$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}\;=\;\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$

$\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-9\\0\\7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$

Nun betrachte zunächst nur die ersten beiden Zeilen, denn falls diese keine Lösung haben sind die Vektoren auf jeden Fall linear unabhängig.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm I:\;\;\;1\cdot\mathrm\lambda=3\\\mathrm{II:}\;\;\;2\cdot\mathrm\lambda=1\end{array}$

Hier ist schon zu erkennen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, sonst gäbe es ein $\lambda$, welches die Gleichungen erfüllen könnte. Dies kannst du letztendlich eindeutig durch Einsetzen ausprobieren.

$\mathrm I\;\;\mathrm{in}\;\;\mathrm{II:}\;\;\;2\cdot(3)\;=\;1$

Die Gleichung hat keine Lösung, damit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.

$\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9\\0\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcrcr}\mathrm I:&\;&\mathrm s&=&-9+3\mathrm t\\\mathrm{II:}&\;&8+2\mathrm s&=&\mathrm t\\\mathrm{III:}&\;&-7-2\mathrm s&=&7-4\mathrm t\end{array}$

Um dieses zu lösen, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da zwei der Gleichungen schon nach einer Variablen aufgelöst sind. Deswegen kannst du die Gleichung $\mathrm I$ ohne viel Aufwand in Gleichung $\mathrm{II}$ einsetzen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcrlc}\mathrm I\;\;\mathrm{in}\;\;\mathrm{II:}\\8+2\cdot(-9+3\mathrm t)&=&t&\;\\8-18+6\mathrm t&=&t&\;\left|-6t\right.\\-10&=&-5t&\;\left|:(-5)\right.\\2&=&t&\;\end{array}$

Setze dann t in die Gleichung $\mathrm I$ ein, damit erhältst du den Wert von s.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccr}\mathrm s&=&-9+3\cdot(2)\\\mathrm s&=&-3\end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcr}-7-2s&=&7-4t\\-7-2\cdot(-3)&=&7-4\cdot(2)\\-1&=&-1\end{array}$

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt. Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt. Du erhältst dann den Ortsvektor $\overrightarrow OS$ des Schnittpunktes.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}\;=\;\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}\;+\;\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}\end{array}=$

$\Rightarrow \overrightarrow {OS}=\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}+(-3)\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix}0\\8\\-7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix}-3\\2\\-1\end{pmatrix}$

Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S\left(-3\ \left|2\right|-1\right)$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}$     $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\begin{pmatrix}6\\9\\-12\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcr}6=-8\lambda &\rightarrow &\lambda = -0{,}75 \\ 9=-12 \lambda &\rightarrow &\lambda = -0{,}75 \\ -12 = 16 \lambda &\rightarrow &\lambda = -0{,}75 \end{array}$

Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow\;$ linear abhängig

Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}$

$\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}$

Setze nun einen Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.

$\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix}$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{r}3=9-8\mathrm t\\7=14-12\mathrm t\\3=4+16\mathrm t\end{array}\begin{array}{r}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=0{,}75\\\mathrm t=0{,}5833\\\mathrm t=-0{,}0625\end{array}\right.$

Sobald sich (mindestens) zwei unterschiedliche Werte für t ergeben ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Hier sind es sogar drei verschiedene Werte. Der Aufpunkt der Gerade g liegt also nicht auf der Geraden h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

$\Rightarrow\;\;$ $\mathrm h\parallel\mathrm g$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\begin{pmatrix}9\\-3\\6\end{pmatrix}=\mathrm \lambda\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}9=-9\lambda\\-3=3\lambda\\6=-6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-1\\\lambda=-1\\\lambda=-1\end{array}\right.$

Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow\;$ linear abhängig

Einsetzen

Ortsvektor von g: $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$

$\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}$

Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.

$\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix}$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}2=-7-9\mathrm t\\2=5+3\mathrm t\\1=-5-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\\\mathrm t=-1\end{array}\right.$

Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Ortsvektor von g auf der Gerade h.

Also sind die beiden Geraden identisch.

$\Rightarrow\;\;$ $\mathrm h=\mathrm g$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}2=2\lambda\\1=2\lambda\\-3=-5\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=1\\\lambda=0{,}5\\\lambda=0{,}6\end{array}\right.$

Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.

$\Rightarrow\;$ linear unabhängig

$\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\2\\-5\end{pmatrix}$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}1+2s=-1+2t\;\\-2+s=-2+2t\;\\1-3s=2-5t\end{array}\begin{array}{l}\left|\left|\;-1\;\;\;\mid:2\right.\right.\\\left|\left|\;+2\right.\right.\\\left|\left|\;-1\right.\right.\end{array}\right.$

Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{l}s=-1+t\\s=2t\\-3s=1-5t\end{array}\right.$

Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert t.

Diesen Wert setzt man dann in die zweite Gleichung ein und erhält s.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2t=-1+t\;\;\;\left|\left|-t\right.\right.\\t=-1\\s=-2\end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}1-3s\;=\;2-5t\\1-3\cdot(-2)\;=\;2-5\cdot(-1)\\7\;=\;7\end{array}$

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.

Diesen ermittelt man, indem man eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$

 $\Rightarrow\;\overrightarrow {OS}=\;\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\;+(-2)\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\-2\\6\end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix}-3\\-4\\7\end{pmatrix}$

Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind $S\left(-3\left|-4\right|7\right)$.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}=\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das t.

