Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Geraden

Aufgaben
Bestimme die Lage der Geraden zueinander und berechne ihren Schnittpunkt wenn er exisitiert.
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g:  x  →  =  (08−7)  +  s⋅(12−2)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}\;=\;\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}     und         h:  x  →=  (−907)  +  t⋅(31−4)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-9\\0\\7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden

Lineare Unabhängigkeit

g:  x  →  =  (08−7)  +  s⋅(12−2)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}\;=\;\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}

h:  x  →=  (−907)  +  t⋅(31−4)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-9\\0\\7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
λ⋅(12−2)=(31−4)\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}
Nun betrachte zunächst nur die ersten beiden Zeilen, denn falls diese keine Lösung haben sind die Vektoren auf jeden Fall linear unabhängig.
I:      1⋅λ=3II:      2⋅λ=1\begin{array}{l}\mathrm I:\;\;\;1\cdot\mathrm\lambda=3\\\mathrm{II:}\;\;\;2\cdot\mathrm\lambda=1\end{array}
Hier ist schon zu erkennen, dass die Vektoren linaer unabhängig sind, sonst gäbe es ein λ\lambda, welches die Gleichungen erfüllen könnte. Dies kannst du letztendlich eindeutig durch Einsetzen ausprobieren.
I    in    II:      2⋅(3)  =  1\mathrm I\;\;\mathrm{in}\;\;\mathrm{II:}\;\;\;2\cdot(3)\;=\;1
Die Gleichung hat keine Lösung, damit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
⇒    \Rightarrow\;\; Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.

Gleichungssystem lösen

(08−7)+s⋅(12−2)=(−907)+t⋅(31−4)\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9\\0\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
I:  s=−9+3tII:  8+2s=tIII:  −7−2s=7−4t\begin{array}{lcrcr}\mathrm I:&\;&\mathrm s&=&-9+3\mathrm t\\\mathrm{II:}&\;&8+2\mathrm s&=&\mathrm t\\\mathrm{III:}&\;&-7-2\mathrm s&=&7-4\mathrm t\end{array}
Um dieses zu lösen, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da zwei der Gleichungen schon nach einer Variablen aufgelöst sind. Deswegen kannst du die Gleichung I\mathrm I ohne viel Aufwand in Gleichung II\mathrm{II} einsetzen.
I    in    II:8+2⋅(−9+3t)=t  8−18+6t=t  ∣−6t−10=−5t  ∣:(−5)2=t  \begin{array}{lcrlc}\mathrm I\;\;\mathrm{in}\;\;\mathrm{II:}\\8+2\cdot(-9+3\mathrm t)&=&t&\;\\8-18+6\mathrm t&=&t&\;\left|-6t\right.\\-10&=&-5t&\;\left|:(-5)\right.\\2&=&t&\;\end{array}
Setze dann t in die Gleichung I\mathrm I ein, damit erhältst du den Wert von s.
s=−9+3⋅(2)s=−3\begin{array}{ccr}\mathrm s&=&-9+3\cdot(2)\\\mathrm s&=&-3\end{array}
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
−7−2s=7−4t−7−2⋅(−3)=7−4⋅(2)−1=−1\begin{array}{rcr}-7-2s&=&7-4t\\-7-2\cdot(-3)&=&7-4\cdot(2)\\-1&=&-1\end{array}
Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt. Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt.
g:  x  →  =  (08−7)  +  s⋅(12−2)=\begin{array}{l}\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}\;=\;\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\\\end{array}=
⇒S=(08−7)+(−3)⋅(12−2)=\Rightarrow S=\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}+(-3)\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=
=(08−7)+(−3−66)  =  (−32−1)=\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix}-3\\2\\-1\end{pmatrix}
Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.
Die Geraden sind nicht parallel. Haben aber einen Schnittpunkt. Damit stehen sie nicht windschief.
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g:  x  →=  (373)  +s⋅(69−12)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}         und         h:  x  →=(9144)+t⋅(−8−1216)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden

Lineare Unabhängigkeit

g:  x  →=  (373)  +s⋅(69−12)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}     h:  x  →=(9144)+t⋅(−8−1216)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
(69−12)=λ⋅(−8−1216)\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ\lambda.
6=−8λ→λ=−0,759=−12λ→λ=−0,75−12=16λ→λ=−0,75\begin{array}{|rcr}6=-8\lambda &\rightarrow &\lambda = -0,75 \\ 9=-12 \lambda &\rightarrow &\lambda = -0,75 \\ -12 = 16 \lambda &\rightarrow &\lambda = -0,75 \end{array}
Da alle λ\lambda den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒  \Rightarrow\; linear abhängig
⇒  \Rightarrow\; Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.

