Prüfungsaufgaben Mathematik 2021

Aufgabe 7: Gleichungen

Ordnen Sie den Sachverhalten jeweils die passende Gleichung zu.

Verbinden Sie die zusammengehörenden Kästen. (2 P)

Du kannst die Kästchen mit der Maus ziehen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen aufstellen

	Sachverhalt	dazu passende Gleichung
1	Der Fahrpreis setzt sich aus $5 €$ Grundgebühr und 20 Cent pro gefahrenen Kilometer zusammen.	$y = 0{,}20x + 5$
2	Der Monatspreis in einem Fitnesscenter setzt sich aus $20 €$ Grundgebühr und $5 €$ pro gebuchten Kurs zusammen.	$y = 5x + 20$

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Zwei Familien besuchen in Paris den Eiffelturm.

Familie Beyer (zwei Erwachsene und zwei Kinder) zahlt $77{,}80~\text{€}$ Eintritt.

Familie Gouvan (ein Erwachsener und drei Kinder) zahlt $64{,}90~\text{€}$ Eintritt.

Ermitteln Sie den Eintrittspreis für Erwachsene und den Eintrittspreis für Kinder.

Stellen Sie zunächst zwei Gleichungen zu diesem Sachverhalt auf. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen aufstellen

Stelle zwei Gleichungen auf

Wir wollen sowohl den Eintrittspreis der Erwachsenen als auch der Kinder herausfinden. Dazu brauchen wir zwei Gleichungen, die wir im Text gegeben haben:

Familie Beyer: $77{,}80 = 2e + 2k$
Familie Gouvan: $64{,}90 = 1e + 3k$

Hierbei steht die Variable e für den Erwachsenenpreis und die Variable k für den Kinderpreis.

Umstellen

Gleichung von Familie Gouvan umstellen
	↓
$\displaystyle 64{,}90$	$=$	$\displaystyle 1e\ +\ 3k$	$\displaystyle -\ 3k$
	↓	umstellen nach $e$ (die 1 vor dem $e$ muss nicht geschrieben werden)
$\displaystyle 64{,}90\ -\ 3k$	$=$	$\displaystyle e$

Einsetzen

$\displaystyle 77{,}80$	$=$	$\displaystyle 2e\ +\ 2k$
	↓	Für $e = 64{,}90 - 3k$ in die Gleichung von Familie Beyer einsetzen
$\displaystyle 77{,}80$	$=$	$\displaystyle 2\left(64{,}90\ -\ 3k\right)\ +\ 2k$
	↓	ausrechnen und nach k umstellen
$\displaystyle 77{,}80$	$=$	$\displaystyle 129{,}80_{ }\ -\ 6k\ +2k$	$\displaystyle +\ 4k$
$\displaystyle 77{,}80\ +\ 4k$	$=$	$\displaystyle 129{,}80$	$\displaystyle -\ 77{,}80$
$\displaystyle 4k$	$=$	$\displaystyle 52$	$\displaystyle \cdot\ \frac{1}{4}$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle 13$

Wir wissen nun den Kinderpreis, er beträgt $13 €$ . Um den Erwachsenenpreis herauszufinden, müssen wir nur noch $k = 13$ in die umgestellte Gleichung der Familie Gouvan einsetzen:

$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle 64{,}90\ -\ 3k$
	↓	für k = 13 einsetzen
$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle 64{,}90\ -\ 3\cdot13$
$\displaystyle e$	$=$	$\displaystyle 25{,}90$

Der Eintrittspreis für Kinder beträgt $13 €$ und für Erwachsene $25{,}90 €$ .

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$\LARGE*$ Entscheiden Sie, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Kreuzen Sie an.

Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die keine Lösung hat. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen

	Aussage	wahr	falsch
1	$(x+7)^2 = 0$ Diese Gleichung hat genau eine Lösung.	wahr
2	$(x+8)^2 = 16$ Die Zahlen 4 und 12 sind Lösungen dieser Gleichung.		falsch

Aussage 1 umformen

$\displaystyle \left(x+7\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Wurzel ziehen. Positives und negatives Ergebnis beachten!
$\displaystyle x\ +\ 7$	$=$	$\displaystyle \pm0$	$\displaystyle -\ 7$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -7$

Somit hat die Gleichung genau eine Lösung, womit die Aussage wahr ist.

Aussage 2 umformen

$\displaystyle \left(x+8\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Wurzel ziehen. Postives und negatives Ergebnis beachten!
$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle \pm4$

Jetzt müssen wir eine Fallunterscheidung machen.

Fall 1:

Für +4
	↓
$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -4$

Fall 2:

Für -4
	↓
$\displaystyle x+8$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -12$

Somit hat x die Lösungsmenge $\{-4, -12\}$ , was nicht der Aussage entspricht. Die Aussage ist also falsch.

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