Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Geraden

Lerne mit diesen Aufgaben die Lagebeziehungen von Geraden zu untersuchen. Schaffst du sie alle?

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Bestimme die Lage der Geraden zueinander und berechne ihren Schnittpunkt wenn er exisitiert.
1. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ 0 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 9 \\ 0 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$
  Nun betrachte zunächst nur die ersten beiden Zeilen, denn falls diese keine Lösung haben sind die Vektoren auf jeden Fall linear unabhängig.
  $\begin{array}{l} I : 1 \cdot λ = 3 \\ I I : 2 \cdot λ = 1 \end{array}$
  Hier ist schon zu erkennen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, sonst gäbe es ein $λ$ , welches die Gleichungen erfüllen könnte. Dies kannst du letztendlich eindeutig durch Einsetzen ausprobieren.
  $I in I I : 2 \cdot (3) = 1$
  Die Gleichung hat keine Lösung, damit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 9 \\ 0 \\ 7 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\begin{array}{lcrcr} I : & s & = & - 9 + 3 t \\ I I : & 8 + 2 s & = & t \\ I I I : & - 7 - 2 s & = & 7 - 4 t \end{array}$
  Um dieses zu lösen, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da zwei der Gleichungen schon nach einer Variablen aufgelöst sind. Deswegen kannst du die Gleichung $I$ ohne viel Aufwand in Gleichung $II$ einsetzen.
  $\begin{array}{lcrlc} I in I I : \\ 8 + 2 \cdot (- 9 + 3 t) & = & t \\ 8 - 18 + 6 t & = & t & | - 6 t \\ - 10 & = & - 5 t & | : (- 5) \\ 2 & = & t \end{array}$
  Setze dann t in die Gleichung $I$ ein, damit erhältst du den Wert von s.
  $\begin{array}{ccr} s & = & - 9 + 3 \cdot (2) \\ s & = & - 3 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.
  $\begin{array}{rcr} - 7 - 2 s & = & 7 - 4 t \\ - 7 - 2 \cdot (- 3) & = & 7 - 4 \cdot (2) \\ - 1 & = & - 1 \end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt. Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt. Du erhältst dann den Ortsvektor $\vec{O} S$ des Schnittpunktes.
  $\begin{array}{l} g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 7 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) \end{array} =$
  $\Rightarrow \vec{O S} = (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 7 \end{array}) + (- 3) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ - 7 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 3 \\ - 6 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S (- 3 | 2 | - 1)$
  Die Geraden sind nicht parallel. Haben aber einen Schnittpunkt. Damit stehen sie nicht windschief.
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2. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 9 \\ - 12 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 9 \\ 14 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 12 \\ 16 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 9 \\ - 12 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 9 \\ 14 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 12 \\ 16 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 6 \\ 9 \\ - 12 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 12 \\ 16 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $\begin{array}{rcr} 6 = - 8 λ & \to & λ = - 0,75 \\ 9 = - 12 λ & \to & λ = - 0,75 \\ - 12 = 16 λ & \to & λ = - 0,75 \end{array}$
  Da alle $λ$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow$ linear abhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 3 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 9 \\ 14 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 12 \\ 16 \end{array})$
  Setze nun einen Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 9 \\ 14 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 8 \\ - 12 \\ 16 \end{array})$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $| \begin{array}{r} 3 = 9 - 8 t \\ 7 = 14 - 12 t \\ 3 = 4 + 16 t \end{array} \begin{array}{r} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} t = 0,75 \\ t = 0,5833 \\ t = - 0,0625 \end{array}$
  Sobald sich (mindestens) zwei unterschiedliche Werte für t ergeben ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Hier sind es sogar drei verschiedene Werte. Der Aufpunkt der Gerade g liegt also nicht auf der Geraden h.
  Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
  $\Rightarrow$ $h ∥ g$
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3. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \\ 6 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 5 \\ - 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 3 \\ - 6 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \\ 6 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 5 \\ - 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 3 \\ - 6 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \\ 6 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 3 \\ - 6 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} 9 = - 9 λ \\ - 3 = 3 λ \\ 6 = - 6 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} λ = - 1 \\ λ = - 1 \\ λ = - 1 \end{array}$
  Da alle $λ$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow$ linear abhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor von g: $(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 5 \\ - 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 3 \\ - 6 \end{array})$
  Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 5 \\ - 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 3 \\ - 6 \end{array})$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $| \begin{array}{l} 2 = - 7 - 9 t \\ 2 = 5 + 3 t \\ 1 = - 5 - 6 t \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} t = - 1 \\ t = - 1 \\ t = - 1 \end{array}$
  Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Ortsvektor von g auf der Gerade h.
