Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Geraden

Lerne mit diesen Aufgaben die Lagebeziehungen von Geraden zu untersuchen. Schaffst du sie alle?

1
Bestimme die Lage der Geraden zueinander und berechne ihren Schnittpunkt wenn er exisitiert.
1. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}\;=\;\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-9\\0\\7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}\;=\;\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-9\\0\\7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$
  Nun betrachte zunächst nur die ersten beiden Zeilen, denn falls diese keine Lösung haben sind die Vektoren auf jeden Fall linear unabhängig.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm I:\;\;\;1\cdot\mathrm\lambda=3\\\mathrm{II:}\;\;\;2\cdot\mathrm\lambda=1\end{array}$
  Hier ist schon zu erkennen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, sonst gäbe es ein $\lambda$ , welches die Gleichungen erfüllen könnte. Dies kannst du letztendlich eindeutig durch Einsetzen ausprobieren.
  $\mathrm I\;\;\mathrm{in}\;\;\mathrm{II:}\;\;\;2\cdot(3)\;=\;1$
  Die Gleichung hat keine Lösung, damit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
  $\Rightarrow\;\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9\\0\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcrcr}\mathrm I:&\;&\mathrm s&=&-9+3\mathrm t\\\mathrm{II:}&\;&8+2\mathrm s&=&\mathrm t\\\mathrm{III:}&\;&-7-2\mathrm s&=&7-4\mathrm t\end{array}$
  Um dieses zu lösen, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da zwei der Gleichungen schon nach einer Variablen aufgelöst sind. Deswegen kannst du die Gleichung $\mathrm I$ ohne viel Aufwand in Gleichung $\mathrm{II}$ einsetzen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcrlc}\mathrm I\;\;\mathrm{in}\;\;\mathrm{II:}\\8+2\cdot(-9+3\mathrm t)&=&t&\;\\8-18+6\mathrm t&=&t&\;\left|-6t\right.\\-10&=&-5t&\;\left|:(-5)\right.\\2&=&t&\;\end{array}$
  Setze dann t in die Gleichung $\mathrm I$ ein, damit erhältst du den Wert von s.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccr}\mathrm s&=&-9+3\cdot(2)\\\mathrm s&=&-3\end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcr}-7-2s&=&7-4t\\-7-2\cdot(-3)&=&7-4\cdot(2)\\-1&=&-1\end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt. Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt. Du erhältst dann den Ortsvektor $\overrightarrow OS$ des Schnittpunktes.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}\;=\;\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\end{array}=$
  $\Rightarrow \overrightarrow {OS}=\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}+(-3)\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=$
  $=\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix}-3\\2\\-1\end{pmatrix}$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S\left(-3\ \left|2\right|-1\right)$
  Die Geraden sind nicht parallel. Haben aber einen Schnittpunkt. Damit stehen sie nicht windschief.
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2. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcr}6=-8\lambda &\rightarrow &\lambda = -0{,}75 \\ 9=-12 \lambda &\rightarrow &\lambda = -0{,}75 \\ -12 = 16 \lambda &\rightarrow &\lambda = -0{,}75 \end{array}$
  Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear abhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}$
  Setze nun einen Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{r}3=9-8\mathrm t\\7=14-12\mathrm t\\3=4+16\mathrm t\end{array}\begin{array}{r}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=0{,}75\\\mathrm t=0{,}5833\\\mathrm t=-0{,}0625\end{array}\right.$
  Sobald sich (mindestens) zwei unterschiedliche Werte für t ergeben ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Hier sind es sogar drei verschiedene Werte. Der Aufpunkt der Gerade g liegt also nicht auf der Geraden h.
  Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
  $\Rightarrow\;\;$ $\mathrm h\parallel\mathrm g$
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3. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}=\mathrm \lambda\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}9=-9\lambda\\-3=3\lambda\\6=-6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-1\\\lambda=-1\\\lambda=-1\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear abhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor von g: $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}$
  Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.
  $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}2=-7-9\mathrm t\\2=5+3\mathrm t\\1=-5-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\end{array}\right.$
  Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Ortsvektor von g auf der Gerade h.
  Also sind die beiden Geraden identisch.
  $\Rightarrow\;\;$ $\mathrm h=\mathrm g$
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4. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}2=2\lambda\\1=2\lambda\\-3=-5\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=1\\\lambda=0{,}5\\\lambda=0{,}6\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear unabhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}1+2s=-1+2t\;\\-2+s=-2+2t\;\\1-3s=2-5t\end{array}\begin{array}{l}\left|\left|\;-1\;\;\;\mid:2\right.\right.\\\left|\left|\;+2\right.\right.\\\left|\left|\;-1\right.\right.\end{array}\right.$
  Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}s=-1+t\\s=2t\\-3s=1-5t\end{array}\right.$
  Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert t.
