Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3B

Gegeben sind das gerade Prisma $A B C D E F$ mit den Eckpunkten $C (0 | 0 | 0), D (6 | 0 | 5)$ , $E (0 | 8 | 5)$ und $F (0 | 0 | 5)$ sowie der Punkt $M (3 | 4 | 5)$ (vgl. Abbildung 1).

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Prismas. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas
Für die Oberflächenberechnung werden verschiedene Vektoren und ihre Beträge benötigt.
$\vec{D E} = \vec{O E} - \vec{O D} = (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ 8 \\ 0 \end{array})$
$| \vec{D E} | = \sqrt{(- 6)^{2} + 8^{2} + 0} = \sqrt{100} = 10$
$\vec{D F} = \vec{O F} - \vec{O D} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$| \vec{D F} | = 6$
$\begin{array}{l} \vec{F E} = \vec{O E} - \vec{O F} = (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 0 \end{array}) \\ | \vec{F E} | = 8 \end{array}$
Die Höhe des Prismas ist $h = 5$ .
Dann folgt für den Oberflächeninhalt des Prismas:
$O_{Prisma} = | \vec{D F} | \cdot h + | \vec{E F} | \cdot h + | \vec{D E} | \cdot h + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot | \vec{D F} | \cdot | \vec{E F} |$
$O_{Prisma} = (6 + 8 + 10) \cdot 5 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 168$
Der Inhalt der Oberfläche des Prismas beträgt $168 FE$ .
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Berechne die Vektoren $\vec{D E}$ , $\vec{D F}$ und $\vec{F E}$ und ihre Beträge.
Die Höhe des Prismas ist die z-Koordinate eines in der Deckfläche liegenden Punktes.
Begründen Sie, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$
liegen. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einführung zum Kreis
Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen
Berechne die Vektoren $\vec{D M}, \vec{F M}$ und $\vec{E M}$ , sowie ihre Beträge.
$\vec{D M} = \vec{O M} - \vec{O D} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
$| \vec{D M} | = \sqrt{(- 3)^{2} + 4^{2} + 0} = \sqrt{25} = 5$
$\vec{F M} = \vec{O M} - \vec{O F} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
$| \vec{F M} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0} = \sqrt{25} = 5$
$\vec{E M} = \vec{O M} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$
$| \vec{E M} | = \sqrt{3^{2} + (- 4)^{2} + 0} = \sqrt{25} = 5$
Es gilt: $| \vec{D M} | = | \vec{F M} | = | \vec{E M} | = 5$
Alle Punkte liegen zusammen mit $M$ in einer Ebene und haben den gleichen Abstand $5$ vom Punkt $M$ und liegen deshalb auf einem Kreis um $M$ mit dem Radius $5$ .
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Berechne die Vektoren $\vec{D M}, \vec{F M}$ und $\vec{E M}$ , sowie ihre Beträge.
Berechnen Sie den Winkel, den die Strecke $A M$ mit der x-Achse einschließt. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
Berechne den Winkel, den die Strecke $A M$ mit der x-Achse einschließt
Berechne den Vektor $\vec{M A}$ :
$\vec{M A} = \vec{O A} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 5 \end{array})$
Der Vektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ .
Für den Winkel zwischen den beiden Vektoren gilt:
$\cos α = \frac{| \vec{n} \circ \vec{M A} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{M A} |} = \frac{| (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \\ - 5 \end{array}) |}{1 \cdot \sqrt{3^{2} + (- 4)^{2} + (- 5)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{50}}$
$α = \cos^{- 1} (\frac{3}{\sqrt{50}}) \approx {64,9}^{\circ}$
Der Winkel, den die Strecke $A M$ mit der x-Achse einschließt, beträgt rund $65^{\circ}$ .
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Berechne den Vektor $\vec{M A}$ .
Die x-Achse wird durch den Vektor $(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ dargestellt.
Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt: $\cos α = \frac{| \vec{a} \circ \vec{b} |}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$
Durch
$\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 7,5 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix})$
mit $λ, μ \in ℝ$ ist die Ebene $H$ gegeben.
Die Punkte $M, F$ und $S (7,5 | 0 | 0)$ liegen in der Ebene $H$ (vgl. Abbildung 2).
Im Folgenden sind zwei Schritte zum Lösen einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:
$(\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 7,5 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})$ mit $r \in ℝ$
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
Gib eine passende Aufgabenstellung an
In Gleichung $(I)$ wird eine Punktprobe durchgeführt. Es wird geprüft, ob der Punkt $(6 | 0 | 1)$ in der Ebene $H$ liegt.
In Gleichung $(I I)$ wird ebenfalls eine Punktprobe durchgeführt. Es wird geprüft, ob der Punkt $(6 | 0 | 1)$ auf der Geraden durch die Punkte $A$ und $D$ liegt.
Aufgabenstellung: Untersuche, ob der Punkt $(6 | 0 | 1)$ sowohl in der Ebene $H$ als auch auf der Geraden durch $A$ und $D$ liegt.
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Es werden zwei Punktproben für den Punkt $(6 | 0 | 1)$ durchgeführt.
Wo soll der Punkt liegen?
Anstelle des Punkts $S$ werden nun Punkte $S_{t} (t | 0 | 0)$ mit $t \geq 0$ auf der x-Achse betrachtet.
Für jeden Wert von $t$ schneidet die Ebene durch die Punkte $M, F$ und $S_{t}$ das Prisma
$A B C D E F$ in einem Vieleck.
Geben Sie die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $t$ an. [4 BE]

