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Wahlteil - CAS

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  1. 1

    Aufgabe 1A

    Gegeben ist die in definierte Funktion f mit

    f(x)=31000x48100x3+610x2.

    Abbildung 1 zeigt den Graphen von f sowie den Punkt P(0|58).

    Bild
    1. Der Graph von f besitzt den Tiefpunkt (0|0).

      Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von f keine weiteren Extrempunkte besitzt. [4 BE]

    2. Die Gerade durch die Punkte P(0|58) und Q(14|1) wird mit t bezeichnet.

      Ermitteln Sie eine Gleichung von t. Weisen Sie rechnerisch nach, dass t die Tangente an den Graphen von f im Punkt (5|f(5)) ist. [5 BE]

      [Zur Kontrolle: Gleichung von 𝑡:𝑦=32𝑥58]

    3. Der Graph von f und die Tangente t schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.

      Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. [6 BE]

    4. Der Graph der in definierten Funktion g kann aus dem Graphen von f erzeugt

      werden.

      Der Punkt (12|12) des Graphen von g wird dabei aus dem Punkt (10|10) des

      Graphen von f erzeugt und für alle x gilt 𝑔(𝑥)=𝑎𝑓(𝑏𝑥) mit a,b+

      Geben Sie in diesem Zusammenhang die Bedeutung von a und b an und

      berechnen Sie die Werte von 𝑎 und 𝑏. [4 BE]

    5. Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander.

      Die Geschwindigkeit von Radfahrer F wird in den ersten 10 Sekunden (s) nach dem Start durch die Funktion f mit f(x)=31000x48100x3+610x2

      beschrieben.

      Die Geschwindigkeit von Radfahrer H wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start

      durch die in definierte Funktion h mit h(x)=1576x4118x3+12x2 beschrieben.

      Dabei ist x die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und f(x) bzw. h(x) die

      Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde (ms).

      Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Radfahrer F drei Sekunden nach dem Start

      sowie den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von 8mserreicht. [4 BE]

      Bild
    6. Nach den ersten 12 Sekunden fährt Radfahrer H mit konstanter Geschwindigkeit.

      Geben Sie diese konstante Geschwindigkeit an.

      Zeigen Sie durch Rechnung, dass der zum Radfahrer H gehörende Graph in der

      Abbildung 2 an der Stelle 12 eine waagerechte Tangente aufweist. [4 BE]

    7. Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider

      Radfahrer gleich groß sind. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit xs bezeichnet.

      Berechnen Sie xs. [3 BE]

    8. Es gibt genau einen Zeitpunkt in den ersten 10 Sekunden nach dem Start, zu dem einer

      der beiden Radfahrer den anderen überholt.

      Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Geschwindigkeit des schnelleren Radfahrers die

      Geschwindigkeit des langsameren Radfahrers zum Zeitpunkt des Überholens übersteigt.

      [5 BE]

  2. 2

    Aufgabe 1B

    Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in definierten Funktion 𝑓 mit 𝑓(𝑡)=2520𝑒0,014𝑡 modellhaft beschreiben. Dabei ist t die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und f(t) die Wassertemperatur in C. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25C.

    1. Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.

      Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12C beträgt. [3 BE]

    2. Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang: [6 BE]

      1. f(30)

      2. 𝑓(30)𝑓(0)300

    3. Gegeben ist die in definierte Funktion h mit h(x)=(1x2)ex.

      Der Graph von h wird mit Gh bezeichnet.

      Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x) nur für 1<x<1 positiv ist. [3 BE]

      Bild
    4. Die Gerade u ist die Tangente an Gh im Punkt (0|1). Es gibt genau eine Tangente v an Gh, die zu u senkrecht ist. Geben Sie die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von v an und erläutern Sie diese. [6 BE]

    5. Berechnen Sie die Wendestellen von h. In einem der Wendepunkte von Gh ist die Steigung von Gh maximal. Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. [5 BE]

    6. Für 0<𝑤<1 wird das Dreieck mit den Eckpunkten (0|0), (w|0) und (w|h(w)) betrachtet. Für einen Wert von w ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.

      Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. [5 BE]

    7. Gh schließt mit der x-Achse eine Fläche A ein.

      Es gibt genau einen Punkt P auf Gh mit positiver x-Koordinate, sodass die Gerade durch die Punkte O(0|0) und P die Fläche A in zwei Flächenstücke gleichen Inhalts teilt.

      Geben Sie eine Gleichung an, mit der die

      x-Koordinate von P bestimmt werden kann. Veranschaulichen Sie den Aufbau der Gleichung in Abbildung 2. [7 BE]

      Bild
  3. 3

    Aufgabe 2A

    Bei einer Studie über das Kaufverhalten von Kunden eines Baumarktes werden ausschließlich Kunden betrachtet, die sich registrieren ließen. Aus der Gruppe dieser Kunden wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

    • T: „Die Person ist sogenannter Treuekunde, d. h. sie ist bereits länger als fünf Jahre ein registrierter Kunde des Baumarktes.“

    • M: „Die Person ist sogenannter Morgenkunde, d. h. sie kauft überwiegend vor 10 Uhr ein.“

    Bei dieser Studie wurde festgestellt, dass 60% aller Kunden Treuekunden und 20% aller

    Kunden Morgenkunden sind.

    1. Es gilt P(TM)=0,05. Interpretieren Sie diese Gleichung im Sachzusammenhang. [2 BE]

    2. Stellen Sie den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. [3 BE]

    3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person entweder ein

      Treuekunde oder ein Morgenkunde ist. [2 BE]

    4. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse T und M stochastisch unabhängig sind. [3 BE]

    5. Im Baumarkt wird ein Gewinnspiel mit einem Glücksrad angeboten. Das Glücksrad besteht aus gleich großen Sektoren, die jeweils entweder mit der Zahl 5 oder mit der Zahl 2 beschriftet sind.

      Bei diesem Gewinnspiel dreht eine Person zweimal das Glücksrad und kann

      dabei einen Rabatt gewinnen. Das Produkt der beiden erzielten Zahlen entspricht dem

      Rabatt in Prozent.

      Die Wahrscheinlichkeit dafür, in beiden Drehungen die Zahl 5 zu erzielen, beträgt 136 und die Wahrscheinlichkeit dafür, den kleinstmöglichen Rabatt zu erzielen, beträgt 2536.

      Stellen Sie das dem Gewinnspiel zugrundeliegende Zufallsexperiment in einem

      beschrifteten Baumdiagramm dar. [3 BE]

    6. Betrachtet werden sieben Personen, die nacheinander jeweils einmal am Gewinnspiel

      teilnehmen.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau viermal der kleinstmögliche Rabatt erzielt wird und dies bei vier Personen unmittelbar hintereinander. [3 BE]

    7. Die Geschäftsführung des Baumarkts setzt ein anderes Glücksrad ein, das ebenfalls

      zweimal gedreht wird. Dieses hat ebenfalls mehrere Sektoren, von denen einige mit der

      Zahl 5 und die anderen mit der Zahl 2 beschriftet sind.

      Durch Änderung der Größen der Sektoren kann jedoch die Wahrscheinlichkeit q dafür, beim einmaligen Drehen die Zahl 5 zu erzielen, variiert werden. Der Rabatt, der einer Person beim nächsten Einkauf gewährt wird, wird auf gleiche Weise wie bisher ermittelt.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit q, wenn beim Glücksspiel mit dem Glücksrad auf

      lange Sicht im Mittel ein Rabatt von 9% erzielt werden soll. [4 BE]

  4. 4

    Aufgabe 2B

    Eine umfassende Studie zu den Arbeits- und Lebensbedingungen von Studierenden einer

    Universität ergab, dass 56% der Studierenden einen Laptop und 33% einen Desktop-PC

    besitzen. 72% der Studierenden haben mindestens eines dieser beiden Endgeräte.

