Ortsvektor einsetzen

Ortsvektor von $g$: $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das $t$.

$|\begin{array}{l}2=2+3\mathrm{t}\\ 0=4-1\mathrm{t}\\ 1=9+2\mathrm{t}\end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{l}\mathrm{t}=0\\ \mathrm{t}=4\\ \mathrm{t}=-4\end{array}$

Sobald sich unterschiedliche Werte für $t$ ergeben ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Der Ortsvektor der Gerade $g$ liegt also nicht auf der Geraden $h$.

Also sind die beiden Geraden nicht identisch und sind daher parallel.

Richtungsvektor der Geraden

Da die gesuchte Gerade parallel zu $g$ und $h$ ist, hat sie denselben Richtungsvektor wie $g$ und $h$, also $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right).$

Punkt $T$ finden

$\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{Q}\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 9\end{array}\right)\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 8\end{array}\right)$

Der Punkt $T$ liegt auf der gesuchten Geraden und er teilt die Strecke $PQ$ im Verhältnis $1:3.$ Das bedeutet, dass der Ortsvektor von $T$ auf der Linie von $P$ nach $Q$ ein Einheit von $P$ und $3$ Einheiten von $Q$ entfernt ist. Daher können wir den Ortsvektor von $T$ wie folgt berechnen:

$\overrightarrow{T}=\overrightarrow{P}+\frac{1}{4}\cdot \overrightarrow{PQ}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\frac{1}{4}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right).$

Gerade erstellen

Die Gleichung der gesuchten Geraden hat die Form

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OT}+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)\text{, wobei }\overrightarrow{OT}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right).$

Daher lautet die Gleichung der gesuchten Geraden:

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$