  Diesen Wert setzt man dann in die zweite Gleichung ein und erhält s.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2t=-1+t\;\;\;\left|\left|-t\right.\right.\\t=-1\\s=-2\end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}1-3s\;=\;2-5t\\1-3\cdot(-2)\;=\;2-5\cdot(-1)\\7\;=\;7\end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
  Diesen ermittelt man, indem man eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt.
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;\overrightarrow {OS}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+(-2)\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$
  $=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix}-3\\-4\\7\end{pmatrix}$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S\left(-3\left|-4\right|7\right)$ .
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5. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}=\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das t.
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}-1=2\mathrm t\\1=-2\mathrm t\\3=-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-0{,}5\\\mathrm t=-0{,}5\\\mathrm t=-0{,}5\end{array}\right.$
  Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow\;\;$ linear abhängig
  $\Rightarrow\;\;$ Nun weißt man, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}$
  Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}$
  Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}-2=1+2\mathrm t\\1=-3-2\mathrm t\\1=2-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=-1{,}5\\\mathrm t=-2\\\mathrm t=0{,}167\end{array}\right.$
  Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.
  Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
  $\Rightarrow\;$ $\mathrm h\parallel\mathrm g$
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6. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}0=-1\lambda\\-2=\lambda\\1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\lambda=0\\\lambda=-2\\\lambda=0{,}5\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear unabhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}2&=&1-t & \mid\mid +t-2 \\ -1 -2s & = & t \\ 3 + s & = & -2 +2t & \mid\mid-3 \end{array}$
  Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Diesen Wert kann man dann in die zweite Gleichung einsetzten und erhält so den Wert für s.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}t&=&-1 & \; \\ -1 -2s & = & -1 & \mid\mid+1 \;\mid :(-2)\\ s & = & 0 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3+s\\3+0\\3\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{l}-2+2t\\-2+2\cdot(-1)\\-4\end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow\;\;$ g und h sind windschief zueinander
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7. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda \cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}2=-4\lambda\\3=-6\lambda\\1=-2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-0{,}5\\\lambda=-0{,}5\\\lambda=-0{,}5\end{array}\right.$
  Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear abhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$
  Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Meist wird dazu der Ortsvektor des Aufpunkts verwendet.
  $\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}7=1-4t\\-2=-6t\\2=3-2t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}t =-1{,}5\\t=0{,}33\\t=0{,}5\end{array}\right.$
  Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.
  Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
  $\Rightarrow\;\;$ $\mathrm h\parallel\mathrm g$
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8. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}1=-4\lambda\\1=-6\lambda\\2=-2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\lambda=-0{,}25\\\lambda=-0{,}167\\\lambda=-1\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow\;\;$ linear unabhängig
  $\Rightarrow\;\;$ Nun weiß man, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcrr} 4 + s & = & 1-4t & \mid\mid -4 \\ -6 + s & = & -6t & \mid\mid +6 \\ -1 +2s & = & 3 - 2t & \; \end{array}$
  Die ersten beiden Zeilen lassen sich schnell nach s auflösen. Diese setzt man dann gleich und erhält den Wert für t. Den setzt man dann in eine der beiden Gleichungen ein und bekommt s.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl} s & = & -3-4t & \; \\ s & = & 6-6t & \; \\ -3-4t & = & 6-6t & \mid\mid+3+6t \\ 2t& = & 9 & \mid\mid:2 \\ t & = & 4.5 \\ s & = & =-21 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}-1+2s\\-1+2\cdot(-21)\\-43\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{r}3-2t\\3-2\cdot4{,}5\\-6\end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow\;$ g und h sind windschief zueinander
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9. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}-1=-3\lambda\\7=21\lambda\\2=6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=0{,}33\\\lambda=0{,}33\\\lambda=0{,}33\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear abhängig
  $\Rightarrow\;\;$ Nun weiß man, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}$
  Setze nun den Orstvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}2=1-3\mathrm t\\3=10+21\mathrm t\\0=2+6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-0{,}33\\\mathrm t=-0{,}33\\\mathrm t=-0{,}33\end{array}\right.$
  Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Aufpunkt von g auf der Gerade h.
  Also sind die beiden Geraden identisch.