  Also sind die beiden Geraden identisch.
  $\Rightarrow$ $h = g$
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4. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 5 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 5 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 5 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} 2 = 2 λ \\ 1 = 2 λ \\ - 3 = - 5 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} λ = 1 \\ λ = 0,5 \\ λ = 0,6 \end{array}$
  Da alle $λ$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow$ linear unabhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 5 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $| \begin{array}{c} 1 + 2 s = - 1 + 2 t \\ - 2 + s = - 2 + 2 t \\ 1 - 3 s = 2 - 5 t \end{array} \begin{array}{l} | | - 1 | : 2 \\ | | + 2 \\ | | - 1 \end{array}$
  Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.
  $| \begin{array}{l} s = - 1 + t \\ s = 2 t \\ - 3 s = 1 - 5 t \end{array}$
  Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert t.
  Diesen Wert setzt man dann in die zweite Gleichung ein und erhält s.
  $\begin{array}{l} 2 t = - 1 + t | | - t \\ t = - 1 \\ s = - 2 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.
  $\begin{array}{c} 1 - 3 s = 2 - 5 t \\ 1 - 3 \cdot (- 2) = 2 - 5 \cdot (- 1) \\ 7 = 7 \end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
  Diesen ermittelt man, indem man eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt.
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
  $\Rightarrow \vec{O S} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \end{array})$
  $= (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ 7 \end{array})$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S (- 3 | - 4 | 7)$ .
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5. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das t.
  $| \begin{array}{c} - 1 = 2 t \\ 1 = - 2 t \\ 3 = - 6 t \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} t = - 0,5 \\ t = - 0,5 \\ t = - 0,5 \end{array}$
  Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow$ linear abhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt man, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $(\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
  Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $(\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 6 \end{array})$
  Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.
  $| \begin{array}{c} - 2 = 1 + 2 t \\ 1 = - 3 - 2 t \\ 1 = 2 - 6 t \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} t = - 1,5 \\ t = - 2 \\ t = 0,167 \end{array}$
  Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.
  Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
  $\Rightarrow$ $h ∥ g$
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6. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} 0 = - 1 λ \\ - 2 = λ \\ 1 = 2 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} λ = 0 \\ λ = - 2 \\ λ = 0,5 \end{array}$
  Da alle $λ$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow$ linear unabhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $\begin{array}{rcrl} 2 & = & 1 - t & | | + t - 2 \\ - 1 - 2 s & = & t \\ 3 + s & = & - 2 + 2 t & | | - 3 \end{array}$
  Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Diesen Wert kann man dann in die zweite Gleichung einsetzten und erhält so den Wert für s.
  $\begin{array}{rcrl} t & = & - 1 \\ - 1 - 2 s & = & - 1 & | | + 1 | : (- 2) \\ s & = & 0 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\begin{array}{l} 3 + s \\ 3 + 0 \\ 3 \end{array} \begin{array}{c} = \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{l} - 2 + 2 t \\ - 2 + 2 \cdot (- 1) \\ - 4 \end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow$ g und h sind windschief zueinander
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7. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 6 \\ - 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 6 \\ - 2 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 6 \\ - 2 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} 2 = - 4 λ \\ 3 = - 6 λ \\ 1 = - 2 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} λ = - 0,5 \\ λ = - 0,5 \\ λ = - 0,5 \end{array}$
  Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow$ linear abhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $(\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 6 \\ - 2 \end{array})$
  Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Meist wird dazu der Ortsvektor des Aufpunkts verwendet.
  $(\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 6 \\ - 2 \end{array})$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $| \begin{array}{c} 7 = 1 - 4 t \\ - 2 = - 6 t \\ 2 = 3 - 2 t \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} t = - 1,5 \\ t = 0,33 \\ t = 0,5 \end{array}$
  Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.
  Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
  $\Rightarrow$ $h ∥ g$
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8. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 6 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 6 \\ - 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 6 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 6 \\ - 2 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 6 \\ - 2 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} 1 = - 4 λ \\ 1 = - 6 λ \\ 2 = - 2 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} λ = - 0,25 \\ λ = - 0,167 \\ λ = - 1 \end{array}$
  Da alle $λ$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow$ linear unabhängig
  $\Rightarrow$ Nun weiß man, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} 4 \\ - 6 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 6 \\ - 2 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\begin{array}{rcrr} 4 + s & = & 1 - 4 t & | | - 4 \\ - 6 + s & = & - 6 t & | | + 6 \\ - 1 + 2 s & = & 3 - 2 t \end{array}$
  Die ersten beiden Zeilen lassen sich schnell nach s auflösen. Diese setzt man dann gleich und erhält den Wert für t. Den setzt man dann in eine der beiden Gleichungen ein und bekommt s.
