Aufgaben zur E-Lehre - lernen mit Serlo!

Elektromagnetische Induktion in einer Leiterschleife

Aufgabenstellung:

Durch das homogene Magnetische Feld der Flußdichte $\vec{B}$ eines Permanentmagneten soll von links nach rechts eine Leiterschleife bewegt werden ( $\rightarrow$ Abb. 1).

Für den Versuch gelten folgende Rahmenbedingungen:

Die Geschwindigkeit $v$ mit welcher die Leiterschleife bewegt wird sei konstant
Die flächige Ausdehnung der Leiterschleife sei waagerecht und exakt $A⊥\vec{B}$
Die eingetauchte Leiterschleife passt flächig vollständig unter das Magnetische Feld $\vec{B}$ (Der Magnet ist exakt so tief wie für die Leiterschleife der Länge l notwendig und zweimal so breit wie die Leiterschleife)
An der Leiterschleife kann mit einem Voltmeter eine Spannung $U$ gemessen werden
Zu Beginn des Versuches ist die Leiterschleife am linken Rand, am Ende des Versuches am rechten Rand jeweils vollständig ausserhalb des Magnetfeldes.

Abb. 1: Schematische Darstellung des Versuchsaufbaues — **Abb. 1:** Schematische Darstellung des Versuchsaufbaues

Wird im Falle des Eintauchens der Leiterschleife in das Magnetfeld eine Spannung $U$ am Voltmeter angezeigt?
- Nein, es tritt keine Spannung auf welche gemessen werden könnte.
- Ja, es wird in der Leiterschleife eine Spannung induziert, diese kann mit dem Voltmesser auch gemessen werden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen ( $\rightarrow$ LINK)
Die Ladungen $q$ werden zusammen mit der Leiterschleife mit der Geschwindigkeit $v$ von links nach rechts bewegt.
Sie erfahren dadurch eine Kraft $F_{Lorentz}$ .
Die Einzelladungen $q$ werden dadurch innerhalb der Leiterschleife verschoben und bilden an sich konzentrierenden Punkten verschiedene positive wie negative Summenladungen $Q$ aus.
Es entsteht dadurch ein elektrisches Potential zwischen zwei definierten Punkten.
Dieses anliegende Potential kann am Voltmeter als elektrische (induzierte) Spannung $U_{ind}$ abgegriffen und gemessen werden.
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Überlege inwieweit bewegte Ladungen in einem Magnetfeld der Flußdichte $\vec{B}$ eine Kraft $F_{Lorentz}$ erfahren könnten und inwieweit dies zu einem elektrischen Potential und damit zu einer induzierten Spannung $U_{ind}$ führen könnte.
Versuche die Herleitung der uns bekannten Formel $U_{ind}= -B\cdot{\dfrac{ \textcolor{#a540ff}{∆A}}{ ∆t}}$ nachzuvollziehen, wobei $\textcolor{#a540ff}{∆A}$ die Änderung der Fläche im Magnetfeld darstellt.
Welchen Spannungsverlauf können wir erkennen?
Die Leiterschleife wird vollständig von links nach rechts bewegt. Wähle aus ( $\rightarrow$ Abb. 2)!
Abb. 2: Auswahl von Spannungsverläufen
- Sägezahnverlauf a)
- Rechteckverlauf b)
- Sinusverlauf c)
Es gilt die uns bekannte Formel: $U_{ind}= -B\cdot{\dfrac{∆A}{∆t}}= -B\cdot{\dfrac{l\cdot{∆x}}{∆t}}$
Wir hatten in der Aufgabenstellung beschrieben, dass $B$ , die Länge $l$ der Leiterschleife, also auch die Geschwindigkeit $v$ konstant sind.
Geschwindigkeit $v=$ Weg pro Zeit $=$ $\dfrac{∆x}{∆t}$ , wobei $∆x$ die Änderung der Eintauchtiefe im Magnetfeld darstellt.
Schauen wir uns die einzelnen Phasen des Vorganges genau an,
. . . so liegen Schritt $1$ und $1a$ außerhalb des Magnetfeldes ( $\rightarrow B = 0$ ).
. . . in Schritt $3$ , also der Bewegung der vollständig eingetauchten Leiterschleife, findet keine Änderung von $∆x$ statt ( $\rightarrow ∆x = 0$ ).
In all diesen Fällen ( $1, 1a, 3$ ) ergibt sich demnach, dass auch $U_{ind}=0$ sein muß! Lediglich für $2$ und $4$ ist $∆x≠0$ somit auch $U_{ind}≠0$ .
Nachdem nun alle Variablen entweder konstant $≠0$ oder $=0$ sind, muß auch das Ergebnis $U_{ind}$ entweder konstant $≠0$ oder $=0$ sein. Eine Konstante ist im $x/y$ Koordinatensystem eine waagerechte Linie, ob nun oberhalb, unterhalb oder gleich der Nulllinie.
Somit ist der Spannungsverlauf aus Lösung b) korrekt
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Es gilt die uns bekannte Formel $U_{ind}= -B\cdot{\dfrac{∆A}{∆t}}$
Die Magnetische Flußdichte $B$ hatten wir als konstant angenommen
Die zweite Variable ist damit die Änderung der Fläche $∆A$ je Zeitintervall $∆t$ im Magnetfeld! Beachte allerdings die Vorgabe einer konstanten Geschwindigkeit $v$ für die Versuchsdurchführung.
Berechne!
Folgende Daten liegen vor:
- Gemessene Spannung: $-60µV$ (Hilfestellung: 1 $µV = 10^{-6}V$ )
- Länge $l$ der Leiterschleife: $3$ $cm$
- Innerhalb einer Zeit von $∆t =$ $1{,}0$ $s$ wird die Leiterschleife jeweils um $1$ $cm$ in den Magneten geschoben ( $v$ = konstant)
Frage: Wie stark ist der Magnet, konkret dessen Magnetische Flußdichte $B$ ?
Tesla
Wir gehen von der uns bekannten Formel aus: $U_{ind}= -B\cdot{\dfrac{∆A}{∆t}}= -B\cdot{\dfrac{l\cdot{∆x}}{∆t}}$
Wir stellen nach der gesuchten Größe um: $B=\dfrac{-U_{ind}\cdot{∆t}}{l\cdot{∆x}}$
Wir passen die gegebenen Größen den Grundeinheiten an . . .
$-60 µV=-0{,}00006V$
$1 cm = 0{,}01m$ und $3 cm = 0{,}03m$
Wir setzen ein: $B=\dfrac{-(-0{,}00006V)\cdot{1s}}{0{,}03m\cdot{0{,}01m}}=0{,}2T$
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Benutze die Formel zur Berechnung der Induktionsspannung $U_{ind}$ und stelle derart um, die Magnetische Flußdichte $B$ zu erhalten. Danach setze die Variablen ein und beachte deren Grundeinheiten $V$ , $s$ und $m$ !

Elektromagnetische Induktion in einer Leiterschleife

Aufgabenstellung:

Wird im Falle des Eintauchens der Leiterschleife in das Magnetfeld eine Spannung UUU am Voltmeter angezeigt?

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Welchen Spannungsverlauf können wir erkennen?

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Berechne!

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Wird im Falle des Eintauchens der Leiterschleife in das Magnetfeld eine Spannung $U$ am Voltmeter angezeigt?