Formel zur Berechnung des Zylindervolumens

$V=r^2\pi \cdot hV\; =\; r^2\; \backslash pi\; \backslash cdot\; h$

Einsetzen der bekannten Werte $r={\displaystyle \frac{b}{2}}=\mathrm{0,60}\text{m}r=\backslash dfrac\{b\}\{2\}=0\{,\}60\backslash ,\backslash text\{m\}$ und $h=\mathrm{0,20}\text{m}h=0\{,\}20\backslash ,\backslash text\{m\}$

Das Volumen des alten Dachs beträgt $\mathrm{0,23}{\text{m}}^{3}0\{,\}23\backslash ,\backslash text\{m\}^3$

Berechnen des Volumens des Kegels:

$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}{\mathrm{n}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{h}}{3}}\backslash mathrm\{Volumen\_\{Kegel\}=\backslash dfrac\{r^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; h\}\{3\}\}$

einsetzen der Zahlenwerte in die Formel

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{0,60}}^2\cdot \mathrm{3,14}\cdot \mathrm{0,50}}{3}}[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3]\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx \mathrm{0,19}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Kegel\}=\backslash dfrac\{0\{,\}60^2\backslash cdot\; 3\{,\}14\backslash cdot\; 0\{,\}50\}\{3\}\backslash \; [cm^3]\backslash quad\backslash Rightarrow\; V\_\{Kegel\}\backslash approx\; 0\{,\}19\backslash \; cm^3\}$

Das Volumen des Zylinders beträgt ca. $\mathrm{0,23}{\mathrm{m}}^3\backslash mathrm\{0\{,\}23\backslash \; m^3\}$, das Volumen des Kegels beträgt ca. $\mathrm{0,19}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\backslash mathrm\{0\{,\}19\backslash \; cm^3\}$; also ist das Volumen des neuen Daches kleiner als das Volumen des alten Daches.

Hinweis:

Diese Teilaufgabe kann man ohne Taschenrechner lösen.

Das Volumen des alten Dachs berechnet sich als

$V=\pi \cdot r^2\cdot \mathrm{0,2}\text{ m}V=\backslash pi\; \backslash cdot\; r^2\backslash cdot\; 0\{,\}2\backslash m$, das den neuen als

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{0,5}\text{ m}}{3}}\approx \pi \cdot r^2\cdot \mathrm{0,17}\text{ m}\backslash mathrm\{V\_\{Kegel\}=\backslash dfrac\{r^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 0\{,\}5\backslash m\}\{3\}\}\backslash approx\; \backslash pi\backslash cdot\; r^2\backslash cdot\; 0\{,\}17\backslash m$.

Daran sieht man, dass das Volumen des neuen Dachs kleiner ist.

Begründung:

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck ein Basiswinkel $45\mathrm{°}45°$ groß sein soll, dann müsste das Dreieck gleichschenklig sein. Das ist es aber nicht, da ein Schenkel $50cm50cm$ und der andere Schenkel $60cm60cm$ lang ist.