    Unter den Studierenden der Universität wird eine Person zufällig ausgewählt und zum Besitz von digitalen Endgeräten befragt. Folgende Ereignisse werden betrachtet:

    • L: „Die Person besitzt einen Laptop.“

    • D: „Die Person besitzt einen Desktop-PC.“

    1. Zeigen Sie, dass P(LD)=0,28 gilt, und geben Sie das zugrundeliegende Ereignis im Sachzusammenhang an. [3 BE]

    2. Stellen Sie den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

      Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die zufällig ausgewählte Person zwar

      einen Laptop, jedoch keinen Desktop-PC besitzt. [4 BE]

    3. Nun wird unter allen Befragten, die einen Desktop-PC haben, eine Person zufällig

      ausgewählt.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese einen Laptop besitzt. [2 BE]

    4. In derselben Studie wurde auch festgestellt, dass 68% der Besitzer von Laptops und

      Desktop-PCs bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen.

      Unter den Besitzern dieser Endgeräte werden 900 Personen zufällig ausgewählt. Die

      Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl derjenigen unter diesen 900 Personen, die versuchen, ein Software-Problem selbstständig zu lösen. Dabei wird X als binomialverteilt angenommen.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 70% dieser 900 Personen

      bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen. [2 BE]

    5. Berechnen Sie den Erwartungswert μ von X und ermitteln Sie die kleinste mögliche natürliche Zahl k, sodass P(μkXμ)30% gilt. [4 BE]

    6. Für binomialverteilte Zufallsgrößen mit den Parametern n=15000 und p ist in der Abbildung die Standardabweichung σ in Abhängigkeit von p dargestellt.

      Ergänzen Sie im dargestellten Koordinatensystem die

      Skalierungen der Achsen und

      erläutern Sie Ihr Vorgehen. [5 BE]

      Bild
  5. 5

    Aufgabe 3A

    Abbildung 1 zeigt die Pyramide ABCDS mit A(0|0|0),B(2|0|0),C(2|2|0),D(0|4|0) und S(0|0|3,5).

    Bild
    1. Begründen Sie, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist.

      Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. [5 BE]

    2. Zeigen Sie, dass das Dreieck CDS im Punkt C rechtwinklig ist. [2 BE]

    3. In Abbildung 2 ist ein Teil eines Netzes der Pyramide ABCDS dargestellt.

      Ergänzen Sie Abbildung 2 so, dass ein

      vollständiges Netz der Pyramide

      ABCDS dargestellt ist. [4 BE]

      Bild
    4. Untersuchen Sie, ob der Punkt P(4|8|7) in der Ebene liegt, in der die Seitenfläche CDS liegt. [4 BE]

    5. Betrachtet werden die Würfel, von denen drei Seitenflächen in den drei Koordinatenebenen liegen.

      Abbildung 3 zeigt einen dieser Würfel.

      Unter diesen Würfeln gibt es einen, bei dem ein Eckpunkt auf der Kante CS der Pyramide liegt.

      Berechnen Sie die Kantenlänge dieses Würfels und begründen Sie, dass kein Punkt dieses Würfels außerhalb der Pyramide liegt. [5 BE]

      Bild
  6. 6

    Aufgabe 3B

    Gegeben sind das gerade Prisma ABCDEF mit den Eckpunkten C(0|0|0),D(6|0|5), E(0|8|5) und F(0|0|5) sowie der Punkt M(3|4|5) (vgl. Abbildung 1).

    Bild
    1. Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Prismas. [4 BE]

    2. Begründen Sie, dass die Punkte D,E und F auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M

      liegen. [3 BE]

    3. Berechnen Sie den Winkel, den die Strecke AM mit der x-Achse einschließt. [3 BE]

    4. Durch

      x=(005)+λ(340)+μ(7,505)

      mit λ,μ ist die Ebene H gegeben.

      Die Punkte M,F und S(7,5|0|0) liegen in der Ebene H (vgl. Abbildung 2).

      Im Folgenden sind zwei Schritte zum Lösen einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:

      1. (601)=(005)+λ(340)+μ(7,505)

      2. (601)=(600)+r(005) mit r

      Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an. [3 BE]

      Prisma
    5. Anstelle des Punkts S werden nun Punkte St(t|0|0) mit t0 auf der x-Achse betrachtet.

      Für jeden Wert von t schneidet die Ebene durch die Punkte M,F und St das Prisma

      ABCDEF in einem Vieleck.

      Geben Sie die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von t an. [4 BE]

    6. Bestimmen Sie die beiden Werte von t, für die das Dreieck MFSt rechtwinklig ist. [3 BE]


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