$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -7\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$

$\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 7\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Nun betrachte zunächst nur die ersten beiden Zeilen, denn falls diese keine Lösung haben sind die Vektoren auf jeden Fall linear unabhängig.

$\begin{array}{l}\mathrm{I}:1\cdot \mathrm{\lambda }=3\\ \mathrm{I}\mathrm{I}:2\cdot \mathrm{\lambda }=1\end{array}$

Hier ist schon zu erkennen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, sonst gäbe es ein $\lambda$, welches die Gleichungen erfüllen könnte. Dies kannst du letztendlich eindeutig durch Einsetzen ausprobieren.

$\mathrm{I}\mathrm{in}\mathrm{I}\mathrm{I}:2\cdot (3)=1$

Die Gleichung hat keine Lösung, damit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.

$\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -7\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9\\ 0\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -4\end{array}\right)$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .

$\begin{array}{lcrcr}\mathrm{I}:& & \mathrm{s}& =& -9+3\mathrm{t}\\ \mathrm{I}\mathrm{I}:& & 8+2\mathrm{s}& =& \mathrm{t}\\ \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}:& & -7-2\mathrm{s}& =& 7-4\mathrm{t}\end{array}$

Um dieses zu lösen, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da zwei der Gleichungen schon nach einer Variablen aufgelöst sind. Deswegen kannst du die Gleichung $\mathrm{I}$ ohne viel Aufwand in Gleichung $\mathrm{II}$ einsetzen.

$\begin{array}{l}\mathrm{I}\mathrm{in}\mathrm{I}\mathrm{I}:\\ 8+2\cdot (-9+3\mathrm{t})& =& t& \\ 8-18+6\mathrm{t}& =& t& |-6t\\ -10& =& -5t& |:(-5)\\ 2& =& t& \end{array}$

Setze dann t in die Gleichung $\mathrm{I}$ ein, damit erhältst du den Wert von s.

$\begin{array}{ccr}\mathrm{s}& =& -9+3\cdot (2)\\ \mathrm{s}& =& -3\end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.

$\begin{array}{rcr}-7-2s& =& 7-4t\\ -7-2\cdot (-3)& =& 7-4\cdot (2)\\ -1& =& -1\end{array}$

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt. Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt. Du erhältst dann den Ortsvektor $\overrightarrow{O}S$ des Schnittpunktes.

$\begin{array}{l}\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -7\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)\end{array}=$

$\Rightarrow \overrightarrow{OS}=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -7\end{array}\right)+(-3)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ -7\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$

Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S(-3\left|2\right|-1)$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -12\end{array}\right)$     $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}9\\ 14\\ 4\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 16\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}6\\ 9\\ -12\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 16\end{array}\right)$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$\begin{array}{rcr}6=-8\lambda & \to & \lambda =-\mathrm{0,75}\\ 9=-12\lambda & \to & \lambda =-\mathrm{0,75}\\ -12=16\lambda & \to & \lambda =-\mathrm{0,75}\end{array}$

Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow$ linear abhängig

Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ 3\end{array}\right)$

$\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}9\\ 14\\ 4\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 16\end{array}\right)$

Setze nun einen Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.

$\left(\begin{array}{c}3\\ 7\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 14\\ 4\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ -12\\ 16\end{array}\right)$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

$|\begin{array}{r}3=9-8\mathrm{t}\\ 7=14-12\mathrm{t}\\ 3=4+16\mathrm{t}\end{array}\begin{array}{r}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{l}\mathrm{t}=\mathrm{0,75}\\ \mathrm{t}=\mathrm{0,5833}\\ \mathrm{t}=-\mathrm{0,0625}\end{array}$

Sobald sich (mindestens) zwei unterschiedliche Werte für t ergeben ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Hier sind es sogar drei verschiedene Werte. Der Aufpunkt der Gerade g liegt also nicht auf der Geraden h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

$\Rightarrow$ $\mathrm{h}\parallel \mathrm{g}$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ -5\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ 6\end{array}\right)=\mathrm{\lambda }\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$|\begin{array}{c}9=-9\lambda \\ -3=3\lambda \\ 6=-6\lambda \end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}\lambda =-1\\ \lambda =-1\\ \lambda =-1\end{array}$

Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow$ linear abhängig

Einsetzen

Ortsvektor von g: $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

$\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ -5\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ -5\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-9\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

$|\begin{array}{l}2=-7-9\mathrm{t}\\ 2=5+3\mathrm{t}\\ 1=-5-6\mathrm{t}\end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}\mathrm{t}=-1\\ \mathrm{t}=-1\\ \mathrm{t}=-1\end{array}$

Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Ortsvektor von g auf der Gerade h.