Einsetzen

Ortsvektor von g: (373)\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}
h:  x  →=(9144)+t⋅(−8−1216)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}
Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Meist wird dafür der Ortsvektor genommen.
(373)=(9144)+t⋅(−8−1216)\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
∣3=9−8t7=14−12t3=4+16t→→→t=0,75t=0,5833t=−0,0625\left|\begin{array}{r}3=9-8\mathrm t\\7=14-12\mathrm t\\3=4+16\mathrm t\end{array}\begin{array}{r}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=0,75\\\mathrm t=0,5833\\\mathrm t=-0,0625\end{array}\right.
Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, ist der Ortsvektor von g  nicht auf der Gerade h.
Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
⇒    \Rightarrow\;\; h∥g\mathrm h\parallel\mathrm g
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g:  x  →=  (221)  +s⋅(9−36)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}         und         h:  x  →=(−75−5)+t⋅(−93−6)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden

Lineare Unabhängigkeit

g:  x  →=  (221)  +s⋅(9−36)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix} h:  x  →=(−75−5)+t⋅(−93−6)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
(9−36)=λ⋅(−93−6)\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}=\mathrm \lambda\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ\lambda.
  ∣9=−9λ−3=3λ6=−6λ  →    →    →  λ=−1λ=−1λ=−1\;\left|\begin{array}{c}9=-9\lambda\\-3=3\lambda\\6=-6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-1\\\lambda=-1\\\lambda=-1\end{array}\right.
Da alle λ\lambda den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒  \Rightarrow\; linear abhängig
⇒  \Rightarrow\; Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.

Einsetzen

Ortsvektor von g: (221)\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}
h:  x  →=(−75−5)+t⋅(−93−6)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}
Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.
(221)=(−75−5)+t⋅(−93−6)\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
∣2=−7−9t2=5+3t1=−5−6t→→→t=−1t=−1t=−1\left|\begin{array}{l}2=-7-9\mathrm t\\2=5+3\mathrm t\\1=-5-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\end{array}\right.
Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Ortsvektor von g auf der Gerade h.
Also sind die beiden Geraden identisch.
⇒    \Rightarrow\;\; h=g\mathrm h=\mathrm g
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g:  x  →=  (1−21)  +s⋅(21−3)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}    und         h:  x  →=(−1−22)+t⋅(22−5)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden

Lineare Unabhängigkeit

g:  x  →=  (1−21)  +s⋅(21−3)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} h:  x  →=(−1−22)+t⋅(22−5)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
(21−3)=λ⋅(22−5)\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ\lambda.
  ∣2=2λ1=2λ−3=−5λ  →    →    →  λ=1λ=0,5λ=0,6\;\left|\begin{array}{c}2=2\lambda\\1=2\lambda\\-3=-5\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=1\\\lambda=0,5\\\lambda=0,6\end{array}\right.
Da alle λ\lambda unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒  \Rightarrow\; linear unabhängig
⇒  \Rightarrow\; Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.

Gleichungssystem lösen

(1−21)+s⋅(21−3)=(−1−22)+t⋅(22−5)\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
∣1+2s=−1+2t  −2+s=−2+2t  1−3s=2−5t∣∣  −1      ∣:2∣∣  +2∣∣  −1\left|\begin{array}{c}1+2s=-1+2t\;\\-2+s=-2+2t\;\\1-3s=2-5t\end{array}\begin{array}{l}\left|\left|\;-1\;\;\;\mid:2\right.\right.\\\left|\left|\;+2\right.\right.\\\left|\left|\;-1\right.\right.\end{array}\right.
Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.
∣s=−1+ts=2t−3s=1−5t\left|\begin{array}{l}s=-1+t\\s=2t\\-3s=1-5t\end{array}\right.
Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert t.
Diesen Wert setzt man dann in die zweite Gleichung ein und erhält s.
2t=−1+t      ∣∣−tt=−1s=−2\begin{array}{l}2t=-1+t\;\;\;\left|\left|-t\right.\right.\\t=-1\\s=-2\end{array}
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
1−3s  =  2−5t1−3⋅(−2)  =  2−5⋅(−1)7  =  7\begin{array}{c}1-3s\;=\;2-5t\\1-3\cdot(-2)\;=\;2-5\cdot(-1)\\7\;=\;7\end{array}
Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
Diesen ermittelt man, indem man eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt.
g:  x  →=  (1−21)  +s⋅(21−3)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}
 ⇒  S=  (1−21)  +(−2)⋅(21−3)\Rightarrow\;S=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+(-2)\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}
=(1−21)+(−4−26)  =  (−3−47)=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix}-3\\-4\\7\end{pmatrix}
Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.
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g:  x  →=  (−211)+s⋅(−113)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}   und         h:  x  →=(1−32)+t⋅(2−2−6)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden

Lineare Unabhängigkeit

g:  x  →=  (−211)  +s⋅(−113)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix} h:  x  →=(1−32)+t⋅(2−2−6)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
(−113)=t⋅(2−2−6)\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}=\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das t.
  ∣−1=2t1=−2t3=−6t  →    →    →  t=−0,5t=−0,5t=−0,5\;\left|\begin{array}{c}-1=2\mathrm t\\1=-2\mathrm t\\3=-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-0,5\\\mathrm t=-0,5\\\mathrm t=-0,5\end{array}\right.
Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒    \Rightarrow\;\; linear abhängig
⇒    \Rightarrow\;\; Nun weißt man, dass die beiden Geraden identisch oder parrallel sind.

