Elektromagnetische Induktion Teil 1

Zur allgemeinen Einführung in das Thema raten wir Dir den Kurs zur Herleitung der Lorentzkraft zu wiederholen (--> LINK)

Lorentzkraft und Ladungsträgertrennung

Innerhalb eines Magnetfeldes $BB$ wirkt auf bewegte Ladungen $qq$ (Elektronen $e_{-}e\_\{-\}$ und Protonen $e_{+}e\_\{+\}$) die Kraft $F_{Lorentz}F\_\{Lorentz\}$.

Wir haben bereits im einführenden Kurs zur Lorentzkraft erfahren, wie wir die Richtungen der Lorentzkraft mit der Linke-Hand-Regel (für Elektronen) sowie der Rechte-Hand-Regel (für Protonen) ermitteln können.

Warum nun $F_{Lorentz}F\_\{Lorentz\}$ auch zu einer Ladungsträgertrennung führen muss, ist in nachfolgender Prinzipskizze (siehe Abb. 1) anschaulich darstellt:

Herleitung der Induktionsspannung $U_{ind}U\_\{ind\}$ am geraden Leiter

Nachfolgend möchten wir die logische Ableitung der Induktionsspannung darstellen:

1. Wenden wir uns deshalb zunächst der vorherigen Ladungsträgertrennung zu. Wie festgestellt ist hierbei verursachend die Kraft $F_{Lorentz}F\_\{Lorentz\}$. Nur wie lange, bzw. bis zu welchem Maß kann diese Trennung (im Leiterstück nach links und rechts) fortgeführt werden, wann stellt sich ein Ende bzw. ein Gleichgewicht ein?

2. Dieses Gleichgewicht stellt sich ein durch ein entstehendes Elektrisches Feld $EE$. Warum?Werden auf der einen Seite positive Ladungen abgedrängt, auf der anderen negative Ladungen, ensteht dazwischen ein Elektrischen Feld $EE$. Einem Feld innewohnend ist auch immer eine elektrische Kraft $F_{E}F\_E$, welche sich dahingegend auswirkt, dass sich die ausbildenden Gesamtladungen (weil positiv und negativ) nunmehr anziehen. Und zwar gegengerichtet zu $F_{Lorentz}F\_\{Lorentz\}$ welche sie abgedrängt hatte.

3. Erreicht nun der Betrag der elektrischen Anziehungskraft $\text{│}{F}_E\text{│}│F\_\{E\}│$ jenen der gegensätzlichen auseinandertreibenden Kraft $\text{│}{F}_{Lorentz}\text{│}│F\_\{Lorentz\}│$, stellt sich ein Gleichgewicht ein. Die Verschiebung der Ladungen findet ein Ende, das aufgebaute elektrische Potential steht, die Induktionsspannung $U_{ind}U\_\{ind\}$ liegt an den Enden des Leiters an und kann entnommen werden. Dieser Zusammenhang siehe Abb. 2:

Herleitung der Induktionsspannung an einer Leiterschleife

Bevor wir uns einem geeigneten Versuchsaufbau für Leiterschleifen widmen, müssen wir die uns bekannte Formel zur Berechnung der Induktionsspannung $U_{ind}=-B\cdot v\cdot lU\_\{ind\}=-B\backslash cdot\{v\}\backslash cdot\{l\}$ noch geringfügig anpassen, da sich eine Leiterschleife im Gegensatz zu einem Leiter flächig darstellt.

Für unsere weitere Betrachtung an dieser Stelle gilt zunächst folgendes:

• Die Magnetische Flußdichte $BB$ sei konstant und es gilt $\vec{B}\text{⊥}A\backslash vec\{B\}\perp A$

• Im nachfolgenden Versuch soll lediglich der Quotient ${\displaystyle \frac{\text{∆}A}{\text{∆}t}}\backslash dfrac\{\backslash textcolor\{\#a540ff\}\{∆A\}\}\{∆t\}$ untersucht werden!

Zunächst gilt, dass die logische Ableitung identisch ist, also eine Ladungstrennung und damit eine Induktionsspannung immer durch die Kraft $F_{Lorentz}F\_\{Lorentz\}$ verursacht ist. Wie wir gezeigt haben ist lediglich die formelle Ableitung unserer bisherigen Formel zu $U_{ind}U\_\{ind\}$ in Bezug auf eine Flächenänderung geringfügig angepasst worden.

