Prüfungsaufgaben Mathematik 2021

Abfahrtszeit des Zuges: $11:38\ \text{Uhr}$

Fahrzeit des Zuges:$\hspace{9mm}\mathrm{2\ h\ 35\ min}$

Addiere zur Abfahrtszeit die Fahrzeit. Addiere zuerst die gleichen Einheiten.

Wandle die Zeiteinheit wieder in eine Uhrzeit um.

Der Zug kommt um $\boxed{14:13\text{\ Uhr}}$ an.

Schreibe die Uhrzeit in die Lücke.

Das Rechteck besteht aus 8 gleichen Quadraten. $\dfrac38$ von $8$ Quadraten sind 3 Quadrate.

Markiere $3$ Quadrate.

Berechnen des Prozentwertes mittels der Formel:

Formel zur Berechnung des Prozentwertes:

$\mathrm{W=p\cdot G}\qquad$ setze die bekannten Werte ein

$\mathrm{W=\dfrac{20}{100}\cdot 550\quad\Rightarrow W=0{,}2\cdot550}$

$\mathrm{W=110\ €}$

Alternativ kannst Du den Prozentwert auch mit dem Dreisatz berechnen.

Berechnen des Prozentwertes mit dem Dreisatz:

Kreuze entsprechend an.

Lies den Scheitelpunkt aus der Skizze ab und kreuze entsprechend an.

Ersetze in der Wortgleichung alle bekannten Größen durch Zahlen oder Variablen.

Das $5$ fache einer ist: $\mathrm{5\cdot x}$, diese Zahl soll um 4 vermindert werden,

also: $\mathrm{5x-4}$,

die Differenz soll gleich $36$ sein,

also: $\mathrm{5x-4=36}$

Die Gleichung lautet dann: $\boxed{\mathrm{5x-4=36}}$ kreuze entsprechend an.

Die durchschnittliche Weite ermittelst Du indem Du die Weiten addierst und die Summe durch $4$ teilst.

$\mathrm{4{,}08+3{,}88+3{,}92+4{,}12\ [m]=16\ m}$

$\mathrm{\dfrac{16\ m}{4}=4\ m}$

Die durchschnittliche Weite beträgt: $\boxed{\mathrm{4\ m}}$

Schreibe den Wert in die Lücke.

Einsetzen der Zahlen in den Term: $\mathrm{\dfrac{a+b}{c}}\quad\Rightarrow\dfrac{8+(-1)}{-2}=\dfrac{8-1}{-2}=-3{,}5$

Der Wert des Terms ist: $\boxed{-3{,}5}$

Schreibe den Wert in die Lücke.

Satz des Pythagoras angewendet auf dieses Dreieck:

$\mathrm{z^2=x^2+y^2\quad\Rightarrow z=\sqrt{x^2+y^2}}$

Kreuze entsprechend an.

Berechnen des Winkels $\alpha$:

Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt $360^\circ$

$\mathrm{\alpha=360^\circ-{(140^\circ+130^\circ+50^\circ)}}$

$\mathrm{\alpha=40^\circ}$

Das Mass des Winkels $\alpha$ betragt: $\boxed{40^\circ}$

Schreibe den Wert in die Lücke

Ein Quadrat hat $4$ Symmetrieachsen. (Siehe Skizze.)

Kreuze entsprechend an.

1. Die erste Aussage ist falsch. Setzt man $x=5$ in die Funktion ein, ergibt sich $y=16$

2. Die zweite Aussage stimmt. Dies kann aus dem Graphen abgelesen werden.

3. Die dritte Aussage stimmt. Setzt man $x=0$ in die Funktion ein, ergibt sich $y=1$

4. Die vierte Aussage ist falsch. Dies kann aus dem Graphen abgelesen werden.

Gleichsetzen der beiden Funktionen und Auflösen nach $x$

Einsetzen von $x_1$ und $x_2$ in die Funktion der Geraden

Die beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten $\boxed{S_1(2|7)}$ und $\boxed{S_2(-1|-2)}$

Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{AB}}$

Das Dreieck $\text{ABD}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck.

In diesem Dreieck gilt: $\ \mathrm{\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BD}}=sin \sphericalangle{ADB}\quad\Rightarrow\overline{AB}=\sin\sphericalangle{ADB}\cdot \overline{BD}}$

$\hspace{34mm}\mathrm{\overline{AB}=\sin55^\circ\cdot 1500\ m}$

$\hspace{34mm}\mathrm{\overline{AB}=1228{,}73\ m}$

Die Strecke $\mathrm{\overline{AB}}$ beträgt ca. $\boxed{\mathrm{1229\ m}}.$

Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{AD}}$ mit dem Kosinus.