Einsetzen

Ortsvektor von g: (−211)\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}
h:  x  →=(1−32)+t⋅(2−2−6)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}
Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.
(−211)=(1−32)+t⋅(2−2−6)\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}
Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.
∣−2=1+2t1=−3−2t1=2−6t→→→t=−1,5t=−2t=0,167\left|\begin{array}{c}-2=1+2\mathrm t\\1=-3-2\mathrm t\\1=2-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=-1,5\\\mathrm t=-2\\\mathrm t=0,167\end{array}\right.
Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, ist der Ortsvektor von g nicht auf der Gerade h.
Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
⇒  \Rightarrow\; h∥g\mathrm h\parallel\mathrm g
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g:  x  →=  (2−13)+s⋅(0−21)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}   und         h:  x  →=(10−2)+t⋅(−112)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden

Lineare Unabhängigkeit

g:  x  →=  (2−13)  +s⋅(0−21)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}    h:  x  →=(10−2)+t⋅(−112)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
(0−21)=λ⋅(−112)\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ\lambda.
∣0=−1λ−2=λ1=2λ→→→λ=0λ=−2λ=0,5\left|\begin{array}{c}0=-1\lambda\\-2=\lambda\\1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\lambda=0\\\lambda=-2\\\lambda=0,5\end{array}\right.
Da alle λ\lambda unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒  \Rightarrow\; linear unabhängig
⇒  \Rightarrow\; Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.

Gleichungssystem lösen

(2−13)+s⋅(0−21)=(10−2)+t⋅(−112)\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
2=1−t∣∣+t−2−1−2s=t3+s=−2+2t∣∣−3\begin{array}{rcrl}2&=&1-t & \mid\mid +t-2 \\ -1 -2s & = & t \\ 3 + s & = & -2 +2t & \mid\mid-3 \end{array}
Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Diesen Wert kann man dann in die zweite Gleichung einsetzten und erhält so den Wert für s.
t=−1  −1−2s=−1∣∣+1  ∣(−2)s=0\begin{array}{rcrl}t&=&-1 & \; \\ -1 -2s & = & -1 & \mid\mid+1 \;\mid(-2)\\ s & = & 0 \end{array}
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
3+s3+03===−2+2t−2+2⋅(−1)−4\begin{array}{l}3+s\\3+0\\3\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{l}-2+2t\\-2+2\cdot(-1)\\-4\end{array}
Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
⇒    \Rightarrow\;\; g und h sind windschief zueinander
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g:  x  →=  (7−22)  +s⋅(231)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}         und         h:  x  →=(103)+t⋅(−4−6−2)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden

Lineare Unabhängigkeit

g:  x  →=  (7−22)  +s⋅(231)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix} h:  x  →=(103)+t⋅(−4−6−2)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
(231)=λ⋅(−4−6−2)\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda \cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ\lambda.
  ∣2=−4λ3=−6λ1=−2λ  →    →    →  λ=−0,5λ=−0,5λ=−0,5\;\left|\begin{array}{c}2=-4\lambda\\3=-6\lambda\\1=-2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-0,5\\\lambda=-0,5\\\lambda=-0,5\end{array}\right.
Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒  \Rightarrow\; linear abhängig
⇒  \Rightarrow\; Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.

Einsetzen

Ortsvektor von g: (7−22)\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}
h:  x  →=(103)+t⋅(−4−6−2)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}
Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Meist wird dazu der Ortsvektor verwendet.
(7−22)=(103)+t⋅(−4−6−2)\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
∣7=1−4t−2=−6t2=3−2t→→→t=−1,5t=0,33t=0,5\left|\begin{array}{c}7=1-4t\\-2=-6t\\2=3-2t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}t =-1,5\\t=0,33\\t=0,5\end{array}\right.
Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, ist der Ortsvektor von g nicht auf der Gerade h.
Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
⇒    \Rightarrow\;\; h∥g\mathrm h\parallel\mathrm g
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g:  x  →=  (4−6−1)  +s⋅(112)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}         und         h:  x  →=(103)+t⋅(−4−6−2)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden

Lineare Unabhängigkeit

g:  x  →=  (4−6−1)  +s⋅(112)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} h:  x  →=(103)+t⋅(−4−6−2)\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
(112)=λ⋅(−4−6−2)\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}