Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P5

Gegeben sind die Punkte $P (2 ∣ 0 ∣ 1)$ und $Q (2 ∣ 4 ∣ 9)$ sowie die parallelen Geraden $g: \vec{x}=\overrightarrow{O P}+s \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x}=\overrightarrow{O Q}+t \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$ mit $s, t \in \mathbb{R}$ .

Zeigen Sie, dass $g$ und $h$ nicht identisch sind. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Ortsvektor einsetzen
Ortsvektor von $g$ : $\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$
$h: \vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$
Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.
$\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 9\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das $t$ .
$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}2=2+3\mathrm t\\0=4-1\mathrm t\\1=9+2\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=0\\\mathrm t=4\\\mathrm t=-4\end{array}\right.$
Sobald sich unterschiedliche Werte für $t$ ergeben ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Der Ortsvektor der Gerade $g$ liegt also nicht auf der Geraden $h$ .
Also sind die beiden Geraden nicht identisch und sind daher parallel.
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Prüfe, ob die Richtungsvektoren linear abhängig oder unabhängig sind.
Setze den Ortsvektor eines Punktes der ersten Geraden in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die parallel zu $g$ und $h$ ist und die Strecke $\overline{P Q}$ im Punkt $T$ schneidet, wobei $3 \cdot|\overline{P T}|=|\overline{Q T}|$ ist. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Richtungsvektor der Geraden
Da die gesuchte Gerade parallel zu $g$ und $h$ ist, hat sie denselben Richtungsvektor wie $g$ und $h$ , also $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}.$
Punkt $T$ finden
$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{P}= \left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{Q} \left(\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ 9\end{array}\right) ⇒\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 4 \\ 8\end{array}\right)$
Der Punkt $T$ liegt auf der gesuchten Geraden und er teilt die Strecke $P Q$ im Verhältnis $1 : 3.$ Das bedeutet, dass der Ortsvektor von $T$ auf der Linie von $P$ nach $Q$ ein Einheit von $P$ und $3$ Einheiten von $Q$ entfernt ist. Daher können wir den Ortsvektor von $T$ wie folgt berechnen:
$\overrightarrow{T} = \overrightarrow{P} + \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} .$
Gerade erstellen
Die Gleichung der gesuchten Geraden hat die Form
$\vec{x} = \overrightarrow{OT} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \text{, wobei } \overrightarrow{OT} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$
Daher lautet die Gleichung der gesuchten Geraden:
$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$
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Bestimme den Richtungsvektor der neuen Geraden.
Bestimme den Ortsvektor $\overrightarrow{O T}.$
Bilde die Gerade.

Aufgabe P5

Ortsvektor einsetzen

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Richtungsvektor der Geraden

Punkt TTT finden

Gerade erstellen

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Punkt $T$ finden