Bestimme die Lage der Geraden zueinander und berechne ihren Schnittpunkt wenn er exisitiert.
g:x=08−7+s⋅12−2 und h:x=−907+t⋅31−4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=08−7+s⋅12−2
h:x=−907+t⋅31−4
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
λ⋅12−2=31−4
Nun betrachte zunächst nur die ersten beiden Zeilen, denn falls diese keine Lösung haben sind die Vektoren auf jeden Fall linear unabhängig.
I:1⋅λ=3II:2⋅λ=1
Hier ist schon zu erkennen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, sonst gäbe es ein λ, welches die Gleichungen erfüllen könnte. Dies kannst du letztendlich eindeutig durch Einsetzen ausprobieren.
IinII:2⋅(3)=1
Die Gleichung hat keine Lösung, damit ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
08−7+s⋅12−2=−907+t⋅31−4
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
I:II:III:s8+2s−7−2s===−9+3tt7−4t
Um dieses zu lösen, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da zwei der Gleichungen schon nach einer Variablen aufgelöst sind. Deswegen kannst du die Gleichung I ohne viel Aufwand in Gleichung II einsetzen.
IinII:8+2⋅(−9+3t)8−18+6t−102====tt−5tt∣−6t∣:(−5)
Setze dann t in die Gleichung I ein, damit erhältst du den Wert von s.
ss==−9+3⋅(2)−3
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.
−7−2s−7−2⋅(−3)−1===7−4t7−4⋅(2)−1
Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt. Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt. Du erhältst dann den Ortsvektor OS des Schnittpunktes.
g:x=08−7+s⋅12−2=
⇒OS=08−7+(−3)⋅12−2=
=08−7+−3−66=−32−1
Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind S(−3 ∣2∣−1)
Die Geraden sind nicht parallel. Haben aber einen Schnittpunkt. Damit stehen sie nicht windschief.
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=373+s⋅69−12 und h:x=9144+t⋅−8−1216
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=373+s⋅69−12 h:x=9144+t⋅−8−1216
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
69−12=λ⋅−8−1216
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
6=−8λ9=−12λ−12=16λ→→→λ=−0,75λ=−0,75λ=−0,75
Da alle λ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒ linear abhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
Einsetzen
Ortsvektor des Aufpunktes von g: 373
h:x=9144+t⋅−8−1216
Setze nun einen Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
373=9144+t⋅−8−1216
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
3=9−8t7=14−12t3=4+16t→→→t=0,75t=0,5833t=−0,0625
Sobald sich (mindestens) zwei unterschiedliche Werte für t ergeben ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Hier sind es sogar drei verschiedene Werte. Der Aufpunkt der Gerade g liegt also nicht auf der Geraden h.
Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
⇒ h∥g
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=221+s⋅9−36 und h:x=−75−5+t⋅−93−6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=221+s⋅9−36 h:x=−75−5+t⋅−93−6
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
9−36=λ⋅−93−6
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
9=−9λ−3=3λ6=−6λ→→→λ=−1λ=−1λ=−1
Da alle λ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒ linear abhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
Einsetzen
Ortsvektor von g: 221
h:x=−75−5+t⋅−93−6
Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Dafür wird meist der Ortsvektor genommen.
221=−75−5+t⋅−93−6
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
2=−7−9t2=5+3t1=−5−6t→→→t=−1t=−1t=−1
Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Ortsvektor von g auf der Gerade h.
Also sind die beiden Geraden identisch.
⇒ h=g
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=1−21+s⋅21−3 und h:x=−1−22+t⋅22−5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=1−21+s⋅21−3 h:x=−1−22+t⋅22−5
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
21−3=λ⋅22−5
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
2=2λ1=2λ−3=−5λ→→→λ=1λ=0,5λ=0,6
Da alle λ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒ linear unabhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
1−21+s⋅21−3=−1−22+t⋅22−5
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
1+2s=−1+2t−2+s=−2+2t1−3s=2−5t∣∣−1∣:2∣∣+2∣∣−1
Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.
s=−1+ts=2t−3s=1−5t
Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert t.
Diesen Wert setzt man dann in die zweite Gleichung ein und erhält s.
2t=−1+t∣∣−tt=−1s=−2
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnisse in die dritte Gleichung ein.
1−3s=2−5t1−3⋅(−2)=2−5⋅(−1)7=7
Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
Diesen ermittelt man, indem man eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzt.
g:x=1−21+s⋅21−3
⇒OS=1−21+(−2)⋅21−3
=1−21+−4−26=−3−47
Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind S(−3∣−4∣7).