  $\Rightarrow\;\;$ $\mathrm h=\mathrm g$
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10. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Linear Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Schreib dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{l}2=\lambda\\3=\lambda\\1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=2\\\lambda=3\\\lambda=0{,}5\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear unabhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcr}7+2s & = & 4 + t & \mid\mid -4 \\ -2 + 3s & = & -6 +t & \mid\mid +6 \\ 2+s & = & -1+2t & \; \end{array}$
  Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach t auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcl}3+2s & = & t & \\ 4 + 3s & = & t & \\ 2+s & = & -1+2t & \; \end{array}$
  Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert s.
  Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3+2s=4+3s\;\;\;\left|\left|-2s-4\right.\right.\\s=-1\\t=1\end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2+s\;=\;-1+2t\\2+(-1)\;=\;-1+2\\1\;=\;1\end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
  Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzst.
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$
  $\;\Rightarrow\;\overrightarrow{OS}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+(-1)\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-5\\1\end{pmatrix}$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S\left(5\left|-5\right|1\right)$ .
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11. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}$
  Schreib diese aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}9=-6\lambda\\-3=2\lambda\\6=-4\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-1{,}5\\\lambda=-1{,}5\\\lambda=-1{,}5\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear abhängig
  $\;\Rightarrow\;\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}$
  Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dazu wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-6\\2\\-4\end{pmatrix}$
  Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}2=-4-6\mathrm t\\2=4+2\mathrm t\\1=-3-4\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\end{array}\right.$
  Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Aufpunkt von g auf der Gerade h.
  Also sind die beiden Geraden identisch.
  $\Rightarrow\;\;$ $\mathrm h=\mathrm g$
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12. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}1=-2\lambda\\-2=4\lambda\\1=-2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-0{,}5\\\lambda=-0{,}5\\\lambda=-0{,}5\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ den selben Wert haben, sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear abhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}$
  Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}2=1-2\mathrm t\\-1=3+4\mathrm t\\2=-1-2\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=-0{,}5\\\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1{,}5\end{array}\right.$
  Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.
  Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
  $\Rightarrow\;$ $\mathrm h\parallel\mathrm g$
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13. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{l}2=\lambda\\1=-2\lambda\\-1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=2\\\lambda=-0{,}5\\\lambda=-0{,}5\end{array}\right.$
  Da die $\lambda$ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear unabhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcrc}2+2s & = & 3 + t & \mid\mid -2 \\ 2 + s & = & -2t & \mid\mid -2 \\ -3-s & = & -1 +2t & \; \end{array}$
  Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}2s=1+t\;\\s=-2-2t\;\\-3-s=-1+2t\end{array}\right.$
  Setze dann die zweite Gleichung in die erste ein, damit erhält man den Wert t.
  Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte s.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcr}2 \cdot (-2-2t) & = & 1+t \\ -4-4t & = & 1+t \\ t & = & -1 \\ s&=&0 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}-3-s\;=\;-1+2t\\-3\;=\;-1-2\\-3\;=\;-3\end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
  Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichungen einsetzt.
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;\overrightarrow{OS}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S\left(2\left|2\right|-3\right)$ .
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14. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und dabei merkst du, dass die Gleichung gar keine Lösung haben kann, da die dritte Zeile einen Wiederspruch beinhaltet. Deshalb sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear unabhängig
  $\Rightarrow\;\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\4\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\0\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|cccc} 1+s & = & 14 +2t \\ -3 +2s & = & 4 - 3t \\ 2-3s & = & 3 &\mid\mid -2 \;\;\mid :(-3) \end{array}$
  Die letzte Zeile lässt sich schnell nach s auflösen. Setze diesen Wert dann in die erste Gleichung ein und erhalte t.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc} -3s & = & 1 \\ s & = & -0{,}33 \\ \mathrm{in \; I:}\\ 1+s & = & 14 + 2t \\ 1-0{,}33 & = & 14 +2t& \mid\mid -14 \;\;\mid :2 \\ t & = & -6{,}66 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die zweite Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die zweite Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}-3+2s\\-3+2\cdot(-0{,}33)\\-3{,}66\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{c}4-3t\\4-3\cdot(-6{,}66)\\24\end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow\;$ g und h sind windschief zueinander
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15. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\6\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\6\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\6\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}-1=2\lambda\\1=-2\lambda\\3=6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\lambda=-0{,}5\\\lambda=-0{,}5\\\lambda=0{,}5\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear unabhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\6\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcr} - 2-s & = & 1+2t & \mid\mid +2 \\ 1 +s & = & -3 -2t & \mid\mid -1 \\ 1+3s & = & 2+6t \end{array}$
  Die ersten zwei Zeilen lassen sich schnell nach s auflösen. Setze die beiden Gleichungen gleich und löse nach t auf. Setze dann den Wert von t in die erste Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}s=-3-2t\\s=-4-2t\\-3-2t=-4-2t\\-3=-4\end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow\;$ g und h sind windschief zueinander
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16. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{r}0=-1\lambda\\-2=\lambda\\1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\lambda=0\\\lambda=-2\\\lambda=0{,}5\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear unabhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcrl} 2& = & 1-t & \mid\mid+t-2 \\ -1 - 2s & =& t & \\ 3 + s & = & -2 + 2t & \mid\mid -3 \end{array}$
  Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte so den Wert für s.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl} t& = & -1 & \\ -1 - 2s & =& -1 & \mid\mid +1 \;\; \mid:(-2)\\ s & = & 0 & \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}3+s\\3+0\\3\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{c}-2+2t\\-2+2\cdot(-1)\\-4\end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow\;\;$ g und h sind windschief zueinander.
