Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P4

Gegeben sind die Punkte $A (0 | 0 | 0), B (8 | 6 | 0)$ und $C (4 | 3 | z)$ , wobei $z$ eine positive reelle Zahl ist.

Zeigen Sie, dass es sich bei dem Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $A B$ handelt. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Vektoren bilden
$A (0 | 0 | 0), B (8 | 6 | 0) \Rightarrow \vec{A B} = (\begin{array}{c} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \\ b_{3} - a_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 - 0 \\ 6 - 0 \\ 0 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ 0 \end{array})$
$A (0 | 0 | 0), C (4 | 3 | z) \Rightarrow \vec{A C} = (\begin{array}{c} c_{1} - a_{1} \\ c_{2} - a_{2} \\ c_{3} - a_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 - 0 \\ 3 - 0 \\ z - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ z \end{array})$
$B (8 | 6 | 0), C (4 | 3 | z) \Rightarrow \vec{B C} = (\begin{array}{c} c_{1} - b_{1} \\ c_{2} - b_{2} \\ c_{3} - b_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 - 8 \\ 3 - 6 \\ z - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 3 \\ z \end{array})$
Länge berechnen
$| \vec{A B} | = | (\begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ 0 \end{array}) | = \sqrt{8^{2} + 6^{2} + 0^{2}} = \sqrt{100} = 10$
$| \vec{A C} | = | (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ z \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + z^{2}} = \sqrt{25 + z^{2}}$
$| \vec{B C} | = | (\begin{array}{c} - 4 \\ - 3 \\ z \end{array}) | = \sqrt{(- 4)^{2} + (- 3)^{2} + z^{2}} = \sqrt{25 + z^{2}}$
Da $\vec{A C}$ und $\vec{B C}$ gleich lang sind, ist das Dreieck $A B C$ gleichschenklig und die Basis ist $A B$ .
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Bilde die Vektoren der Seiten des Dreiecks.
Berechne die Längen der Vektoren.
Das Dreieck $A B C$ hat den Flächeninhalt $35$ .
Bestimmen Sie den Wert von $z$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalte und Volumen im kartesischen Koordinatensystem
Flächeninhalt berechnen
Für die Vektoren $\vec{A B} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}), \vec{A C} = (\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array})$ lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks im Dreidimensionalen mit folgender Formel berechnen:
$A_{A B C} = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | = \frac{1}{2} | (\begin{array}{c} x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2} \\ x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3} \\ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \end{array}) | = \frac{1}{2} \sqrt{{(x_{2} y_{3} - x_{3} y_{2})}^{2} + {(x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3})}^{2} + {(x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})}^{2}}$
$\vec{A B} = (\begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ 0 \end{array})$ und $\vec{A C} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ z \end{array})$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | = \frac{1}{2} | (\begin{array}{c} 6 \cdot z - 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 4 - 8 \cdot z \\ 8 \cdot 3 - 6 \cdot 4 \end{array}) | = \frac{1}{2} | (\begin{array}{c} 6 z \\ - 8 z \\ 0 \end{array}) | \\ = \frac{1}{2} \sqrt{{(6 z)}^{2} + {(- 8 z)}^{2} + {(0)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{36 z^{2} + 64 z^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{100 z^{2}} = \frac{1}{2} \cdot 10 z = 5 z \end{array}$
Hinweis: Hier ist $\sqrt{z^{2}} = z$ , da $z$ nach Aufgabenstellung positiv ist.
Flächeninhalt gleich 35
$5 z$ $=$ $35$ $: 5$
$z$ $=$ $7$
Der Wert von $z$ beträgt also $7$ .
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Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
Setze den Flächeninhalt gleich $35$ und löse die Gleichung.

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$5 z$	$=$	$35$	$: 5$
$z$	$=$	$7$

Aufgabe P4

Vektoren bilden

Länge berechnen

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Flächeninhalt berechnen

Flächeninhalt gleich 35

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