Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3C

Die Abbildung zeigt den Körper $A B C D E F$ mit $A (10 | 0 | 0), B (0 | 7,5 | 0), C (0 | - 7,5 | 0), D (8 | 0 | 1),$ $E (0 | 3 | 3)$ und $F (0 | - 3 | 3)$ . Das Dreieck $A B C$ wird als Grundfläche und das Dreieck $D E F$ als Deckfläche des Körpers bezeichnet. Die Deckfläche liegt in der Ebene $L$ .

Zeigen Sie, dass das Dreieck $A B C$ gleichschenklig ist. Berechnen Sie den Innenwinkel des Dreiecks $A B C$ im Eckpunkt $A$ .
Begründen Sie, dass die Kante $E F$ parallel zur Grundfläche liegt. (7 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck
Wir berechnen die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ :
$\vec{A B}$ $=$ $\vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 0 - 10 \\ 7,5 - 0 \\ 0 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 10 \\ 7,5 \\ 0 \end{array})$
$\vec{A C}$ $=$ $\vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 0 - 10 \\ - 7,5 - 0 \\ 0 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 10 \\ - 7,5 \\ 0 \end{array})$
Die Einträge in den Vektoren haben die gleichen Beträge, weshalb die Vektoren gleich lang sind. Das Dreieck $A B C$ ist damit gleichschenklig, da zwei Seiten gleich sind.
Winkel im Punkt $A$
Die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ haben die Längen:
$| \vec{A B} | = \sqrt{(- 10)^{2} + {7,5}^{2} + 0^{2}} = 12,5 = | \vec{A C} |$
Wir setzen die Vektoren und deren Längen in die Formel für den Winkel zwischen Vektoren ein:
$\cos α$ $=$ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
$=$ $\frac{(\begin{array}{c} - 10 \\ 7,5 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 10 \\ - 7,5 \\ 0 \end{array})}{12,5 \cdot 12,5}$
$=$ $\frac{43,75}{156,25}$ $\cos^{- 1} ()$
$α$ $\approx$ $74 °$
Seite $E F$
Der Vektor $\vec{E F} = \vec{O F} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 0 - 0 \\ - 3 - 3 \\ 3 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 6 \\ 0 \end{array})$ verläuft in die Richtung der $x_{2}$ -Achse, denn die anderen Koordinaten sind 0. Damit ist die Seite $E F$ parallel zu dieser Achse.
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Berechne die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ und begründe, dass sie gleich lang sind.
Bestimme den Winkel im Punkt $A$ mithilfe der Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ und der Formel: $\cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
Berechne den Verbindungsvektor $\vec{E F}$ und untersuche die $x_{1}$ und $x_{3}$ -Koordinaten
Der Körper $A B C D E F$ kann zu einer Pyramide mit der Grundfläche $A B C$ und der Spitze $S$ ergänzt werden, wobei $D, E$ und $F$ auf den Kanten der Pyramide liegen.

