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Aufgabe 1B

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in definierten Funktion 𝑓 mit 𝑓(𝑡)=2520𝑒0,014𝑡 modellhaft beschreiben. Dabei ist t die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und f(t) die Wassertemperatur in C. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25C.

  1. Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.

    Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12C beträgt. [3 BE]

  2. Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang: [6 BE]

    1. f(30)

    2. 𝑓(30)𝑓(0)300

  3. Gegeben ist die in definierte Funktion h mit h(x)=(1x2)ex.

    Der Graph von h wird mit Gh bezeichnet.

    Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x) nur für 1<x<1 positiv ist. [3 BE]

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  4. Die Gerade u ist die Tangente an Gh im Punkt (0|1). Es gibt genau eine Tangente v an Gh, die zu u senkrecht ist. Geben Sie die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von v an und erläutern Sie diese. [6 BE]

  5. Berechnen Sie die Wendestellen von h. In einem der Wendepunkte von Gh ist die Steigung von Gh maximal. Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. [5 BE]

  6. Für 0<𝑤<1 wird das Dreieck mit den Eckpunkten (0|0), (w|0) und (w|h(w)) betrachtet. Für einen Wert von w ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.

    Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. [5 BE]

  7. Gh schließt mit der x-Achse eine Fläche A ein.

    Es gibt genau einen Punkt P auf Gh mit positiver x-Koordinate, sodass die Gerade durch die Punkte O(0|0) und P die Fläche A in zwei Flächenstücke gleichen Inhalts teilt.

    Geben Sie eine Gleichung an, mit der die

    x-Koordinate von P bestimmt werden kann. Veranschaulichen Sie den Aufbau der Gleichung in Abbildung 2. [7 BE]

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