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=−211+s⋅−113 und h:x=1−32+t⋅2−2−6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=−211+s⋅−113 h:x=1−32+t⋅2−2−6
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
−113=t⋅2−2−6
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das t.
−1=2t1=−2t3=−6t→→→t=−0,5t=−0,5t=−0,5
Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒ linear abhängig
⇒ Nun weißt man, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
Einsetzen
Ortsvektor des Aufpunktes von g: −211
h:x=1−32+t⋅2−2−6
Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
−211=1−32+t⋅2−2−6
Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.
−2=1+2t1=−3−2t1=2−6t→→→t=−1,5t=−2t=0,167
Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.
Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
⇒ h∥g
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=2−13+s⋅0−21 und h:x=10−2+t⋅−112
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=2−13+s⋅0−21 h:x=10−2+t⋅−112
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
0−21=λ⋅−112
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
0=−1λ−2=λ1=2λ→→→λ=0λ=−2λ=0,5
Da alle λ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒ linear unabhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
2−13+s⋅0−21=10−2+t⋅−112
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
2−1−2s3+s===1−tt−2+2t∣∣+t−2∣∣−3
Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Diesen Wert kann man dann in die zweite Gleichung einsetzten und erhält so den Wert für s.
t−1−2ss===−1−10∣∣+1∣:(−2)
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
3+s3+03===−2+2t−2+2⋅(−1)−4
Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
⇒ g und h sind windschief zueinander
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=7−22+s⋅231 und h:x=103+t⋅−4−6−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=7−22+s⋅231 h:x=103+t⋅−4−6−2
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
231=λ⋅−4−6−2
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
2=−4λ3=−6λ1=−2λ→→→λ=−0,5λ=−0,5λ=−0,5
Da alle t den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒ linear abhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
Einsetzen
Ortsvektor des Aufpunktes von g: 7−22
h:x=103+t⋅−4−6−2
Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Meist wird dazu der Ortsvektor des Aufpunkts verwendet.
7−22=103+t⋅−4−6−2
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
7=1−4t−2=−6t2=3−2t→→→t=−1,5t=0,33t=0,5
Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.
Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
⇒ h∥g
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=4−6−1+s⋅112 und h:x=103+t⋅−4−6−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=4−6−1+s⋅112 h:x=103+t⋅−4−6−2
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
112=λ⋅−4−6−2
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
1=−4λ1=−6λ2=−2λ→→→λ=−0,25λ=−0,167λ=−1
Da alle λ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒ linear unabhängig
⇒ Nun weiß man, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
4−6−1+s⋅112=103+t⋅−4−6−2
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
4+s−6+s−1+2s===1−4t−6t3−2t∣∣−4∣∣+6
Die ersten beiden Zeilen lassen sich schnell nach s auflösen. Diese setzt man dann gleich und erhält den Wert für t. Den setzt man dann in eine der beiden Gleichungen ein und bekommt s.
ss−3−4t2tts======−3−4t6−6t6−6t94.5=−21∣∣+3+6t∣∣:2
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
−1+2s−1+2⋅(−21)−43===3−2t3−2⋅4,5−6
Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
⇒ g und h sind windschief zueinander
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=230+s⋅−172 und h:x=1102+t⋅−3216
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=230+s⋅−172 h:x=1102+t⋅−3216
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
−172=λ⋅−3216
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
−1=−3λ7=21λ2=6λ→→→λ=0,33λ=0,33λ=0,33
Da alle λ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒ linear abhängig
⇒ Nun weiß man, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
Einsetzen
Ortsvektor des Aufpunktes von g: 230
h:x=1102+t⋅−3216
Setze nun den Orstvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Meist wird dafür der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
230=1102+t⋅−3216
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
2=1−3t3=10+21t0=2+6t→→→t=−0,33t=−0,33t=−0,33
Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Aufpunkt von g auf der Gerade h.
Also sind die beiden Geraden identisch.
⇒ h=g
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=7−22+s⋅231 und h:x=4−6−1+t⋅112
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Linear Unabhängigkeit
g:x=7−22+s⋅231 h:x=4−6−1+t⋅112
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
231=λ⋅112
Schreib dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
2=λ3=λ1=2λ→→→λ=2λ=3λ=0,5
Da alle λ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒ linear unabhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
7−22+s⋅231=4−6−1+t⋅112
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
7+2s−2+3s2+s===4+t−6+t−1+2t∣∣−4∣∣+6
Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach t auflösen.
