Ortsvektor einsetzen

Ortsvektor von $g$: $\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$

$h: \vec{x}=\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.

$\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 9\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das $t$.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}2=2+3\mathrm t\\0=4-1\mathrm t\\1=9+2\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=0\\\mathrm t=4\\\mathrm t=-4\end{array}\right.$

Sobald sich unterschiedliche Werte für $t$ ergeben ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Der Ortsvektor der Gerade $g$ liegt also nicht auf der Geraden $h$.

Also sind die beiden Geraden nicht identisch und sind daher parallel.

Richtungsvektor der Geraden

Da die gesuchte Gerade parallel zu $g$ und $h$ ist, hat sie denselben Richtungsvektor wie $g$ und $h$, also $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}.$

Punkt $T$ finden

$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{P}= \left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{Q} \left(\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ 9\end{array}\right) ⇒\overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 4 \\ 8\end{array}\right)$

Der Punkt $T$ liegt auf der gesuchten Geraden und er teilt die Strecke $PQ$ im Verhältnis $1:3.$ Das bedeutet, dass der Ortsvektor von $T$ auf der Linie von $P$ nach $Q$ ein Einheit von $P$ und $3$ Einheiten von $Q$ entfernt ist. Daher können wir den Ortsvektor von $T$ wie folgt berechnen:

$\overrightarrow{T} = \overrightarrow{P} + \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} .$

Gerade erstellen

Die Gleichung der gesuchten Geraden hat die Form

$\vec{x} = \overrightarrow{OT} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \text{, wobei } \overrightarrow{OT} =\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

Daher lautet die Gleichung der gesuchten Geraden:

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$