Nachweis, dass diese Scheitelpunktform nicht richtig ist:

Einsetzen von z. B. $44$ in $\mathrm{k}(\mathrm{x})\backslash mathrm\{k(x)\}$

$\mathrm{k}(4)=(4-3{)}^2+\mathrm{5,25}\backslash mathrm\{k(4)=(4-3)^2+5\{,\}25\}$

$\mathrm{k}(4)=\mathrm{6,25}\backslash mathrm\{k(4)=6\{,\}25\}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{6,25}\mathrm{\ne }\mathrm{4,67}}}\Rightarrow \backslash boxed\{6\{,\}25\backslash neq4\{,\}67\}\backslash quad\backslash Rightarrow$ Die Scheitelpunktform ist also nicht richtig.

Bestimmen der korrekten Funktionsgleichung $\mathrm{k}(\mathrm{x})\backslash mathrm\{k(x)\}$:

$\mathrm{k}(\mathrm{x})=\mathrm{a}(\mathrm{x}-3{)}^2+\mathrm{5,25}\backslash mathrm\{k(x)=a(x-3)^2+5\{,\}25\}\backslash quad$ Einsetzen eines Zahlenpaars aus der Tabelle

$\mathrm{4,67}=\mathrm{a}(4-3{)}^2+\mathrm{5,25}\backslash mathrm\{4\{,\}67=a(4-3)^2+5\{,\}25\}$

$\mathrm{4,67}=\mathrm{a}+\mathrm{5,25}\Rightarrow \mathrm{a}=-\mathrm{0,58}\backslash mathrm\{4\{,\}67=a+5\{,\}25\backslash quad\backslash Rightarrow\; a=-0\{,\}58\}$

Die korrekte Scheitelpunktform lautet dann:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{k}(\mathrm{x})=-\mathrm{0,58}\cdot (\mathrm{x}-3{)}^2+\mathrm{5,25}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{k(x)=-0\{,\}58\backslash cdot(x-3)^2+5\{,\}25\}\}$

Hinweis:

Der Funktionswert 4,67 ist ein gerundeter Wert. Der exakte Funktionswert ist $4\frac{2}{3}4\backslash frac\{2\}\{3\}$, wenn Du mit diesem Wert rechnest, erhältst Du:

$\mathrm{a}=-{\displaystyle \frac{7}{12}};\Rightarrow \boxed{{\displaystyle \mathrm{k}(\mathrm{x})=-\frac{7}{12}\cdot (\mathrm{x}-3{)}^2+\mathrm{5,25}}}\backslash mathrm\{a=-\backslash dfrac\{7\}\{12\}\};\backslash quad\backslash Rightarrow\; \backslash boxed\{\backslash mathrm\{k(x)=-\backslash dfrac\{7\}\{12\}\backslash cdot(x-3)^2+5\{,\}25\}\}$

Bedeutung der Nullstellen:

Das Rechteck hat die Breite $6\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{6\backslash \; cm\}$ und somit eine Höhe

von $0\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{0\backslash \; cm\}$, d.h. einen Flächeninhalt von $0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\backslash mathrm\{0\backslash \; cm²\}$.

Das Rechteck hat die Breite $0\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{0\backslash \; cm\}$ und somit einen

Flächeninhalt von $0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\backslash mathrm\{0\; cm²\}$.