3+2s4+3s2+s===tt−1+2t
Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhält man den Wert s.
Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.
3+2s=4+3s∣∣−2s−4s=−1t=1
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen, setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
2+s=−1+2t2+(−1)=−1+21=1
Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichung einsetzst.
g:x=7−22+s⋅231
⇒OS=7−22+(−1)⋅231=5−51
Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind S(5∣−5∣1).
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=221+s⋅9−36 und h:x=−44−3+t⋅−62−4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=221+s⋅9−36 h:x=−44−3+t⋅−62−4
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
9−36=λ⋅−62−4
Schreib diese aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
9=−6λ−3=2λ6=−4λ→→→λ=−1,5λ=−1,5λ=−1,5
Da alle λ den selben Wert haben sind die Vektoren linear abhängig.
⇒ linear abhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
Einsetzen
Ortsvektor des Aufpunktes von g: 221
h:x=−44−3+t⋅−62−4
Setze nun einen Punkt der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Dazu wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
221=−44−3+t⋅−62−4
Dies schreiben wir wieder aus und berechnen für jede Zeile das t.
2=−4−6t2=4+2t1=−3−4t→→→t=−1t=−1t=−1
Da jeder Wert von t gleich ist, liegt der Aufpunkt von g auf der Gerade h.
Also sind die beiden Geraden identisch.
⇒ h=g
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=2−12+s⋅1−21 und h:x=13−1+t⋅−24−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=2−12+s⋅1−21
h:x=13−1+t⋅−24−2
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
1−21=λ⋅−24−2
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
1=−2λ−2=4λ1=−2λ→→→λ=−0,5λ=−0,5λ=−0,5
Da alle λ den selben Wert haben, sind die Vektoren linear abhängig.
⇒ linear abhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
Einsetzen
Ortsvektor des Aufpunktes von g: 2−12
h:x=13−1+t⋅−24−2
Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
2−12=13−1+t⋅−24−2
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
2=1−2t−1=3+4t2=−1−2t→→→t=−0,5t=−1t=−1,5
Da jeder Wert von t unterschiedlich ist, liegt der Aufpunkt von g nicht auf der Gerade h.
Also können die beiden Geraden nur noch parallel sein.
⇒ h∥g
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=22−3+s⋅21−1 und h:x=30−1+t⋅1−22
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=22−3+s⋅21−1 h:x=30−1+t⋅1−22
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
21−1=λ⋅1−22
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
2=λ1=−2λ−1=2λ→→→λ=2λ=−0,5λ=−0,5
Da die λ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒ linear unabhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
22−3+s⋅21−1=30−1+t⋅1−22
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
2+2s2+s−3−s===3+t−2t−1+2t∣∣−2∣∣−2
Durch ein paar einfache Umformungen lassen sich die oberen beiden Gleichungen nach s auflösen.
2s=1+ts=−2−2t−3−s=−1+2t
Setze dann die zweite Gleichung in die erste ein, damit erhält man den Wert t.
Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte s.
2⋅(−2−2t)−4−4tts====1+t1+t−10
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
−3−s=−1+2t−3=−1−2−3=−3
Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichungen einsetzt.
g:x=22−3+s⋅21−1
⇒OS=22−3
Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind S(2∣2∣−3).
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=1−32+s⋅12−3 und h:x=1443+t⋅2−30
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=1−32+s⋅12−3 h:x=1443+t⋅2−30
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
12−3=λ⋅2−30
Schreibe dies aus und dabei merkst du, dass die Gleichung gar keine Lösung haben kann, da die dritte Zeile einen Wiederspruch beinhaltet. Deshalb sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒ linear unabhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
1−32+s⋅12−3=1443+t⋅2−30
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
1+s−3+2s2−3s===14+2t4−3t3∣∣−2∣:(−3)
Die letzte Zeile lässt sich schnell nach s auflösen. Setze diesen Wert dann in die erste Gleichung ein und erhalte t.
−3ssinI:1+s1−0,33t=====1−0,3314+2t14+2t−6,66∣∣−14∣:2
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die zweite Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die zweite Gleichung ein.
