x_3y_1-x_1y_3\right)^2+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2}$

$\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\ \frac12\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\ =\frac12\left|\begin{pmatrix}6⋅z-0⋅3\\0⋅4-8⋅z\\8⋅3-6⋅4\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}6z\\-8z\\0\end{pmatrix}\right|\\=\frac12\sqrt{\left(6z\right)^2+\left(-8z\right)^2+\left(0\right)^2}=\frac12 \sqrt{36z^2+64z^2}=\frac12 \sqrt{100z^2}=\frac12⋅10z=5z$

Hinweis: Hier ist $\sqrt{z^2}=z$, da $z$ nach Aufgabenstellung positiv ist.

Flächeninhalt gleich 35

Der Wert von $z$ beträgt also $7$.

Ortsvektor einsetzen

Ortsvektor von $g$: $\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$

$h: \vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.

$\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 9\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das $t$.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}2=2+3\mathrm t\\0=4-1\mathrm t\\1=9+2\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=0\\\mathrm t=4\\\mathrm t=-4\end{array}\right.$

Sobald sich unterschiedliche Werte für $t$ ergeben ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Der Ortsvektor der Gerade $g$ liegt also nicht auf der Geraden $h$.

Also sind die beiden Geraden nicht identisch und sind daher parallel.

Richtungsvektor der Geraden

Da die gesuchte Gerade parallel zu $g$ und $h$ ist, hat sie denselben Richtungsvektor wie $g$ und $h$, also $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}.$

Punkt $T$ finden

$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{P}= \left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{Q} \left(\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ 9\end{array}\right) ⇒\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 4 \\ 8\end{array}\right)$

Der Punkt $T$ liegt auf der gesuchten Geraden und er teilt die Strecke $PQ$ im Verhältnis $1:3.$ Das bedeutet, dass der Ortsvektor von $T$ auf der Linie von $P$ nach $Q$ ein Einheit von $P$ und $3$ Einheiten von $Q$ entfernt ist. Daher können wir den Ortsvektor von $T$ wie folgt berechnen:

$\overrightarrow{T} = \overrightarrow{P} + \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} .$

Gerade erstellen

Die Gleichung der gesuchten Geraden hat die Form

$\vec{x} = \overrightarrow{OT} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \text{, wobei } \overrightarrow{OT} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

Daher lautet die Gleichung der gesuchten Geraden:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$