Pflichtteil - Analysis & Analytische Geometrie / Lineare Algebra

Aufgabe P4

Gegeben sind die Punkte $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B (8 ∣ 6 ∣ 0)$ und $C (4 ∣ 3 ∣ z)$ , wobei $z$ eine positive reelle Zahl ist.

Zeigen Sie, dass es sich bei dem Dreieck $A B C$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{A B}$ handelt. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Vektoren bilden
$A(0|0| 0), B(8|6| 0) \Rightarrow\ \overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-0\\6-0\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}$
$A(0|0| 0), C(4|3| z) \Rightarrow\ \overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-0\\3-0\\z-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}$
$B(8|6| 0), C(4|3| z) \Rightarrow\ \overrightarrow{{BC}}=\begin{pmatrix}c_1-b_1\\c_2-b_2\\c_3-b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-8\\3-6\\z-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-3\\z\end{pmatrix}$
Länge berechnen
$\left|\overrightarrow{{AB}}\right|=\left|\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{8^2+6^2+0^2}=\sqrt{100}=10$
$\left|\overrightarrow{{AC}}\right|=\left|\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4^2+3^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$
$\left|\overrightarrow{{BC}}\right|=\left|\begin{pmatrix}-4\\-3\\z\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$
Da $\overrightarrow{{AC}}$ und $\overrightarrow{{BC}}$ gleich lang sind, ist das Dreieck $A B C$ gleichschenklig und die Basis ist $\overline{AB}$ .
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Bilde die Vektoren der Seiten des Dreiecks.
Berechne die Längen der Vektoren.
Das Dreieck $A B C$ hat den Flächeninhalt $35$ .
Bestimmen Sie den Wert von $z$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalte und Volumen im kartesischen Koordinatensystem
Flächeninhalt berechnen
Für die Vektoren $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}{x}_1\\{x}_2\\{x}_3\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}{y}_1\\{y}_2\\{y}_3\end{pmatrix}$ lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks im Dreidimensionalen mit folgender Formel berechnen:
${A}_{ABC}=\frac12\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\ =\frac12\left|\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\\x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}\right|=\frac12\sqrt{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)^2+\left(x_3y_1-x_1y_3\right)^2+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2}$
$\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}4\\3\\z\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\ \frac12\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\ =\frac12\left|\begin{pmatrix}6⋅z-0⋅3\\0⋅4-8⋅z\\8⋅3-6⋅4\end{pmatrix}\right|=\frac12\left|\begin{pmatrix}6z\\-8z\\0\end{pmatrix}\right|\\=\frac12\sqrt{\left(6z\right)^2+\left(-8z\right)^2+\left(0\right)^2}=\frac12 \sqrt{36z^2+64z^2}=\frac12 \sqrt{100z^2}=\frac12⋅10z=5z$
Hinweis: Hier ist $\sqrt{z^2}=z$ , da $z$ nach Aufgabenstellung positiv ist.
Flächeninhalt gleich 35
$\displaystyle 5z$ $=$ $\displaystyle 35$ $\displaystyle :5$
$\displaystyle z$ $=$ $\displaystyle 7$
Der Wert von $z$ beträgt also $7$ .
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Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
Setze den Flächeninhalt gleich $35$ und löse die Gleichung.

$\displaystyle 5z$	$=$	$\displaystyle 35$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle 7$

Aufgabe P4

Vektoren bilden

Länge berechnen

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Flächeninhalt berechnen

Flächeninhalt gleich 35

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