  $\begin{array}{rcrl} s & = & - 3 - 4 t \\ s & = & 6 - 6 t \\ - 3 - 4 t & = & 6 - 6 t & | | + 3 + 6 t \\ 2 t & = & 9 & | | : 2 \\ t & = & 4.5 \\ s & = & = - 21 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\begin{array}{l} - 1 + 2 s \\ - 1 + 2 \cdot (- 21) \\ - 43 \end{array} \begin{array}{c} = \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{r} 3 - 2 t \\ 3 - 2 \cdot 4,5 \\ - 6 \end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow$ g und h sind windschief zueinander
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9. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 7 \\ 2 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 10 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 21 \\ 6 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 7 \\ 2 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 10 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 21 \\ 6 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} - 1 \\ 7 \\ 2 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 21 \\ 6 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} - 1 = - 3 λ \\ 7 = 21 λ \\ 2 = 6 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} λ = 0,33 \\ λ = 0,33 \\ λ = 0,33 \end{array}$
  Da alle $λ$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow$ linear abhängig
  $\Rightarrow$ Nun weiß man, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 10 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 21 \\ 6 \end{array})$
  Setze nun den Orstvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 10 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 21 \\ 6 \end{array})$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $| \begin{array}{c} 2 = 1 - 3 t \\ 3 = 10 + 21 t \\ 0 = 2 + 6 t \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} t = - 0,33 \\ t = - 0,33 \\ t = - 0,33 \end{array}$
  Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Aufpunkt von g auf der Gerade h.
  Also sind die beiden Geraden identisch.
  $\Rightarrow$ $h = g$
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10. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 6 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Linear Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 6 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  Schreib dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{l} 2 = λ \\ 3 = λ \\ 1 = 2 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} λ = 2 \\ λ = 3 \\ λ = 0,5 \end{array}$
  Da alle $λ$ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow$ linear unabhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 6 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\begin{array}{rcr} 7 + 2 s & = & 4 + t & | | - 4 \\ - 2 + 3 s & = & - 6 + t & | | + 6 \\ 2 + s & = & - 1 + 2 t \end{array}$
  Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach t auflösen.
  $\begin{array}{rcl} 3 + 2 s & = & t \\ 4 + 3 s & = & t \\ 2 + s & = & - 1 + 2 t \end{array}$
  Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert s.
  Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.
  $\begin{array}{l} 3 + 2 s = 4 + 3 s | | - 2 s - 4 \\ s = - 1 \\ t = 1 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\begin{array}{l} 2 + s = - 1 + 2 t \\ 2 + (- 1) = - 1 + 2 \\ 1 = 1 \end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
  Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzst.
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})$
  $\Rightarrow \vec{O S} = (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 5 \\ 1 \end{array})$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S (5 | - 5 | 1)$ .
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11. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \\ 6 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 4 \\ - 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ 2 \\ - 4 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \\ 6 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 4 \\ - 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ 2 \\ - 4 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 9 \\ - 3 \\ 6 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ 2 \\ - 4 \end{array})$
  Schreib diese aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} 9 = - 6 λ \\ - 3 = 2 λ \\ 6 = - 4 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} λ = - 1,5 \\ λ = - 1,5 \\ λ = - 1,5 \end{array}$
  Da alle $λ$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow$ linear abhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 4 \\ - 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ 2 \\ - 4 \end{array})$
  Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dazu wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 4 \\ - 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ 2 \\ - 4 \end{array})$
  Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.
  $| \begin{array}{c} 2 = - 4 - 6 t \\ 2 = 4 + 2 t \\ 1 = - 3 - 4 t \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} t = - 1 \\ t = - 1 \\ t = - 1 \end{array}$
  Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Aufpunkt von g auf der Gerade h.
  Also sind die beiden Geraden identisch.
  $\Rightarrow$ $h = g$
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12. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} 1 = - 2 λ \\ - 2 = 4 λ \\ 1 = - 2 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} λ = - 0,5 \\ λ = - 0,5 \\ λ = - 0,5 \end{array}$
  Da alle $λ$ den selben Wert haben, sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow$ linear abhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
  Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{array})$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $| \begin{array}{c} 2 = 1 - 2 t \\ - 1 = 3 + 4 t \\ 2 = - 1 - 2 t \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} t = - 0,5 \\ t = - 1 \\ t = - 1,5 \end{array}$
  Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.
  Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
  $\Rightarrow$ $h ∥ g$
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13. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{l} 2 = λ \\ 1 = - 2 λ \\ - 1 = 2 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} λ = 2 \\ λ = - 0,5 \\ λ = - 0,5 \end{array}$
  Da die $λ$ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow$ linear unabhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $\begin{array}{rcrc} 2 + 2 s & = & 3 + t & | | - 2 \\ 2 + s & = & - 2 t & | | - 2 \\ - 3 - s & = & - 1 + 2 t \end{array}$
  Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.
  $| \begin{array}{c} 2 s = 1 + t \\ s = - 2 - 2 t \\ - 3 - s = - 1 + 2 t \end{array}$
  Setze dann die zweite Gleichung in die erste ein, damit erhält man den Wert t.
  Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte s.
  $\begin{array}{rcr} 2 \cdot (- 2 - 2 t) & = & 1 + t \\ - 4 - 4 t & = & 1 + t \\ t & = & - 1 \\ s & = & 0 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\begin{array}{c} - 3 - s = - 1 + 2 t \\ - 3 = - 1 - 2 \\ - 3 = - 3 \end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
  Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichungen einsetzt.
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$
  $\Rightarrow \vec{O S} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S (2 | 2 | - 3)$ .
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14. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
  Schreibe dies aus und dabei merkst du, dass die Gleichung gar keine Lösung haben kann, da die dritte Zeile einen Wiederspruch beinhaltet. Deshalb sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow$ linear unabhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $\begin{array}{cccc} 1 + s & = & 14 + 2 t \\ - 3 + 2 s & = & 4 - 3 t \\ 2 - 3 s & = & 3 & | | - 2 | : (- 3) \end{array}$
  Die letzte Zeile lässt sich schnell nach s auflösen. Setze diesen Wert dann in die erste Gleichung ein und erhalte t.
  $\begin{array}{ccc} - 3 s & = & 1 \\ s & = & - 0,33 \\ i n I : \\ 1 + s & = & 14 + 2 t \\ 1 - 0,33 & = & 14 + 2 t & | | - 14 | : 2 \\ t & = & - 6,66 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die zweite Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die zweite Gleichung ein.
  $\begin{array}{c} - 3 + 2 s \\ - 3 + 2 \cdot (- 0,33) \\ - 3,66 \end{array} \begin{array}{c} = \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{c} 4 - 3 t \\ 4 - 3 \cdot (- 6,66) \\ 24 \end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow$ g und h sind windschief zueinander
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15. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} - 1 = 2 λ \\ 1 = - 2 λ \\ 3 = 6 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} λ = - 0,5 \\ λ = - 0,5 \\ λ = 0,5 \end{array}$
  Da alle $λ$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow$ linear unabhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\begin{array}{rcr} - 2 - s & = & 1 + 2 t & | | + 2 \\ 1 + s & = & - 3 - 2 t & | | - 1 \\ 1 + 3 s & = & 2 + 6 t \end{array}$
  Die ersten zwei Zeilen lassen sich schnell nach s auflösen. Setze die beiden Gleichungen gleich und löse nach t auf. Setze dann den Wert von t in die erste Gleichung ein.
  $\begin{array}{c} s = - 3 - 2 t \\ s = - 4 - 2 t \\ - 3 - 2 t = - 4 - 2 t \\ - 3 = - 4 \end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow$ g und h sind windschief zueinander
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16. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{r} 0 = - 1 λ \\ - 2 = λ \\ 1 = 2 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{l} λ = 0 \\ λ = - 2 \\ λ = 0,5 \end{array}$
  Da alle $λ$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow$ linear unabhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
  $\begin{array}{rcrl} 2 & = & 1 - t & | | + t - 2 \\ - 1 - 2 s & = & t \\ 3 + s & = & - 2 + 2 t & | | - 3 \end{array}$
  Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte so den Wert für s.
  $\begin{array}{rcrl} t & = & - 1 \\ - 1 - 2 s & = & - 1 & | | + 1 | : (- 2) \\ s & = & 0 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\begin{array}{c} 3 + s \\ 3 + 0 \\ 3 \end{array} \begin{array}{c} = \\ = \\ = \end{array} \begin{array}{c} - 2 + 2 t \\ - 2 + 2 \cdot (- 1) \\ - 4 \end{array}$
  Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
  $\Rightarrow$ g und h sind windschief zueinander.
