Vektoren bilden

$A(0|0| 0), B(8|6| 0) \Rightarrow\ \overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-0\\6-0\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}$

$A(0|0| 0), C(4|3| z) \Rightarrow\ \overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-0\\3-0\\z-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}$

$B(8|6| 0), C(4|3| z) \Rightarrow\ \overrightarrow{{BC}}=\begin{pmatrix}c_1-b_1\\c_2-b_2\\c_3-b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-8\\3-6\\z-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-3\\z\end{pmatrix}$

Länge berechnen

$\left|\overrightarrow{{AB}}\right|=\left|\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{8^2+6^2+0^2}=\sqrt{100}=10$

$\left|\overrightarrow{{AC}}\right|=\left|\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+3^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

$\left|\overrightarrow{{BC}}\right|=\left|\begin{pmatrix}-4\\-3\\z\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

Da $\overrightarrow{{AC}}$und $\overrightarrow{{BC}}$ gleich lang sind, ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig und die Basis ist $\overline{AB}$.

Flächeninhalt berechnen

Für die Vektoren $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\\{y}_3\end{pmatrix}$lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks im Dreidimensionalen mit folgender Formel berechnen:

${A}_{ABC}=\frac12\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\ =\frac12\left|\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}\right|=\frac12\sqrt{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)^2+\left(x_3y_1-x_1y_3\right)^2+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2}$

$\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}$

$\Rightarrow\ \frac12\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\ =\frac12\left|\begin{pmatrix}6⋅z-0⋅3\\0⋅4-8⋅z\\8⋅3-6⋅4\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}6z\\-8z\\0\end{pmatrix}\right|\\=\frac12\sqrt{\left(6z\right)^2+\left(-8z\right)^2+\left(0\right)^2}=\frac12 \sqrt{36z^2+64z^2}=\frac12 \sqrt{100z^2}=\frac12⋅10z=5z$

Hinweis: Hier ist $\sqrt{z^2}=z$, da $z$ nach Aufgabenstellung positiv ist.

Flächeninhalt gleich 35

Der Wert von $z$ beträgt also $7$.