Wahlteil - CAS

Zeige rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt

Löse $(f^{\prime }(x)=0)$ mit den beiden Lösungen $x=0$ oder $x=10$

Bei $x=0$ besitzt der Graph von $f$ den Tiefpunkt $(0|0)$.

$x=10$:

Berechne $f^{\prime \prime }(10)$ und $f^{\prime \prime \prime }(10)$:

$f^{\prime \prime }(10)=0$ und $f^{\prime \prime \prime }(10)={\displaystyle \frac{6}{25}}>0$

Bei $x=10$ besitzt der Graph von $f$ einen Terrassenpunkt (Sattelpunkt) und damit keine weiteren Extrempunkte.

Ermittle eine Gleichung von $t$

Aus $P$ entnimmt man den y-Achsenabschnitt $b=-{\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Setze in $y=m\cdot x+b=m\cdot x-{\displaystyle \frac{5}{8}}$ die Koordinaten von $Q$ ein:

$-1=m\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}})-{\displaystyle \frac{5}{8}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{3}{8}}=m\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}})\Rightarrow m={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Damit erhält man:

Weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$ ist

$t$ ist Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$, wenn:

• $f(5)=t(5)$

• $f^{\prime }(5)=m_t$

Berechne: $f(5)=\mathrm{6,875}$ und $t(5)=\mathrm{6,875}\Rightarrow f(5)=t(5)✓$

$f^{\prime }(5)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ und $m_t={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow f^{\prime }(5)=m_t✓$

Beide Bedingungen sind erfüllt:

$\Rightarrow t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$.

Berechne den Inhalt dieser Fläche

Für die Integrationsgrenzen berechne $f\cap t$:

Löse$($$f(x)=t(x)$$)$:

Man erhält die Lösungen $x_1={\displaystyle \frac{-5\sqrt{22}+25}{3}}$, $x_2=5$ und $x_3={\displaystyle \frac{5\sqrt{22}+25}{3}}$.

Bei $x_2=5$ berühren sich $f$ und $t$ (siehe Aufgabe b).

Berechne den Flächeninhalt:

$$A={\displaystyle {\int }_{x_1}^{x_3}(t(x)-f(x))\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{770}{81}}\cdot \sqrt{22}\approx \mathrm{44,6}}$$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt rund $\mathrm{44,6}\text{FE}$.

Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an

Die Funktion $f$ wird mit dem Faktor $a$ in y-Richtung gestreckt und anschließend mit dem Faktor ${\displaystyle \frac{1}{b}}$ in x-Richtung gestreckt.

$\underset{\text{Streckung in y-Richt.mit Faktor a}}{\underbrace{f\stackrel{\stackrel{}{\cdot a}}{\to }a\cdot f}}\underset{\text{Streckung in x-Richt.mit Faktor}\frac{1}{b}}{\underbrace{\stackrel{\stackrel{}{f(b\cdot x)}}{\to }a\cdot f(b\cdot x)}}=g(x)$

Berechne die Werte von $𝑎$ und $𝑏$

Der Punkt $(12|12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10|10)$ des

Graphen von $f$ erzeugt:

$\Rightarrow g(12)=a\cdot f(10)\Rightarrow 12=a\cdot 10\Rightarrow a={\displaystyle \frac{6}{5}}$

Weiterhin folgt: $12={\displaystyle \frac{1}{b}}\cdot 10\Rightarrow b={\displaystyle \frac{5}{6}}$

Berechne $f(3)$:

$f(3)=\mathrm{3,483}$

Die Geschwindigkeit beträgt etwa $\mathrm{3,5}\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Löse$(f(x)=8)$:

Die Gleichung hat im betrachteten Zeitraum die Lösung $x\approx \mathrm{5,82}$, d. h. die

Geschwindigkeit wird etwa $\mathrm{5,8}$ Sekunden nach dem Start erreicht.

