Heft 2 - B3 - lernen mit Serlo!

Die Phänomento-AG stellt Beispiele zusammen, wie man mit Mathematik und Naturwissenschaften alltägliche Dinge versteht. In diesem Halbjahr untersucht ein Team die Temperaturabnahme von Kaffee und Tee bei Raumtemperatur.

Ela und Ben beschreiben das Abkühlen von Tee mit folgender Funktionsgleichung, die der vergangenen Zeit $x$ in Minuten die Temperatur $t (x)$ zuordnet:

$t(x)=90 \cdot 0{,}7^{x}$

Gib die Temperatur des Tees in nach 2 min an. (1 Punkt)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Um die Temperatur des Tees in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ nach 2 min zu bestimmen, setzen wir $2$ für $x$ in der Funktionsgleichung ein, da diese ja die Temperatur nach $x$ Minuten angibt.
Damit erhalten wir:
$\displaystyle t(2) = 90\cdot 0{,}7^2 = 90\cdot 0{,}49 = 44{,}1.$
Nach 2 Minuten hat der Tee also eine Temperatur von $44{,}1^{\circ}\mathrm{C}$ .
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Setze $2$ für $x$ in $t (x)$ ein.

Bestimme, nach wie vielen Minuten der Tee die Raumtemperatur von $18^{\circ} \mathrm{C}$ erreichen müsste. (2 Punkte)

Sanni fragt: „Wie lange dauert es, bis der Tee auf $0^{\circ} \mathrm{C}$ abgekühlt ist?" Ari entgegnet: „Das kann doch hier gar nicht passieren."
Beurteile Aris Aussage. (1 Punkt)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Bei der gegebenen Funktion $t$ handelt es sich um eine Exponentialfunktion, wir können sie nämlich schreiben als $t(x) = 90\cdot 0{,}7^x$ .
Egal welcher Wert für $x$ eingesetzt wird, $0{,}7^x$ nimmt nie den Wert 0 an. Das kann man auch am Graphen erkennen:
Der Graph $y=0{,}7^x$ kommt dem Funktionswert $0$ immer näher, nimmt diesen aber nicht an.
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Überlege, ob die Exponentialfunktion $a^{x}$ 0 werden kann.
Skizziere den Graphen, der den Zusammenhang nach der Modellierung dieser Gruppe darstellt. (1 Punkt)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
Man erhält zum Beispiel eine Skizze wie die folgende:
Skizze des Funktionsgraphen von $t (x)$
Um diese zu erhalten, kann man beispielsweise zunächst den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse eintragen. Es gilt nämlich $t(0) = 90\cdot 0{,}7^0 = 90\cdot 1=90$ , sodass wir diesen Punkt leicht einzeichnen können.
Zudem kennen wir aus Aufgabenteilen (a) und (b) bereits die Punkte $(2 ∣ 44,1)$
und $(4,51 ∣ 18)$ auf dem Funktionsgraphen, welche wir mit eintragen können.
Wen man möchte, könnte man gegebenenfalls noch ein paar weitere Werte bestimmen, zum Beispiel zu den $x$ -Werten $1, 3$ oder $4$ .
Schließlich verbindet man diese Punkte der Form einer Exponentialfunktion entsprechend miteinander bis zum Punkt $(4,51 ∣ 18)$ .
Da der Tee nach 4,5 Minuten auf die Raumtemperatur abgekühlt ist, setzen wir ab diesem Punkt den Funktionsgraphen durch die in der Skizze zu sehende waagrechte Linie fort, denn ab diesem Zeitpunkt bleibt die Temperatur des Tees ja gleich.
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$\displaystyle t\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 18$
	↓	Funktionsgleichung einsetzen
$\displaystyle 90\cdot0{,}7^x$	$=$	$\displaystyle 18$	$\displaystyle :90$
$\displaystyle 0{,}7^x$	$=$	$\displaystyle \ \frac{18}{90}=\frac{1}{5}$
	↓	Logarithmus auf beiden Seiten anwenden
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{0{,}7}\left(\frac{1}{5}\right)\approx4{,}51$

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