Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3A

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit $A (0 ∣ 0 ∣ 0), B (2 ∣ 0 ∣ 0), C (2 ∣ 2 ∣ 0), D (0 ∣ 4 ∣ 0)$ und $S (0 ∣ 0 ∣ 3,5) .$

Begründen Sie, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist.
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Begründe, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AD}$ :
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\; \overrightarrow{AD}\parallel \overrightarrow{BC}$
Das Rechteck ist ein Trapez.
Berechne das Volumen der Pyramide
$V=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h_P$
Die Grundfläche $G$ ist ein Trapez: $G_{\text{Trapez}}=\frac{\left(a+c\right)}2\cdot h_T=\dfrac{2+4}{2}\cdot 2=6$
$V=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h_P=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 3{,}5=7$
( $z = 3,5$ ist die z-Koordinate von $S$ und ist die Höhe der Pyramide.)
Das Volumen der Pyramide beträgt $7\;\text{VE}$ .
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Teil 1
Vergleiche die Vektoren $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AD}$ .
Teil 2
Berechne $V=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h_P$
Zeigen Sie, dass das Dreieck $C D S$ im Punkt $C$ rechtwinklig ist. [2 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Zeige, dass das Dreieck $C D S$ im Punkt $C$ rechtwinklig ist
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CS}$ :
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}0\\0\\3{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\3{,}5\end{pmatrix}$
Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
$\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{CS}=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\-2\\3{,}5\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-2)+2\cdot(-2)+0\cdot 3{,}5=4-4+0=0$
Demnach befindet sich bei $C$ ein rechter Winkel.
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Berechne das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CS}$ .
In Abbildung 2 ist ein Teil eines Netzes der Pyramide $A B C D S$ dargestellt.
Ergänzen Sie Abbildung 2 so, dass ein
vollständiges Netz der Pyramide
$A B C D S$ dargestellt ist. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Körpernetze
Ergänze Abbildung 2 so, dass ein vollständiges Netz der Pyramide $A B C D S$ dargestellt ist
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Zeichne das Pyramidennetz. Orientiere Dich an der vorgegebenen Seitenfläche $C D S$ und berücksichtige die Pyramidenhöhe von $3,5$ .
Untersuchen Sie, ob der Punkt $P (4 ∣ - 8 ∣ 7)$ in der Ebene liegt, in der die Seitenfläche $C D S$ liegt. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
Untersuche, ob der Punkt $P (4 ∣ - 8 ∣ 7)$ in der Ebene liegt, in der die Seitenfläche $C D S$ liegt
Erstelle die Ebenengleichung durch die Punkte $C, D$ und $S$ .
$E:\;\vec x=\overrightarrow{OC}+r\cdot \left(\overrightarrow{OD} -\overrightarrow{OC}\right) +s\cdot \left(\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC}\right)$
$E:\vec x=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \left(\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\right)+s\cdot \left(\begin{pmatrix}0\\0\\3{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\right)$
$E:\vec x=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\3{,}5\end{pmatrix}$
Führe eine Punktprobe durch:
$\begin{pmatrix}4\\-8\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\3{,}5\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$
$\begin{pmatrix}2\\-10\\7\end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\3{,}5\end{pmatrix}$
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten erhalten.
$\mathrm{(III)}\quad 7=3{,}5\cdot s\;\Rightarrow\;s=2$
$s = 2$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{(I)}\;\Rightarrow\; 2=-2\cdot r-4$
$\Rightarrow\;6=-2\cdot r\;\Rightarrow\;r=-3$
Kontrolle in Gleichung $\mathrm{(II)}$ :
$-10=(-3)\cdot2+2\cdot (-2)\;\Rightarrow\;-10=-10\;\checkmark$
Der Punkt $P (4 ∣ - 8 ∣ 7)$ liegt in der Ebene, in der die Seitenfläche $C D S$ liegt.
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Erstelle die Ebenengleichung durch die Punkte $C, D$ und $S$ .
Führe eine Punktprobe durch.
Betrachtet werden die Würfel, von denen drei Seitenflächen in den drei Koordinatenebenen liegen.
Abbildung 3 zeigt einen dieser Würfel.
Unter diesen Würfeln gibt es einen, bei dem ein Eckpunkt auf der Kante $\overline{CS}$ der Pyramide liegt.
Berechnen Sie die Kantenlänge dieses Würfels und begründen Sie, dass kein Punkt dieses Würfels außerhalb der Pyramide liegt. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Berechne die Kantenlänge dieses Würfels
Unter diesen Würfeln gibt es einen, bei dem ein Eckpunkt auf der Kante $\overline{CS}$ der Pyramide liegt.
Berechne die Geradengleichung $g_{CS}$ :
$g_{CS}:\;\vec x=\overrightarrow{OC}+r\cdot \left(\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC}\right)=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\3{,}5\end{pmatrix}$
Vom Punkt $A$ aus zeigt ein Vektor mit drei gleichen Komponenten zu einem Punkt auf der Geraden $g_{CS}$ :
$\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\-2\\3{,}5\end{pmatrix}$
Aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ folgt: $r=\dfrac{a}{3{,}5}$
$r=\dfrac{a}{3{,}5}$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{(I)}$ : $a=2-\dfrac{2a}{3{,}5}$
Die Kantenlänge $a$ des Würfels ist somit $\dfrac{14}{11}$ .
Begründe, dass kein Punkt dieses Würfels außerhalb der Pyramide liegt
In Verbindung mit der Abbildung genügt es zu prüfen, ob der Eckpunkt $\left(\frac{14}{11}|0| \frac{14}{11}\right)$ des Würfels außerhalb der Pyramide liegt.
Berechne die Geradengleichung $g_{BS}$ :
$g_{BS}:\;\vec x=\overrightarrow{OB}+r\cdot \left(\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OB}\right)=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\0\\3{,}5\end{pmatrix}$
Prüfe, ob der obige Eckpunkt auf $g_{BS}$ liegt:
$\begin{pmatrix}\frac{14}{11}\\0\\\frac{14}{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-2\\0\\3{,}5\end{pmatrix}$
Aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ folgt: $r=\dfrac{14}{11\cdot 3{,}5}=\dfrac{4}{11}$
$r=\dfrac{4}{11}$ eingesetzt in Gleichung $\mathrm{(I)}$ :
$\dfrac{14}{11}=2-\dfrac{8}{11}=\dfrac{14}{11}\;\checkmark$
Da die Gleichung mit $r= \dfrac{4}{11}$ eine Lösung besitzt, liegt der Eckpunkt auf der Kante $\overline{BS}$ und nicht außerhalb der Pyramide.

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Teil 1
Berechne die Geradengleichung $g_{CS}$ .
Vom Punkt $A$ aus zeigt ein Vektor mit drei gleichen Komponenten zu einem Punkt auf der Geraden $g_{CS}$ .
Löse diese Gleichung.
Teil 2
In Verbindung mit der Abbildung genügt es zu prüfen, ob der Eckpunkt $\left(x|0| x\right)$ des Würfels außerhalb der Pyramide liegt.
Berechne die Geradengleichung $g_{BS}$ .
Prüfe, ob der Eckpunkt auf $g_{BS}$ liegt.