Das Dreieck $\text{ABD}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck.

In diesem Dreieck gilt:$\ \mathrm{\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}}=cos \sphericalangle{ADB}\quad\Rightarrow\overline{AD}=\cos\sphericalangle{ADB}\cdot \overline{BD}}$

$\hspace{34mm}\mathrm{\overline{AD}=\cos55^\circ\cdot 1500\ m}$

$\hspace{34mm}\mathrm{\overline{AD}=860{,}36\ m}$

Die Strecke $\mathrm{\overline{AD}}$ beträgt ca. $\boxed{\mathrm{860\ m}}.$

Berechnen der Strecke $\mathrm{\overline{AD}}$ mit dem Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras angewandt auf das Dreieck $\text{ABD}:$

$\mathrm{\overline{BD}^2=\overline{AB}^2+\overline{AD}^2\quad\Rightarrow\overline{AD}=\sqrt{\overline{BD}^2-\overline{AB}^2}}$

$\hspace{36mm}\mathrm{\overline{AD}=\sqrt{1500^2-1228{,}73^2}\ \ [m]}$

$\hspace{36mm}\mathrm{\overline{AD}=\sqrt{740222{,}6}\ \ [m]}$

$\hspace{36mm}\mathrm{\overline{AD}=860{,}36\ m}$

Berechnen des Winkels $\sphericalangle{\text{DBC}}$

Berechne zuerst den Winkel $\sphericalangle{\text{ABD}}$

In einem Dreieck ist die Winkelsumme $180^\circ$

$\sphericalangle{\text{ABD}}=180^\circ-90^\circ-55^\circ$

$\sphericalangle{\text{ABD}}=35^\circ$

$\sphericalangle{\text{DBC}}=\sphericalangle{\text{ABC}}-\sphericalangle{\text{ABD}}$

$\sphericalangle{\text{DBC}}=109^\circ-35^\circ$

$\sphericalangle{\text{DBC}}=74^\circ$

Da die Basiswinkel des Dreiecks $\text{DBC}$ unterschiedlich groß sind, ist die Aussage nicht richtig.

Kreuze entsprechend an.

Berechnen des Volumens der Regentonne:

$\mathrm{V_{Zylinder}=r^2\cdot\pi\cdot h}$$\quad$ setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$\mathrm{V_{Zylinder}=29^2\cdot 3{,}14\cdot 95\ [cm^3]}$

$\mathrm{V_{Zylinder}=250870{,}3\ cm^3}\quad$wandle $\mathrm{cm^3}$ in Liter um.

Beachte:

$\mathrm{1\ l\ \widehat{=}\ 1\ dm^3}$

$\mathrm{1\ dm^3\ \widehat{=}\ 1000\ cm^3\quad\Rightarrow 250870{,}3\ cm^3=250{,}87\ l}$

Das Volumen der Regentonne beträgt ca. $\boxed{\mathrm{250\ l}}.$

Formel zur Berechnung der Kreisfläche:

$\mathrm{A_{Kreis}=r^2\pi}\quad$der Radius wird verdoppelt,

also:

$\mathrm{A_{Kreis}=(2r)^2\pi\quad\Rightarrow A_{Kreis}=4r^2\pi}$

Bei Verdoppelung des Radius vervierfacht sich die Grundfläche der Regentonne, da die Höhe gleich bleibt vervierfacht sich das Volumen der Regentonne.

Herr Gärtner hat also nicht recht.

Kreuze entsprechend an.

Gewählter Maßstab für die Zeichnung $\mathbf{1:10}$

Für die Zeichnung gilt dann:

Durchmesser Regentonne: $\mathrm{d=2r=5{,}8\ cm}$

Länge Platte: $\mathrm{l=8\ cm}$

Breite Platte:$\ \mathrm{b=5{,}5\ cm}$

Anfertigen der Zeichnung:

Da die Regentonne einen Durchmesser von $\mathrm{58\ cm}$ hat, die Platte aber nur $\mathrm{55\ cm}$ breit ist, kann die Platte die Regentonne nicht vollständig abdecken.

Du erkennst das auch an der Zeichnung.

Berechnen der Spannweite:

$\text{Spannweite\ =\ größter Wert-kleinster Wert}$

$\hspace{18mm}=9{,}7-7\qquad\text{siehe Diagramm}$

$\hspace{18mm}=2{,}7$

Die Spannweite beträgt: $\ \boxed{2{,}7}.$

Schreibe den Wert in die entsprechende Lücke.