Gib diese konstante Geschwindigkeit an

Berechne $h(12)$:

$h(12)=12$

Die konstante Geschwindigkeit beträgt $12\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $H$ gehörende Graph in der Abbildung 2 an der Stelle $12$ eine waagerechte Tangente aufweist

Berechne $h^{\prime }(12)$:

$h^{\prime }(12)=0$, d.h. die Tangente hat an der Stelle $x=0$ die Steigung null (waagrechte Tangente).

Berechne $x_s$

Löse$(f(x)=h(x))$:

Für $0<x<10$ hat die Gleichung die Lösung $x_s={\displaystyle \frac{880-20}{91}}\cdot \sqrt{298}\approx \mathrm{5,88}$.

Der Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider Radfahrer gleich groß sind, ist etwa $\mathrm{5,88}$ Sekunden nach dem Start.

Berechne, um wieviel Prozent die Geschwindigkeit des schnelleren Radfahrers die Geschwindigkeit des langsameren Radfahrers zum Zeitpunkt des Überholens übersteigt

Der zurückgelegte Weg muss beim Überholen für beide Radfahrer gleich groß sein. d.h. das $${\displaystyle {\int }_0^z(f(x)-h(x))\mathrm{d}x}$$ muss gleich null sein (gleicher zurückgelegter Weg).

$$\text{Löse}\left({\displaystyle {\int }_0^z(f(x)-h(x))\mathrm{d}x=0,z}\right)$$

Für $0<z<10$ erhält man die Lösung $z_1={\displaystyle \frac{1100-20\cdot \sqrt{295}}{91}}$.

Berechne die prozentuale Änderung:

Es ist ${\displaystyle \frac{h(z_1)-f(z_1)}{f(z_1)}}\approx \mathrm{0,11}=11\%$

Um $11\%$ Prozent übersteigt die Geschwindigkeit des schnelleren Radfahrers die Geschwindigkeit des langsameren Radfahrers zum Zeitpunkt des Überholens.

Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.

Berechne $f(0)$:

$f(0)=25-20=5$

Die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank beträgt $5^{\circ }C$.

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur ${12}^{\circ }C$ beträgt

$\text{Löse}(f(t)=12)$, man erhält die Lösung $t\approx \mathrm{30,8}$.

Das Wasser hat rund $31$ Minuten nach der Entnahme eine Temperatur von ${12}^{\circ }C$.

Berechne die Werte der folgenden Terme und interpretiere diese im Sachzusammenhang

$(\mathrm{I})$: $f^{\prime }(30)\approx \mathrm{0,18}$

$f^{\prime }(30)$ beschreibt die momentane Änderungsrate der Wassertemperatur $30$ Minuten nach Entnahme in Grad pro Minute.

$(\mathrm{I}\mathrm{I})$: ${\displaystyle \frac{f(30)-f(0)}{30-0}}\approx \mathrm{0,23}$

${\displaystyle \frac{f(30)-f(0)}{30-0}}$ beschreibt die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten in Grad pro Minute.

Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h(x)$ nur für $-1<x<1$ positiv ist

Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=1$.

Betrachte den Funktionsterm: $(1-x^2)\cdot e^x$

$e^x$ ist für alle $x$ größer null.

Der Term $(1-x^2)$ ist für $-1<x<+1$ ebenfalls größer null, sodass das Produkt aus den beiden Termen $e^x$ und $(1-x^2)$ ebenfalls größer null ist.

(Für x-Werte außerhalb des Intervalls $]-1;1[$ ist der Term $(1-x^2)$ kleiner null.)

Damit ist $h(x)$ nur für $-1<x<1$ positiv.

Gib die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von $v$ an und erläutere diese

Die Gerade $u$ ist die Tangente an $G_h$ im Punkt $(0|1)$ $\Rightarrow m_u=h^{\prime }(0)$

Es gibt eine Tangente $v$ an $G_h$, die zu $u$ senkrecht ist $\Rightarrow m_u\cdot m_v=-1$

1. Steigung von $v:m_v=-{\displaystyle \frac{1}{m_u}}=-{\displaystyle \frac{1}{h^{\prime }(0)}}$

2. Lösen der Gleichung $h^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{h^{\prime }(0)}}$ zur Bestimmung der x-Koordinate $x_Q$ des Berührpunkts $Q$ von $G_h$ und $v$.

