Heft 2 - B3

Um die Temperatur des Tees in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ nach 2 min zu bestimmen, setzen wir $2$ für $x$ in der Funktionsgleichung ein, da diese ja die Temperatur nach $x$ Minuten angibt.

Damit erhalten wir:

Nach 2 Minuten hat der Tee also eine Temperatur von $44{,}1^{\circ}\mathrm{C}$.

Um den Zeitpunkt zu bestimmen, zu welchem der Tee die Raumtemperatur erreicht, setzen wir die Funktionsgleichung, welche die Temperatur angibt, mit $18$ gleich und lösen nach der Zeit $x$ auf:

Der Tee ist also nach ungefähr viereinhalb Minuten auf die Raumtemperatur von $18^{\circ}\mathrm{C}$ heruntergekühlt.

Bei der gegebenen Funktion $t$ handelt es sich um eine Exponentialfunktion, wir können sie nämlich schreiben als $t(x) = 90\cdot 0{,}7^x$.

Egal welcher Wert für $x$ eingesetzt wird, $0{,}7^x$ nimmt nie den Wert 0 an. Das kann man auch am Graphen erkennen:

Man erhält zum Beispiel eine Skizze wie die folgende:

Um diese zu erhalten, kann man beispielsweise zunächst den Schnittpunkt mit der $y$-Achse eintragen. Es gilt nämlich $t(0) = 90\cdot 0{,}7^0 = 90\cdot 1=90$, sodass wir diesen Punkt leicht einzeichnen können.

Zudem kennen wir aus Aufgabenteilen (a) und (b) bereits die Punkte $(2|44{,}1)$

und $(4{,}51 | 18)$ auf dem Funktionsgraphen, welche wir mit eintragen können.

Wen man möchte, könnte man gegebenenfalls noch ein paar weitere Werte bestimmen, zum Beispiel zu den $x$-Werten $1, 3$ oder $4$.

Schließlich verbindet man diese Punkte der Form einer Exponentialfunktion entsprechend miteinander bis zum Punkt $(4{,}51|18)$.

Da der Tee nach 4,5 Minuten auf die Raumtemperatur abgekühlt ist, setzen wir ab diesem Punkt den Funktionsgraphen durch die in der Skizze zu sehende waagrechte Linie fort, denn ab diesem Zeitpunkt bleibt die Temperatur des Tees ja gleich.

Linearer Zusammenhang

Um auszuschließen, dass ein linearer Zusammenhang vorliegt, stellen wir fest, dass die Differenz zwischen den Temperaturwerten bei gleichbleibender Zeitdifferenz nicht konstant bleibt.

So kühlt der Kaffe beispielsweise von Minute 0 zu Minute 1 um $11^{\circ}\mathrm{C}$ ab, aber von Minute 1 zu Minute 2 nur um $9{,}8^{\circ}\mathrm{C}$ und von Minute 2 zu Minute 3 sogar nur um $8{,}7^{\circ}\mathrm{C}$.

Antiproportionaler Zusammenhang

Hier stellen wir fest, dass keine Produktgleichheit vorliegt, es sind nämlich

alle verschieden voneinander!

Die Exponentialfunktion ist von der Form $f(x)=b\cdot a^x$, wobei $b$ der Anfangswert und $a$ der Wachstumsfaktor ist.

Aus der Tabelle kann man ablesen, dass der Anfangswert $100^{\circ}\mathrm{C}$ beträgt, also ist hier $b=100$ und $f(x) = 100\cdot a^x$.

Um $a$ zu bestimmen, können wir zum Beispiel in unsere bisherige Funktionsgleichung $x=1$ einsetzen und erhalten mithilfe der Tabelle:

Also ist $a=0{,}89$ und wir erhalten die Funktionsgleichung $f(x) = 100 \cdot (0{,}89)^x$.

Ganz allgemein entspricht bei einer Exponentialfunktion $f(x) = b\cdot a^x$ der Parameter $b$ dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse, also dem Funktionswert $f(0)$ bei $x=0$. Dieser Wert nennt man auch Anfangswert.

Der Parameter $a$ ist der Wachstumsfaktor.

Im gegebenem Kontext entspricht also $b$ der Anfangstemperatur des Getränks und $a$ der Geschwindigkeit, mit welcher das Getränk abkühlt (umso kleiner $a$ ist, desto schneller kühlt das Getränk ab).

Wir können als Erstes feststellen, dass auf jeden Fall $a>0$ gelten muss, denn sonst wäre die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ nicht definiert.

Wir überlegen uns nun eine obere Schranke für $a$ und können hierbei davon ausgehen, dass stets $b>0$ gelten wird (denn sonst wäre ja das Getränk bereits zu Beginn kälter als $0^{\circ}\mathrm{C}$).

Für $a>1$ ist dann der Graph der Funktion steigend, für $a=1$ konstant $b$ und für $a<1$ fallend.

Da wir ja aber das Abkühlen beobachten möchten, macht nur der Fall $a<1$ Sinn (andernfalls würde das Getränk ja nur noch wärmer werden oder durchgehend die gleiche Temperatur beibehalten).

Insgesamt ist somit ein geeignetes Intervall $]0;1[$.

Der Parameter $d$ entspricht einer Verschiebung des Funktionsgraphen um $d$ Einheiten in $y$-Richtung.

So ist $h$ im Vergleich zu $g$ um 10 nach oben und $i$ im Vergleich zu $g$ um 10 nach unten verschoben. Das reicht bereits, um beurteilen zu können, dass $i$ dem niedrigsten Funktionsgraphen entspricht, also III, $g$ dem mittleren, also II und $h$ dem obersten, also I.

Der Parameter $d$ entspricht einer Verschiebung des Funktionsgraphen um $d$ Einheiten in $y$-Richtung.

Für $d>0$ ist hierbei der Funktionsgraph um $d$ Einheiten nach oben und für $d<0$ um $d$ Einheiten nach unten verschoben.