−3+2s−3+2⋅(−0,33)−3,66===4−3t4−3⋅(−6,66)24
Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
⇒ g und h sind windschief zueinander
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=−211+s⋅−113 und h:x=1−32+t⋅2−26
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=−211+s⋅−113 h:x=1−32+t⋅2−26
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
−113=λ⋅2−26
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
−1=2λ1=−2λ3=6λ→→→λ=−0,5λ=−0,5λ=0,5
Da alle λ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒ linear unabhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
−211+s⋅−113=1−32+t⋅2−26
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
−2−s1+s1+3s===1+2t−3−2t2+6t∣∣+2∣∣−1
Die ersten zwei Zeilen lassen sich schnell nach s auflösen. Setze die beiden Gleichungen gleich und löse nach t auf. Setze dann den Wert von t in die erste Gleichung ein.
s=−3−2ts=−4−2t−3−2t=−4−2t−3=−4
Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
⇒ g und h sind windschief zueinander
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=2−13+s⋅0−21 und h:x=10−2+t⋅−112
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=2−13+s⋅0−21
h:x=10−2+t⋅−112
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
0−21=λ⋅−112
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
0=−1λ−2=λ1=2λ→→→λ=0λ=−2λ=0,5
Da alle λ unterschiedliche Werte haben, sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒ linear unabhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
2−13+s⋅0−21=10−2+t⋅−112
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem.
2−1−2s3+s===1−tt−2+2t∣∣+t−2∣∣−3
Die erste Zeile lässt sich schnell nach t auflösen. Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte so den Wert für s.
t−1−2ss===−1−10∣∣+1∣:(−2)
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben, um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
3+s3+03===−2+2t−2+2⋅(−1)−4
Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt.
⇒ g und h sind windschief zueinander.
Hast du eine Frage oder Feedback?
g:x=2−1−3+s⋅1−32 und h:x=4−71+t⋅−39−6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=2−1−3+s⋅1−32 h:x=4−71+t⋅−39−6
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
1−32=λ⋅−39−6
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
1=−3λ−3=9λ2=−6λ→→→λ=−0,33λ=−0,33λ=−0,33
Da alle λ den selben Wert haben, sind die Vektoren linear abhängig.
⇒ linear abhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden identisch oder parallel sind.
Einsetzen
Ortsvektor des Aufpunktes von g: 2−1−3
h:x=4−71+t⋅−39−6
Setze nun den Ortsvektor eines Punktes der ersten Gerade in die Gleichung der zweiten Gerade ein.
Dafür wird meist der Ortsvektor des Aufpunktes genommen.
2−1−3=4−71+t⋅−39−6
Schreibe dies wieder aus und berechne für jede Zeile das t.
2=4−3λ−1=−7+9λ−3=1−6λ→→→λ=0,66λ=0,66λ=0,66
Da jeder Wert von t gleich ist, liegt Aufpunkt von g auf der Gerade h.
Also sind die beiden Geraden identisch.
⇒ h=g
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g:x=1−21+s⋅−4−26 und h:x=−1−22+t⋅−4−410
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Geraden
Lineare Unabhängigkeit
g:x=1−21+s⋅−4−26 h:x=−1−22+t⋅−4−410
Bestimme, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.
−4−26=λ⋅−4−410
Schreibe dies aus und berechne dann für jede Zeile das λ.
−4=−4λ−2=−4λ6=10λ→→→λ=−1λ=0,5λ=0,6
Da alle λ unterschiedliche Werte haben sind die Vektoren linear unabhängig.
⇒ linear unabhängig
⇒ Nun weißt du, dass die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen oder windschief zueinander sind.
Gleichungssystem lösen
1−21+s⋅−4−26=−1−22+t⋅−4−410
Um weitere Aussagen zu erhalten, setze die beiden Geradengleichungen gleich und erstelle ein lineares Gleichungssystem .
1−4s−2−2s1+6s===−1−4t−2−4t2+10t∣∣+1∣∣+2
Die ersten beiden Gleichungen lassen sich schnell nach -4t umformen.
2−4s−2s1+6s===−4t−4t2+10t
Setze dann die oberen beiden Gleichungen gleich, damit erhälst du den Wert s.
Setze diesen Wert dann in die zweite Gleichung ein und erhalte t.
2−4s=−2s∣∣+4s∣:2s=1t=0,5
Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung besitzen. Um dies zu überprüfen setze die Ergebnise in die dritte Gleichung ein.
1+6s=2+10t1+6=2+57=7
Diese Aussage ist wahr, damit besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
Diesen ermittelst du, indem du eine der Lösungen in eine der Geradengleichungen einsetzt.
g:x=1−21+s⋅−4−26
⇒OS=−3−47
Damit ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt. Seine Koordinaten sind S(−3∣−4∣7).
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