$\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}-1=2\mathrm t\\1=-2\mathrm t\\3=-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-0{,}5\\\mathrm t=-0{,}5\\\mathrm t=-0{,}5\end{array}\right.$

Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow\;\;$ linear abhängig

Einsetzen

Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$

$\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}$

Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.

$\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-6\end{pmatrix}$

Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}-2=1+2\mathrm t\\1=-3-2\mathrm t\\1=2-6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\mathrm t=-1{,}5\\\mathrm t=-2\\\mathrm t=0{,}167\end{array}\right.$

Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

$\Rightarrow\;$ $\mathrm h\parallel\mathrm g$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}$    $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}0=-1\lambda\\-2=\lambda\\1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\lambda=0\\\lambda=-2\\\lambda=0{,}5\end{array}\right.$

Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.

$\Rightarrow\;$ linear unabhängig

$\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}2&=&1-t & \mid\mid +t-2 \\ -1 -2s & = & t \\ 3 + s & = & -2 +2t & \mid\mid-3 \end{array}$

Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Diesen Wert kann man dann in die zweite Gleichung einsetzten und erhält so den Wert für s.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}t&=&-1 & \; \\ -1 -2s & = & -1 & \mid\mid+1 \;\mid :(-2)\\ s & = & 0 \end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3+s\\3+0\\3\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{l}-2+2t\\-2+2\cdot(-1)\\-4\end{array}$

Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda \cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}2=-4\lambda\\3=-6\lambda\\1=-2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=-0{,}5\\\lambda=-0{,}5\\\lambda=-0{,}5\end{array}\right.$

Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow\;$ linear abhängig

Einsetzen

Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}$

$\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$

Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Meist wird dazu der Ortsvektor des Aufpunkts verwendet.

$\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}7=1-4t\\-2=-6t\\2=3-2t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}t =-1{,}5\\t=0{,}33\\t=0{,}5\end{array}\right.$

Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.

Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.

$\Rightarrow\;\;$ $\mathrm h\parallel\mathrm g$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}1=-4\lambda\\1=-6\lambda\\2=-2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{l}\lambda=-0{,}25\\\lambda=-0{,}167\\\lambda=-1\end{array}\right.$

Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.

$\Rightarrow\;\;$ linear unabhängig

$\;\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-4\\-6\\-2\end{pmatrix}$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcrr} 4 + s & = & 1-4t & \mid\mid -4 \\ -6 + s & = & -6t & \mid\mid +6 \\ -1 +2s & = & 3 - 2t & \; \end{array}$

Die ersten beiden Zeilen lassen sich schnell nach s auflösen. Diese setzt man dann gleich und erhält den Wert für t. Den setzt man dann in eine der beiden Gleichungen ein und bekommt s.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl} s & = & -3-4t & \; \\ s & = & 6-6t & \; \\ -3-4t & = & 6-6t & \mid\mid+3+6t \\ 2t& = & 9 & \mid\mid:2 \\ t & = & 4.5 \\ s & = & =-21 \end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}-1+2s\\-1+2\cdot(-21)\\-43\end{array}\begin{array}{c}=\\=\\=\end{array}\begin{array}{r}3-2t\\3-2\cdot4{,}5\\-6\end{array}$

Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}$

Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{c}-1=-3\lambda\\7=21\lambda\\2=6\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{c}\lambda=0{,}33\\\lambda=0{,}33\\\lambda=0{,}33\end{array}\right.$

Da alle $\lambda$ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.

$\Rightarrow\;$ linear abhängig

Einsetzen

Ortsvektor des Aufpunktes von g: $\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}$

$\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}$

Setze nun den Orstvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.

Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.

$\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\10\\2\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}-3\\21\\6\end{pmatrix}$

Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.

$\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}2=1-3\mathrm t\\3=10+21\mathrm t\\0=2+6\mathrm t\end{array}\begin{array}{c}\rightarrow\\\rightarrow\\\rightarrow\end{array}\begin{array}{c}\mathrm t=-0{,}33\\\mathrm t=-0{,}33\\\mathrm t=-0{,}33\end{array}\right.$

Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Aufpunkt von g auf der Gerade h.

Also sind die beiden Geraden identisch.

$\Rightarrow\;\;$ $\mathrm h=\mathrm g$

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$ $\mathrm h:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

$\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

Schreib dies aus und berechne dann für jede Zeile das $\lambda$.

$\def\arraystretch{1.25} \;\left|\begin{array}{l}2=\lambda\\3=\lambda\\1=2\lambda\end{array}\begin{array}{c}\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\\\;\rightarrow\;\end{array}\begin{array}{l}\lambda=2\\\lambda=3\\\lambda=0{,}5\end{array}\right.$

Da alle $\lambda$ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.

$\Rightarrow\;$ linear unabhängig

$\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-6\\-1\end{pmatrix}+\mathrm t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcr}7+2s & = & 4 + t & \mid\mid -4 \\ -2 + 3s & = & -6 +t & \mid\mid +6 \\ 2+s & = & -1+2t & \; \end{array}$

Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach t auflösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{|rcl}3+2s & = & t & \\ 4 + 3s & = & t & \\ 2+s & = & -1+2t & \; \end{array}$

Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert s.

Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}3+2s=4+3s\;\;\;\left|\left|-2s-4\right.\right.\\s=-1\\t=1\end{array}$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}2+s\;=\;-1+2t\\2+(-1)\;=\;-1+2\\1\;=\;1\end{array}$

Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.

Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzst.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x\;}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$

$\;\Rightarrow\;\overrightarrow{OS}=\;\begin{pmatrix}7\\-2\\2\end{pmatrix}\;+(-1)\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-5\\1\end{pmatrix}$