Dieser Änderung soll nun nachfolgend dargestellter Versuchsaufbau in Abb. 3 Rechnung tragen:

Schrittweise Abarbeitung des Versuches

Zum besseren Verständnis des Ablaufes sowie der Darstellung und des Zusammenhanges von Ursache und (Aus-)Wirkung, werden wir den Versuch aus Abb.: 3 in 4 Teilschritte unterteilen:

1. Teilschritt 1: Die Leiterschleife befindet sich ruhend oder bewegt sich vollständig außerhalb des konstanten Magnetfeldes $BB$

2. Teilschritt 2: Die Leiterschleife bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit $vv$ in das Magnetfeld hinein

3. Teilschritt 3: Die Leiterschleife bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit $vv$ im Magnetfeld

4. Teilschritt 4: Die Leiterschleife bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit $vv$ aus dem Magnetfeld heraus

Ergebnis:

• Leiterschleife ruhend: $v=0\Rightarrow v\; =\; 0\backslash Rightarrow$ $\text{∆}x=0∆x\; =\; 0$ und $\text{∆}{t}_1=0∆t\_1=0$ hieraus folgt: ${\displaystyle \frac{\text{∆}x}{\text{∆}{t}_1}}=0\Rightarrow U_{ind}=0\backslash dfrac\{∆x\}\{∆t\_1\}=0\backslash Rightarrow\; U\_\{ind\}=0$

• Leiterschleife bewegt: $v\mathrm{\ne }0\Rightarrow v\; \ne \; 0\backslash Rightarrow$ $\text{∆}x=0∆x\; =\; 0$ und $\text{∆}{t}_1\mathrm{\ne }0∆t\_1\ne \; 0$ hieraus folgt: ${\displaystyle \frac{\text{∆}x}{\text{∆}{t}_1}}=0\Rightarrow U_{ind}=0\backslash dfrac\{∆x\}\{∆t\_1\}=0\backslash Rightarrow\; U\_\{ind\}=0$

Anmerkung:

Es gilt $\text{∆}x=0∆x\; =\; 0$ für die ruhende wie die bewegte Leiterschleife, da Letztere nicht in das Magnetische Feld eintaucht und sich darin demnach auch nicht bewegt!

Dieser Teilschritt ist unabhängig davon identisch, ob sich die Leiterschleife nun links oder rechts vollständig außerhalb des Magnetfeldes befindet. Für letzteres könnte ein Teilschritt 5 definiert werden, welcher jedoch identisch zu 1 wäre.

Ergebnis:

$\text{∆}x\mathrm{\ne }0∆x\; \ne 0$ und $\text{∆}{t}_2>0∆t\_2>0$ hieraus folgt: ${\displaystyle \frac{\text{∆}x}{\text{∆}{t}_2}}\mathrm{\ne }0\Rightarrow U_{ind}\backslash dfrac\{∆x\}\{∆t\_2\}\ne 0\backslash Rightarrow\; U\_\{ind\}$

Anmerkung:

Die Spannung $U_{ind}U\_\{ind\}$ wird erzeugt durch die von $F_{Lorentz}F\_\{Lorentz\}$ verursachte Ladungsverschiebung im rechten Teil der Leiterschleife. Diese Spannung kann am Voltmeter gemessen werden.

Ergebnis:

$\text{∆}x=0∆x\; =0$ und $\text{∆}{t}_3>0∆t\_3>0$ hieraus folgt: ${\displaystyle \frac{\text{∆}x}{\text{∆}{t}_3}}=0\backslash dfrac\{∆x\}\{∆t\_3\}=0$ $\Rightarrow U_{ind}=0\backslash Rightarrow\; U\_\{ind\}=0$

Anmerkungen:

• ${\displaystyle \frac{\text{∆}x\cdot l}{\text{∆}t}}={\displaystyle \frac{\text{∆}A}{\text{∆}t}}\backslash dfrac\{∆x\backslash cdot\{l\}\}\{∆t\}=\backslash dfrac\{∆A\}\{∆t\}$ beschreibt eine Flächenänderung pro Zeitintervall im Magnetfeld.. Ist diese $=0=\; 0$ (selbst bei $v\mathrm{\ne }0v\; \ne \; 0$) ist keine Induktion einer Spannung $U_{ind}U\_\{ind\}$ möglich.

• Im rechten und linken Teil der bewegten Leiterschleife wird durch $F_{Lorentz}F\_\{Lorentz\}$ gleichermaßen eine Ladungsverschiebung und damit gleichpolige Spannung $U_{ind}U\_\{ind\}$ verursacht. Am Spannungsmesser herrscht deshalb kein Potentialunterschied, wodurch keine Spannung $UU$ gemessen werden kann.

Ergebnis:

$\text{∆}x\mathrm{\ne }0∆x\; \ne 0$ und $\text{∆}{t}_4>0∆t\_4>0$ hieraus folgt: ${\displaystyle \frac{\text{∆}x}{\text{∆}{t}_4}}\mathrm{\ne }0\Rightarrow U_{ind}\backslash dfrac\{∆x\}\{∆t\_4\}\ne 0\backslash Rightarrow\; U\_\{ind\}$

Anmerkung:

Im Gegensatz zu Teilschritt $22$ wird nun im linken Teil der Leiterschleife eine Spannung induziert. Die am Voltmeter anliegende Spannung $U_{ind}U\_\{ind\}$ ist allerdings gegenpolig zu Teilschritt $22$!

Der induzierte Spannungsverlauf $U_{ind}U\_\{ind\}$ nach Teilschritten