3. Bestimmung der y-Koordinate $y_Q$ von $Q$: $y_Q=h(x_Q)$

4. Bestimmung des y-Achsenabschnitts von $v$ mithilfe der Steigung von $v$ und der Koordinaten von $Q$.

Berechne die Wendestellen von $h$

$\text{Löse}(h^{\prime \prime }(x)=0)$$\Rightarrow$ $x_1=-2-\sqrt{3}$ und $x_2=-2+\sqrt{3}$.

Es gibt zwei Wendestellen $x_1$ und $x_2$.

Berechne den Wert der maximalen Steigung

Da $h^{\prime \prime \prime }(x_1)>0$ und $h^{\prime \prime \prime }(x_2)<0$, ist $x_2$ die x-Koordinate des Punktes, in dem die

Steigung von $G_h$ maximal ist.

Anmerkung: $h^{\prime \prime \prime }(x_2)$ ist die 2. Ableitung von $h^{\prime }(x)$ und wenn die 2. Ableitung kleiner null ist, handelt es sich um ein Maximum.

Berechne $h^{\prime }(x_2)$:

Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal

Skizze:

Es ist $A(w)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot w\cdot h(w)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot w\cdot (1-w^2)\cdot e^w$

$\text{Löse}(A^{\prime }(w)=0)\Rightarrow$ im Bereich $0<w<1$ gibt es die Lösung $w\approx \mathrm{0,68}$.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist maximal für $w\approx \mathrm{0,68}$.

Berechne den maximalen Flächeninhalt

Berechne $A(\mathrm{0,68})$:

$A(\mathrm{0,68})\approx \mathrm{0,36}$

Der maximale Flächeninhalt beträgt rund $\mathrm{0,36}\text{FE}$.

Gib eine Gleichung an, mit der die x-Koordinate von $P$ bestimmt werden kann

Für die Koordinate $x_P$ des Punktes $P$ gilt:

Die Hälfte der Fläche, die $G_h$ mit der x-Achse einschließt, ist so groß wie die Summe der beiden Flächen $A_1$ und $A_2$.

$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \underset{A\text{gesamt}}{\underbrace{{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}h(x)\mathrm{d}x}}}=\underset{A_1}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x_P\cdot h(x_P)}}+\underset{A_2}{\underbrace{{\displaystyle {\int }_{x_P}^{1}h(x)\mathrm{d}x}}}$$

Veranschauliche den Aufbau der Gleichung in Abbildung 2

Interpretiere die Gleichung $P(\overline{T}\cap M)=\mathrm{0,05}$ im Sachzusammenhang

$\overline{T}$: Die Person ist kein sogenannter Treuekunde.

$M$: Die Person ist ein sogenannter Morgenkunde.

Für $P(\overline{T}\cap M)=\mathrm{0,05}$ gilt dann:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Morgenkunde und kein Treuekunde ist, beträgt $5\%$.

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

Laut Aufgabenstellung sind $60\%$ aller Kunden Treuekunden und $20\%$ aller

Kunden Morgenkunden.

Mit diesen beiden Angaben beginnt die Vierfeldertafel:

Zunächst können durch Differenzbildung zwei weitere Felder ausgefüllt werden:

Aus Aufgabe a) folgt: $P(\overline{T}\cap M)=\mathrm{0,05}$. Dieser Wert wird eingetragen.

Dann ist $P(T\cap M)=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,15}$ und $P(T\cap \overline{M})=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,45}$.

Der letzte Wert ist dann $P(\overline{T}\cap \overline{M})=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,35}$.

Ermittele die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person entweder ein Treuekunde oder ein Morgenkunde ist

Entnimm die Wahrscheinlichkeiten der Vierfeldertafel aus Aufgabe b).

Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit:

$P(T\cap \overline{M})+P(\overline{T}\cap M)=\mathrm{0,45}+\mathrm{0,05}=\mathrm{0,5}=50\%$.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person entweder ein Treuekunde oder ein Morgenkunde ist, beträgt $50\%$.

Untersuche, ob die Ereignisse $T$ und $M$ stochastisch unabhängig sind

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt: $P_T(M)=P(M)$

Es ist $P_T(M)={\displaystyle \frac{P(T\cap M)}{P(T)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{0,25}$ und $P(M)=\mathrm{0,2}$.

Aufgrund der Ungleichheit der beiden Wahrscheinlichkeiten sind $T$ und $M$ nicht

stochastisch unabhängig.

Stelle das dem Gewinnspiel zugrundeliegende Zufallsexperiment in einem beschrifteten Baumdiagramm dar

Es gilt: $P(55)={\displaystyle \frac{1}{36}}\Rightarrow P(5)={\displaystyle \frac{1}{6}}$

Den kleinstmöglichen Rabatt erhält man, wenn zweimal die $2$ erzielt wird:

$P(22)={\displaystyle \frac{25}{36}}\Rightarrow P(2)={\displaystyle \frac{5}{6}}$

Damit kann das Baumdiagramm erstellt werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau viermal der kleinstmögliche Rabatt erzielt wird und dies bei vier Personen unmittelbar hintereinander

In der Skizze sind die Möglichkeiten dargestellt. Die schwarzen Felder stehen für irgendeinen Rabatt, nur nicht für den kleinstmöglichen Rabatt.

Die mit $2$ beschrifteten Felder stehen für den kleinstmöglichen Rabatt.

Es gibt also $4$ solche Anordnungen.

$P(\text{"irgendeinen Rabatt"})=1-P(\text{"kleinstmöglicher Rabatt"})=1-{\displaystyle \frac{25}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}$

$P(\text{"kleinstmöglicher Rabatt"})={\displaystyle \frac{25}{26}}$

$P(\text{"irgendeinen Rabatt"})$ tritt 3-mal auf$\Rightarrow p={\left({\displaystyle \frac{11}{36}}\right)}^3$

$P(\text{"kleinstmöglicher Rabatt"})$ tritt 4-mal auf$\Rightarrow p={\left({\displaystyle \frac{25}{26}}\right)}^4$

Da es $4$ Anordnungen gibt, gilt für die Wahrscheinlichkeit:

$p=4\cdot {\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^4\cdot {\left({\displaystyle \frac{11}{36}}\right)}^3\approx \mathrm{0,027}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau viermal der kleinstmögliche Rabatt erzielt wird und dies bei vier Personen unmittelbar hintereinander, beträgt rund $\mathrm{2,7}\%$.

Berechne die Wahrscheinlichkeit $q$, wenn beim Glücksspiel mit dem Glücksrad auf lange Sicht im Mittel ein Rabatt von $9\%$ erzielt werden soll

Beim einmaligen Drehen die Zahl $5$ zu erzielen hat die Wahrscheinlichkeit $q$.

Beim einmaligen Drehen die Zahl $2$ zu erzielen, hat dann die Wahrscheinlichkeit $1-q$.

Man erhält dann als Erwartungswert:

$E=\mathrm{0,25}\cdot q^2+2\cdot \mathrm{0,1}\cdot q\cdot (1-q)+\mathrm{0,04}\cdot (1-q{)}^2$

Da im Mittel ein Rabatt von $9\%$ erzielt werden soll, folgt:

$\mathrm{0,09}=\mathrm{0,25}\cdot q^2+2\cdot \mathrm{0,1}\cdot q\cdot (1-q)+\mathrm{0,04}\cdot (1-q{)}^2$

$\text{Löse}(\mathrm{0,09}=\mathrm{0,25}\cdot q^2+2\cdot \mathrm{0,1}\cdot q\cdot (1-q)+\mathrm{0,04}\cdot (1-q{)}^2,q)$

$=\{q=-{\displaystyle \frac{5}{3}};q={\displaystyle \frac{1}{3}}\}$

Die Gleichung liefert im Sachkontext die Lösung $q={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Wenn beim Glücksspiel mit dem Glücksrad auf lange Sicht im Mittel ein Rabatt von $9\%$ erzielt werden soll, muss die Wahrscheinlichkeit, ⁣die Zahl $5$ zu erzielen, ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ betragen.