Begründen Sie, dass $S$ in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene liegt. (5 BE)
Berechnen Sie die Koordinaten von $S$ . [Zur Kontrolle: $S (0 | 0 | 5)$ ]
$S$ liegt in der $x_{2}$ - $x_{3}$ -Ebene
Die Punkte $B, C, E$ und $F$ haben die $x_{1}$ -Koordinaten 0. Da $S$ mit diesen Punkten in einer Ebene liegen muss, hat auch $S$ die $x_{1}$ -Koordinate 0. Damit liegt $S$ auch in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene.
Koordinaten von $S$
Die Gerade durch $A$ und $D$ hat die Gleichung: $g : \vec{x} = \vec{O A} + t \cdot \vec{A D} = (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 8 - 10 \\ 0 - 0 \\ 1 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Gesucht ist der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene. Wir setzen die Gerade gleich mit einem Vektor in dieser Ebene:
$(\begin{array}{c} 0 \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})$ $=$ $(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Die erste Zeile liefert die Gleichung $0 = 10 + - 2 t$ , sodass $t = 5$ sein muss.
Die zweite Zeile liefert die Lösung $x_{2} = 0$ .
Die dritte Zeile liefert für $t = 5$ : $x_{3} = 5$ .
Der Spurpunkt ist damit $S (0 | 0 | 5)$ .
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Untersuche die Koordinaten der Punkte $B, C, E$ und $F$ . Begründe, dass auch $S$ in der $x_{2}$ - $x_{3}$ -Ebene liegt.
Berechne den Spurpunkt der Gerade durch $A$ und $D$ in der $x_{2}$ - $x_{3}$ -Ebene.
$S$ ist auch Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche $D E F$ . Die nebenstehende Abbildung zeigt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene die Punkte $D$ und $S$ sowie den Mittelpunkt $M$ der Kante $E F$ .
Begründen Sie, dass der Abstand von $S$ zur Ebene $L$ kleiner als $2$ ist, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch geeignete Eintragungen in der untenstehenden Abbildung. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lot
Abstand von $S$ zur Ebene $L$
Der Punkt $M$ hat die Koordinaten $(0 | 0 | 3)$ , da er die Mitte der Punkte $E (0 | 3 | 3)$ und $F (0 | - 3 | 3)$ ist.
Der Abstand von $M (0 | 0 | 3)$ und $S (0 | 0 | 5)$ ist $2$ Längeneinheiten.
Den kleinsten Abstand hat $S$ zur Ebene im Lotfußpunkt. Das Lot hat eine kleinere Länge als 2, weshalb der Abstand von $S$ zur Ebene kleiner als 2 ist.
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Berechne den Abstand von $S$ und $M$ . Überlege, wo der kürzeste Abstand von $S$ zur Ebene vorliegt.
Für $t \in [0; 1]$ besitzen die Punkte $D_{t}$ der Strecke $D S$ die $x_{1}$ -Koordinate $8 - 8 t$ .
$A_{E F S}$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks EFS.
Begründen Sie, dass das Volumen der Pyramide $E F S D_{t}$ mit dem Term $\frac{1}{3} \cdot A_{E F S} \cdot (8 - 8 t)$ berechnet werden kann.
Beschreiben Sie ein Vorgehen zur Berechnung des Volumens des Körpers $A B C D_{t} E F$ .
(4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Volumen der Pyramide
Die Formel zur Berechnung des Volumens einer dreiseitigen Pyramide lautet:
$V = \frac{1}{3} G \cdot h$
Die Grundfläche ist für alle Werte von $t$ gegeben durch $A_{E F S}$ .
Die Höhe verändert sich mit $t$ , wobei die Länge der Höhe gerade der $x_{1}$ -Koordinate des Vektors $\vec{D S}$ entspricht.
Eingesetzt ergibt sich also:
$V$ $=$ $\frac{1}{3} G \cdot h$
$=$ $\frac{1}{3} A_{E F S} \cdot (8 - 8 t)$
Volumen des Körpers $A B C D_{t} E F$
Das Volumen von $A B C D_{t} E F$ entspricht das Volumen des roten Körpers.
Berechnet man das Volumen der ganzen Pyramide $A B C S$ kann das Volumen der kleinen, blauen Pyramide $E F D_{t} S$ abgezogen werden.
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Verwende die Formel für das Volumen einer Dreieckspyramide.
Das Volumen des Körpers $A B C D_{t} E F$ kann mithilfe des Volumens von $E F S D_{t}$ berechnet werden.

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$\vec{A B}$	$=$	$\vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 0 - 10 \\ 7,5 - 0 \\ 0 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 10 \\ 7,5 \\ 0 \end{array})$
$\vec{A C}$	$=$	$\vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 0 - 10 \\ - 7,5 - 0 \\ 0 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 10 \\ - 7,5 \\ 0 \end{array})$

$\cos α$	$=$	$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} - 10 \\ 7,5 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} - 10 \\ - 7,5 \\ 0 \end{array})}{12,5 \cdot 12,5}$
	$=$	$\frac{43,75}{156,25}$	$\cos^{- 1} ()$
$α$	$\approx$	$74 °$

$V$	$=$	$\frac{1}{3} G \cdot h$
	$=$	$\frac{1}{3} A_{E F S} \cdot (8 - 8 t)$

Aufgabe 3C

Gleichschenkliges Dreieck

Winkel im Punkt A

Seite EF

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S liegt in der x2-x3-Ebene

Koordinaten von S

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Abstand von S zur Ebene L

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Volumen der Pyramide

Volumen des Körpers ABCDtEF

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Winkel im Punkt $A$

Seite $E F$

$S$ liegt in der $x_{2}$ - $x_{3}$ -Ebene

Koordinaten von $S$

Abstand von $S$ zur Ebene $L$

Volumen des Körpers $A B C D_{t} E F$