Also sind die beiden Geraden identisch.

$\Rightarrow$ $\mathrm{h}=\mathrm{g}$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$|\begin{array}{c}2=2\lambda \\ 1=2\lambda \\ -3=-5\lambda \end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{l}\lambda =1\\ \lambda =\mathrm{0,5}\\ \lambda =\mathrm{0,6}\end{array}$

Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.

$\Rightarrow$ linear unabhängig

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ -5\end{array}\right)$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.

$|\begin{array}{c}1+2s=-1+2t\\ -2+s=-2+2t\\ 1-3s=2-5t\end{array}\begin{array}{l}||-1|:2\\ ||+2\\ ||-1\end{array}$

Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.

$|\begin{array}{l}s=-1+t\\ s=2t\\ -3s=1-5t\end{array}$

Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert t.

Diesen Wert setzt man dann in die zweite Gleichung ein und erhält s.

$\begin{array}{l}2t=-1+t||-t\\ t=-1\\ s=-2\end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.

$\begin{array}{c}1-3s=2-5t\\ 1-3\cdot (-2)=2-5\cdot (-1)\\ 7=7\end{array}$

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.

Diesen ermittelt man, indem man eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt.

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

 $\Rightarrow \overrightarrow{OS}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)+(-2)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 7\end{array}\right)$

Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S(-3|-4|7)$.

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$ $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das t.

$|\begin{array}{c}-1=2\mathrm{t}\\ 1=-2\mathrm{t}\\ 3=-6\mathrm{t}\end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}\mathrm{t}=-\mathrm{0,5}\\ \mathrm{t}=-\mathrm{0,5}\\ \mathrm{t}=-\mathrm{0,5}\end{array}$

Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow$ linear abhängig

Einsetzen

Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

$\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.

$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -6\end{array}\right)$

Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.

$|\begin{array}{c}-2=1+2\mathrm{t}\\ 1=-3-2\mathrm{t}\\ 1=2-6\mathrm{t}\end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{l}\mathrm{t}=-\mathrm{1,5}\\ \mathrm{t}=-2\\ \mathrm{t}=\mathrm{0,167}\end{array}$

Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

$\Rightarrow$ $\mathrm{h}\parallel \mathrm{g}$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 1\end{array}\right)$    $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$|\begin{array}{c}0=-1\lambda \\ -2=\lambda \\ 1=2\lambda \end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{l}\lambda =0\\ \lambda =-2\\ \lambda =\mathrm{0,5}\end{array}$

Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.

$\Rightarrow$ linear unabhängig

$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.

$\begin{array}{rcrl}2& =& 1-t& ||+t-2\\ -1-2s& =& t& \\ 3+s& =& -2+2t& ||-3\end{array}$

Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Diesen Wert kann man dann in die zweite Gleichung einsetzten und erhält so den Wert für s.

$\begin{array}{rcrl}t& =& -1& \\ -1-2s& =& -1& ||+1|:(-2)\\ s& =& 0& \end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

$\begin{array}{l}3+s\\ 3+0\\ 3\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{l}-2+2t\\ -2+2\cdot (-1)\\ -4\end{array}$

Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -2\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -2\end{array}\right)$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$|\begin{array}{c}2=-4\lambda \\ 3=-6\lambda \\ 1=-2\lambda \end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}\lambda =-\mathrm{0,5}\\ \lambda =-\mathrm{0,5}\\ \lambda =-\mathrm{0,5}\end{array}$

Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow$ linear abhängig

Einsetzen

Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

$\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -2\end{array}\right)$

Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Meist wird dazu der Ortsvektor des Aufpunkts verwendet.

$\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -2\end{array}\right)$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

$|\begin{array}{c}7=1-4t\\ -2=-6t\\ 2=3-2t\end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{l}t=-\mathrm{1,5}\\ t=\mathrm{0,33}\\ t=\mathrm{0,5}\end{array}$

Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

$\Rightarrow$ $\mathrm{h}\parallel \mathrm{g}$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -2\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -2\end{array}\right)$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$|\begin{array}{c}1=-4\lambda \\ 1=-6\lambda \\ 2=-2\lambda \end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{l}\lambda =-\mathrm{0,25}\\ \lambda =-\mathrm{0,167}\\ \lambda =-1\end{array}$

Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.