Zeige, dass $P(\overline{L}\cap \overline{D})=\mathrm{0,28}$ gilt

$72\%$ der Studierenden haben mindestens eines dieser beiden Endgeräte.

$\Rightarrow P(L\cap D)+P(L\cap \overline{D})+P(\overline{L}\cap D)=\mathrm{0,72}$

$\Rightarrow P(\overline{L}\cap \overline{D})=1-(P(L\cap D)+P(L\cap \overline{D})+P(\overline{L}\cap D))=1-\mathrm{0,72}=\mathrm{0,28}$

Gib das zugrundeliegende Ereignis im Sachzusammenhang an

Ereignis: Die ausgewählte Person besitzt weder einen Laptop noch einen

Desktop-PC.

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

Laut Aufgabenstellung haben $56\%$ der Studierenden einen Laptop und $33\%$ besitzen einen Desktop-PC.

Mit diesen beiden Angaben beginnt die Vierfeldertafel:

Zunächst können durch Differenzbildung zwei weitere Felder ausgefüllt werden:

Aus Aufgabe a) folgt: $P(\overline{L}\cap \overline{D})=\mathrm{0,28}$. Dieser Wert wird eingetragen.

Dann ist $P(L\cap \overline{D})=\mathrm{0,67}-\mathrm{0,28}=\mathrm{0,39}$ und $P(\overline{L}\cap D)=\mathrm{0,44}-\mathrm{0,28}=\mathrm{0,16}$.

Der letzte Wert ist dann $P(L\cap D)=\mathrm{0,33}-\mathrm{0,16}=\mathrm{0,17}$.

Die vollständige Vierfeldertafel sieht dann so aus:

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die zufällig ausgewählte Person zwar einen Laptop, jedoch keinen Desktop-PC besitzt

Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit $P(L\cap \overline{D})$.

Aus der Vierfeldertafel entnimmt man: $P(L\cap \overline{D})=\mathrm{0,39}$

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese einen Laptop besitzt

Gesucht ist $P_D(L)$:

Mit den Werten aus der Vierfeldertafel folgt:

$P_D(L)={\displaystyle \frac{P(L\cap D)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,17}}{\mathrm{0,33}}}\approx \mathrm{0,52}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese einen Laptop besitzt, beträgt rund $52\%$.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $70\%$ dieser $900$ Personen bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen

$70\%$ dieser $n=900$ Personen sind $630$ Personen.

Gegeben ist weiterhin, dass $68\%$ der Besitzer von Laptops und

Desktop-PCs bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen$\Rightarrow p=\mathrm{0,68}$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:$P(X\le 630)=\text{binomCdf}(900;\mathrm{0,68};0;630)\approx \mathrm{0,9075}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $70\%$ dieser $900$ Personen bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen, beträgt rund $91\%$.

Berechne den Erwartungswert $\mu$ von $X$

Es ist $\mu =n\cdot p=900\cdot \mathrm{0,68}=612$

Der Erwartungswert von $X$ beträgt $612$.

Ermittele die kleinste mögliche natürliche Zahl $k$, sodass $P(\mu -k\le X\le \mu )\ge 30\%$ gilt

Gefordert ist: $P(\mu -k\le X\le \mu )\ge \mathrm{0,3}$

$\Rightarrow P(612-k\le X\le 612)\ge \mathrm{0,3}$

Man findet:

$P(600\le X\le 612)\approx \mathrm{0,3269}>\mathrm{0,3}$

$P(601\le X\le 612)\approx \mathrm{0,3072}>\mathrm{0,3}$

$P(602\le X\le 612)\approx \mathrm{0,2866}<\mathrm{0,3}$

Also ist hier die richtige Lösung: $P(612-11\le X\le 612)\approx \mathrm{0,3072}>\mathrm{0,3}\Rightarrow k=11$

Die kleinste mögliche natürliche Zahl $k$, sodass $P(\mu -k\le X\le \mu )\ge 30\%$ gilt, ist $k=11$.