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17. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ - 6 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ - 6 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ 2 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ - 6 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} 1 = - 3 λ \\ - 3 = 9 λ \\ 2 = - 6 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} λ = - 0,33 \\ λ = - 0,33 \\ λ = - 0,33 \end{array}$
  Da alle $λ$ den selben Wert haben, sind die Vektoren linear abhängig.
  $\Rightarrow$ linear abhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
  Einsetzen
  Ortsvektor des Aufpunktes von g: $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array})$
  $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ - 6 \end{array})$
  Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
  Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 7 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ - 6 \end{array})$
  Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
  $| \begin{array}{c} 2 = 4 - 3 λ \\ - 1 = - 7 + 9 λ \\ - 3 = 1 - 6 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} λ = 0,66 \\ λ = 0,66 \\ λ = 0,66 \end{array}$
  Da jeder Wert von t gleich ist, liegt Aufpunkt von g auf der Gerade h.
  Also sind die beiden Geraden identisch.
  $\Rightarrow$ $h = g$
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18. $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
  Lineare Unabhängigkeit
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$ $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array})$
  Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
  $(\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) = λ \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array})$
  Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $λ$ .
  $| \begin{array}{c} - 4 = - 4 λ \\ - 2 = - 4 λ \\ 6 = 10 λ \end{array} \begin{array}{c} \to \\ \to \\ \to \end{array} \begin{array}{c} λ = - 1 \\ λ = 0,5 \\ λ = 0,6 \end{array}$
  Da alle $λ$ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
  $\Rightarrow$ linear unabhängig
  $\Rightarrow$ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
  Gleichungssystem lösen
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 4 \\ 10 \end{array})$
  Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
  $\begin{array}{rcrc} 1 - 4 s & = & - 1 - 4 t & | | + 1 \\ - 2 - 2 s & = & - 2 - 4 t & | | + 2 \\ 1 + 6 s & = & 2 + 10 t \end{array}$
  Die ersten beiden Gleichungen lassen sich schnell nach -4t umformen.
  $\begin{array}{rcr} 2 - 4 s & = & - 4 t \\ - 2 s & = & - 4 t \\ 1 + 6 s & = & 2 + 10 t \end{array}$
  Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhälst du den Wert s.
  Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.
  $\begin{array}{l} 2 - 4 s = - 2 s | | + 4 s | : 2 \\ s = 1 \\ t = 0,5 \end{array}$
  Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
  $\begin{array}{l} 1 + 6 s = 2 + 10 t \\ 1 + 6 = 2 + 5 \\ 7 = 7 \end{array}$
  Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
  Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichungen einsetzt.
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 6 \end{array})$
  
  $\Rightarrow \vec{O S} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ 7 \end{array})$
  Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S (- 3 | - 4 | 7)$ .
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2
Senkrechte Geraden
Beurteile für die Funktionenpaare anhand der Terme, ob ihre Schaubilder senkrecht aufeinanderstehen.
1. $g_{1} (x) = - 2 x - 4$
  $g_{2} (x) = 3 x + 4$
  Senkrecht
  Nicht senkrecht
2. $g_{1} (x) = - x - 2$
  $g_{2} (x) = 4 x + 1$
  Senkrecht
  Nicht senkrecht
3. $g_{1} (x) = - x - 8$
  $g_{2} (x) = x + \frac{4}{3}$
  Senkrecht
  Nicht senkrecht
4. $g_{1} (x) = - \frac{1}{3} x + 5$
  $g_{2} (x) = 3 x - 2$
  Senkrecht
5. $\begin{array}{ll} f (x) & = & - 4 x + 3 \\ g (x) & = & - x + 3 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zueinander senkrechte Geraden
  Sie sind nicht senkrecht, da $(- 4) \cdot (- 1) = 4 \neq - 1.$
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6. $\begin{array}{ll} f (x) & = & - x + 3 \\ g (x) & = & - x + 8 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zueinander senkrechte Geraden
  Sie sind nicht senkrecht, da $(- 1) \cdot (- 1) = 1 \neq - 1.$
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7. $\begin{array}{ll} f (x) & = & - 4 x + 3 \\ g (x) & = & \frac{1}{4} x \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zueinander senkrechte Geraden
  Sie sind senkrecht, da $(- 4) \cdot \frac{1}{4} = - 1.$
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8. $\begin{array}{ll} f (x) & = & \frac{1}{8} x - 8 \\ g (x) & = & - 8 x - 8 \end{array}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zueinander senkrechte Geraden
  Sie sind senkrecht, da $(- 8) \cdot \frac{1}{8} = - 1.$
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Aufgaben zur Lagebeziehung zweier Geraden

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