$\Rightarrow$ linear unabhängig

$\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ -6\\ -2\end{array}\right)$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .

$\begin{array}{rcrr}4+s& =& 1-4t& ||-4\\ -6+s& =& -6t& ||+6\\ -1+2s& =& 3-2t& \end{array}$

Die ersten beiden Zeilen lassen sich schnell nach s auflösen. Diese setzt man dann gleich und erhält den Wert für t. Den setzt man dann in eine der beiden Gleichungen ein und bekommt s.

$\begin{array}{rcrl}s& =& -3-4t& \\ s& =& 6-6t& \\ -3-4t& =& 6-6t& ||+3+6t\\ 2t& =& 9& ||:2\\ t& =& 4.5& \\ s& =& =-21& \end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

$\begin{array}{l}-1+2s\\ -1+2\cdot (-21)\\ -43\end{array}\begin{array}{c}=\\ =\\ =\end{array}\begin{array}{r}3-2t\\ 3-2\cdot \mathrm{4,5}\\ -6\end{array}$

Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 2\end{array}\right)$ $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 21\\ 6\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 7\\ 2\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 21\\ 6\end{array}\right)$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$|\begin{array}{c}-1=-3\lambda \\ 7=21\lambda \\ 2=6\lambda \end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}\lambda =\mathrm{0,33}\\ \lambda =\mathrm{0,33}\\ \lambda =\mathrm{0,33}\end{array}$

Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow$ linear abhängig

Einsetzen

Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)$

$\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 21\\ 6\end{array}\right)$

Setze nun den Orstvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ 21\\ 6\end{array}\right)$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

$|\begin{array}{c}2=1-3\mathrm{t}\\ 3=10+21\mathrm{t}\\ 0=2+6\mathrm{t}\end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}\mathrm{t}=-\mathrm{0,33}\\ \mathrm{t}=-\mathrm{0,33}\\ \mathrm{t}=-\mathrm{0,33}\end{array}$

Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Aufpunkt von g auf der Gerade h.

Also sind die beiden Geraden identisch.

$\Rightarrow$ $\mathrm{h}=\mathrm{g}$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Schreib dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$|\begin{array}{l}2=\lambda \\ 3=\lambda \\ 1=2\lambda \end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{l}\lambda =2\\ \lambda =3\\ \lambda =\mathrm{0,5}\end{array}$

Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.

$\Rightarrow$ linear unabhängig

$\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .

$\begin{array}{rcrr}7+2s& =& 4+t& ||-4\\ -2+3s& =& -6+t& ||+6\\ 2+s& =& -1+2t& \end{array}$

Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach t auflösen.

$\begin{array}{rcll}3+2s& =& t& \\ 4+3s& =& t& \\ 2+s& =& -1+2t& \end{array}$

Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert s.

Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.

$\begin{array}{l}3+2s=4+3s||-2s-4\\ s=-1\\ t=1\end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

$\begin{array}{l}2+s=-1+2t\\ 2+(-1)=-1+2\\ 1=1\end{array}$

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.

Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzst.

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{OS}=\left(\begin{array}{c}7\\ -2\\ 2\end{array}\right)+(-1)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ -5\\ 1\end{array}\right)$

Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S\left(5|-5|1\right)$.

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ $\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -3\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}9\\ -3\\ 6\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

Schreib diese aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$|\begin{array}{c}9=-6\lambda \\ -3=2\lambda \\ 6=-4\lambda \end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}\lambda =-\mathrm{1,5}\\ \lambda =-\mathrm{1,5}\\ \lambda =-\mathrm{1,5}\end{array}$

Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow$ linear abhängig

Einsetzen

Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

$\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -3\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dazu wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.

$\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ -4\end{array}\right)$

Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.

$|\begin{array}{c}2=-4-6\mathrm{t}\\ 2=4+2\mathrm{t}\\ 1=-3-4\mathrm{t}\end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}\mathrm{t}=-1\\ \mathrm{t}=-1\\ \mathrm{t}=-1\end{array}$

Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Aufpunkt von g auf der Gerade h.

Also sind die beiden Geraden identisch.

$\Rightarrow$ $\mathrm{h}=\mathrm{g}$

$\mathrm{g}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+\mathrm{s}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

$\mathrm{h}:\overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right)+\mathrm{t}\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$|\begin{array}{c}1=-2\lambda \\ -2=4\lambda \\ 1=-2\lambda \end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}\lambda =-\mathrm{0,5}\\ \lambda =-\mathrm{0,5}\\ \lambda =-\mathrm{0,5}\end{array}$