Ergänze im dargestellten Koordinatensystem die Skalierungen der Achsen und erläutere Dein Vorgehen

Es gilt: $0\le p\le 1$

Deshalb muss die rechte Grenze des Graphens auf der p-Achse $1$ sein.

(Ein Kästchen auf der p-Achse entspricht dann $\mathrm{0,2}$.)

Bei $p=\mathrm{0,4}$ (in der Skizze eingetragen) kann der $\sigma$-Wert genau bestimmt werden.

Es ist $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

Mit $n=15000$ und $p=\mathrm{0,4}$ folgt dann:

$\sigma =\sqrt{15000\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}=60$

(Ein Kästchen auf der $\sigma$-Achse entspricht dann $20$.)

Begründe, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AD}$:

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AD}\parallel \overrightarrow{BC}$

Das Rechteck ist ein Trapez.

Berechne das Volumen der Pyramide

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_P$

Die Grundfläche $G$ ist ein Trapez: $G_{\text{Trapez}}=\frac{(a+c)}{2}\cdot h_T={\displaystyle \frac{2+4}{2}}\cdot 2=6$

$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot G\cdot h_P={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 6\cdot \mathrm{3,5}=7$

($z=\mathrm{3,5}$ ist die z-Koordinate von $S$ und ist die Höhe der Pyramide.)

Das Volumen der Pyramide beträgt $7\text{VE}$.

Zeige, dass das Dreieck $CDS$ im Punkt $C$ rechtwinklig ist

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CS}$:

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

$\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{CS}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)=(-2)\cdot (-2)+2\cdot (-2)+0\cdot \mathrm{3,5}=4-4+0=0$

Demnach befindet sich bei $C$ ein rechter Winkel.

Ergänze Abbildung 2 so, dass ein vollständiges Netz der Pyramide $ABCDS$ dargestellt ist

Untersuche, ob der Punkt $P(4|-8|7)$ in der Ebene liegt, in der die Seitenfläche $CDS$ liegt

Erstelle die Ebenengleichung durch die Punkte $C,D$ und $S$.

$E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OC}+r\cdot (\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC})+s\cdot (\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC})$

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot (\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right))+s\cdot (\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right))$

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Führe eine Punktprobe durch:

$\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)\Rightarrow$

$\left(\begin{array}{c}2\\ -10\\ 7\end{array}\right)=r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.

$(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})7=\mathrm{3,5}\cdot s\Rightarrow s=2$

$s=2$ eingesetzt in Gleichung $(\mathrm{I})\Rightarrow 2=-2\cdot r-4$

$\Rightarrow 6=-2\cdot r\Rightarrow r=-3$

Kontrolle in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$:

$-10=(-3)\cdot 2+2\cdot (-2)\Rightarrow -10=-10✓$

Der Punkt $P(4|-8|7)$ liegt in der Ebene, in der die Seitenfläche $CDS$ liegt.

Berechne die Kantenlänge dieses Würfels

Unter diesen Würfeln gibt es einen, bei dem ein Eckpunkt auf der Kante $\overline{CS}$ der Pyramide liegt.

Berechne die Geradengleichung $g_{CS}$:

$g_{CS}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OC}+r\cdot (\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC})=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Vom Punkt $A$ aus zeigt ein Vektor mit drei gleichen Komponenten zu einem Punkt auf der Geraden $g_{CS}$:

$\left(\begin{array}{c}a\\ a\\ a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ \mathrm{3,5}\end{array}\right)$

Aus Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$ folgt: $r={\displaystyle \frac{a}{\mathrm{3,5}}}$

$r={\displaystyle \frac{a}{\mathrm{3,5}}}$ eingesetzt in Gleichung $(\mathrm{I})$: $a=2-{\displaystyle \frac{2a}{\mathrm{3,5}}}$