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17. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-7\\1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-7\\1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}1=-3\lambda\\-3=9\lambda\\2=-6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-0{,}33\\\lambda=-0{,}33\\\lambda=-0{,}33\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ den selben Wert haben, sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear abhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$
  $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-7\\1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}$
  Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-7\\1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}2=4-3\lambda\\-1=-7+9\lambda\\-3=1-6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm \lambda=0{,}66\\\lambda=0{,}66\\\lambda=0{,}66\end{array}\right.$
  Da jeder Wert von t gleich ist, liegt Aufpunkt von g auf der Gerade h.
  Also sind die beiden Geraden identisch.
  $\Rightarrow\;$ $\mathrm h=\mathrm g$
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18. $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}$ und $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}-4=-4\lambda\\-2=-4\lambda\\6=10\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-1\\\lambda=0{,}5\\\lambda=0{,}6\end{array}\right.$
  Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow\;$ linear unabhängig
  $\Rightarrow\;$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\10\end{pmatrix}$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcrc} 1-4s & = & -1-4t & \mid\mid +1 \\ -2-2s & = & -2-4t & \mid\mid +2 \\ 1+6s & = & 2+10t \end{array}$
  Die ersten beiden Gleichungen lassen sich schnell nach -4t umformen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcr} 2-4s & = & -4t \\ -2s & = & -4t \\ 1+6s & = & 2+10t \end{array}$
  Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhälst du den Wert s.
  Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2-4s=-2s\;\;\;\left|\left|+4s\;\;\left|:2\right.\right.\right.\\s=1\\t=0{,}5\end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}1+6s=2+10t\\1+6=2+5\\7=7\end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
  Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichungen einsetzt.
  $\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}$
  
  $\;\Rightarrow\;\overrightarrow{OS}=\;\begin{pmatrix}-3\\-4\\7\end{pmatrix}$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S\left(-3\left|-4\right|7\right)$ .
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2
Senkrechte Geraden
Beurteile für die Funktionenpaare anhand der Terme, ob ihre Schaubilder senkrecht aufeinanderstehen.
1. $g_1\left(x\right)=-2x-4$
  $g_2\left(x\right)=3x+4$
  Senkrecht
  Nicht senkrecht
2. $g_1\left(x\right)=-x-2$
  $g_2\left(x\right)=4x+1$
  Senkrecht
  Nicht senkrecht
3. $g_1\left(x\right)=-x-8$
  $g_2\left(x\right)=x+\frac{4}{3}$
  Senkrecht
  Nicht senkrecht
4. $g_1\left(x\right)=-\frac{1}{3}x+5$
  $g_2\left(x\right)=3x-2$
  Senkrecht
5. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l l}f(x)&=&-4x+3\\g(x) &=& -x+3\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zueinander senkrechte Geraden
  Sie sind nicht senkrecht, da $(-4)\cdot (-1)=4\neq -1.$
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6. $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l l}f(x)&=&-x+3\\g(x) &=& -x+8\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zueinander senkrechte Geraden
  Sie sind nicht senkrecht, da $(-1)\cdot (-1)=1\neq -1.$
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7. $\def\arraystretch{2} \begin{array}{l l}f(x)&=&-4x+3\\g(x) &=& \dfrac{1}{4}x\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zueinander senkrechte Geraden
  Sie sind senkrecht, da $(-4)\cdot \dfrac{1}{4}=-1.$
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8. $\def\arraystretch{2} \begin{array}{l l}f(x)&=&\dfrac{1}{8}x-8\\g(x) &=& -8x-8\end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zueinander senkrechte Geraden
  Sie sind senkrecht, da $(-8)\cdot\frac{1}{8}=-1.$
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Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Geraden

Lineare Unabhängigkeit

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