Gib die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $t$ an
Maßgebend für die Art des Vielecks ist die x-Koordinate von $A$ : $x = 6$
Für $t \geq 6$ besitzt das Vieleck drei Ecken.
Für $0 \leq t < 6$ besitzt das Vieleck vier Ecken.
Zur Veranschaulichung: Vieleck mit drei Ecken
Hier hat $t$ den Wert $\frac{25}{3} > 6$ .
Das weiß umrandete Dreieck liegt in der Ebene durch die Punkte $M, F$ und $S_{t}$ .
Das schwarze Dreieck ist die Schnittfläche der Ebene mit dem Prisma.
Zur Veranschaulichung: Vieleck mit vier Ecken
Hier hat $t$ den Wert $5 < 6$ .
Das schwarze Viereck ist die Schnittfläche der Ebene mit dem Prisma.
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Maßgebend für die Art des Vielecks ist die x-Koordinate von $A$ : $x = 6$
Bestimmen Sie die beiden Werte von $t$ , für die das Dreieck $M F S_{t}$ rechtwinklig ist. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Bestimme die beiden Werte von $t$ , für die das Dreieck $M F S_{t}$ rechtwinklig ist
Möglichkeit 1
Für $t = 0$ liegt der Punkt $S$ auf dem Punkt $C$ . Dann befindet sich ein rechter Winkel im Punkt $F$ .
Skizze zur Veranschaulichung:
Möglichkeit 2
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{M F}$ und $\vec{M S_{t}}$ . Es muss für einen rechten Winkel bei $M$ gleich null sein.
$\vec{M F} = \vec{O F} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$
$\vec{M S_{t}} = \vec{O S_{t}} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} t \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} t - 3 \\ - 4 \\ - 5 \end{array})$
$\vec{M F} \circ \vec{M S_{t}} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} t - 3 \\ - 4 \\ - 5 \end{array}) = - 3 \cdot (t - 3) + (- 4) \cdot (- 4) = 0$
$\Rightarrow - 3 t + 9 + 16 = 0 \Rightarrow t = \frac{25}{3}$
Für $t = \frac{25}{3}$ liegt der rechte Winkel im Punkt $M$ .
Skizze zur Veranschaulichung:
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Möglichkeit 1:
Überlege Dir, wo der Punkt $S$ für $t = 0$ liegt.
Möglichkeit 2:
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{M F}$ und $\vec{M S_{t}}$ .