Berechnen des Durchschnitts (arithmetisches Mittel):

$\mathrm{Durchschnitt=\dfrac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}}\quad$

einsetzen der Werte in die Formel

$\mathrm{Durchschnitt=\dfrac{7+7{,}9+9+8{,}9+9{,}3+9{,}7+8{,}8+8{,}9+8{,}8}{9}}=\dfrac{78{,}3}{9}$

$\mathrm{Durchschnitt=8{,}7}$

Der Durchschnitt (arithmetisches Mittel) beträgt:$\ \boxed{8{,}7}.$

Schreibe den Wert in die entsprechende Lücke.

Berechnen der prozentualen Erhöhung:

Formeln für die Prozentrechnung:

$\mathrm{G=\dfrac{W}{p}\quad\Rightarrow p=\dfrac{W}{G}}$

$\mathrm{Grundwert\ G=7{,}9 ;\qquad Prozenwert\ W=9{,}0-7{,}9=1{,}1}$

setze die Werte in Formel ein und berechne die prozentual Erhöhung.

$\mathrm{prozentuale\ Eröhung\ p=\dfrac{1{,}1\cdot100}{7{,}9}}\approx14\ \%$

Die Prozentual Erhöhung betragt ca. $\boxed{14\ \%}.$

Schreibe den Wert in die entsprechende Lücke.

Berechnen des prozentualen Anteils "Flüssigkeiten":

$\mathrm{Flüssigkeiten\ [\%]=100-(17+66+6+1)}$

$\hspace{26mm}=100-90$

$\hspace{26mm}=\ 10\ \%$

Der prozentuale Anteil für "Flüssigkeiten" beträgt:$\ \boxed{10\ \%}$

Ergänze die Tabelle entsprechend.

Beschriften des Kreisdiagramms.

Berechnen die Höhe der Kerze nach $80$ Minuten Brenndauer:

Berechne zuerst, wie viele Zentimeter der Kerze nach $80$ Minuten abgebrannt sind.

Pro $\mathrm{10\ min}$ brennen $\mathrm{2\ cm}$ der Kerze ab.

$\mathrm{l_{K.abgebr.}=\dfrac{2\ cm}{10\ \cancel{min}}\cdot 80\ \cancel{min}\quad\Rightarrow l_{K.abgebr.}=16\ cm}$

Nach $\mathrm{80\ min}$ sind also $\mathrm{16\ cm}$ der Kerze abgebrannt, die Höhe der Kerze ist dann:

$\mathrm{LK_{80}=40\ cm-16\ cm=24\ cm}$

Die Höhe der Kerze nach einer Brenndauer von 80 min beträgt:$\ \boxed{\mathrm{24\ cm}}.$

Schreibe den Wert in die entsprechende Lücke der Tabelle.

Die Höhe der Kerze vor dem Anzünden ist $\mathrm{40\ cm}$ (siehe Aufgabenstellung).

Schreibe diesen Wert in die entsprechende Lücke.

Darstellung der Daten aus der Tabelle als Graph:

Ausgefüllte Tabelle:

Lösen der Gleichung:$\ \mathrm{y=-0{,}2x+40}$

Die Zeit, nach der die Kerze vollständig abgebrannt ist, beträgt:$\ \boxed{\mathrm{200\ min}}.$

Schreibe den Wert in die Lücke.

Stelle zwei Gleichungen auf

Wir wollen sowohl den Eintrittspreis der Erwachsenen als auch der Kinder herausfinden. Dazu brauchen wir zwei Gleichungen, die wir im Text gegeben haben:

• Familie Beyer: $77{,}80 = 2e + 2k$

• Familie Gouvan: $64{,}90 = 1e + 3k$

Hierbei steht die Variable e für den Erwachsenenpreis und die Variable k für den Kinderpreis.

Umstellen

Einsetzen

Wir wissen nun den Kinderpreis, er beträgt $13 €$. Um den Erwachsenenpreis herauszufinden, müssen wir nur noch $k = 13$ in die umgestellte Gleichung der Familie Gouvan einsetzen:

Der Eintrittspreis für Kinder beträgt $13 €$ und für Erwachsene $25{,}90 €$.

Aussage 1 umformen

Somit hat die Gleichung genau eine Lösung, womit die Aussage wahr ist.

Aussage 2 umformen

Jetzt müssen wir eine Fallunterscheidung machen.

Fall 1:

Fall 2:

Somit hat x die Lösungsmenge $\{-4, -12\}$, was nicht der Aussage entspricht. Die Aussage ist also falsch.