Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1B

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $𝑓$ mit $𝑓(𝑡) = 25 − 20𝑒^{−0{,}014⋅𝑡}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in $^\circ C$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^\circ C$ .

Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^\circ C$ beträgt. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an.
Berechne $f (0)$ :
$f (0) = 25 - 20 = 5$
Die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank beträgt $5^\circ C$ .
Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^\circ C$ beträgt
$\text{Löse}(f(t)=12)$ , man erhält die Lösung $t\approx30{,}8$ .
Das Wasser hat rund $31$ Minuten nach der Entnahme eine Temperatur von $12^\circ C$ .
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Teil 1
Berechne $f (0)$ .
Teil 2
$\text{Löse}(f(t)=12)$ .
Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang: [6 BE]
1. $f^{'} (30)$
2. $\dfrac{𝑓(30)−𝑓(0)}{30−0}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
Berechne die Werte der folgenden Terme und interpretiere diese im Sachzusammenhang
$\mathrm{(I)}\;$ : $f'(30) \approx 0{,}18$
$f^{'} (30)$ beschreibt die momentane Änderungsrate der Wassertemperatur $30$ Minuten nach Entnahme in Grad pro Minute.
$\mathrm{(II)}\;$ : $\dfrac{f(30)−f(0)}{30−0}\approx0{,}23$

$\dfrac{f(30)−f(0)}{30−0}$ beschreibt die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten in Grad pro Minute.
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Berechne $f^{'} (30)$ . Die erste Ableitung entspricht der momentanen Änderungsrate.
Berechne $\dfrac{f(30)−f(0)}{30−0}$ . Sekantensteigung oder mittlere Änderungsrate.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1 − x^2) \cdot e^x$ .
Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.
Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist
Die Funktion hat die beiden Nullstellen $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 1$ .
Betrachte den Funktionsterm: $(1 − x^2)\cdot e^x$
$e^{x}$ ist für alle $x$ größer null.
Der Term $(1 - x^{2})$ ist für $- 1 < x < + 1$ ebenfalls größer null, sodass das Produkt aus den beiden Termen $e^{x}$ und $(1 - x^{2})$ ebenfalls größer null ist.
(Für x-Werte außerhalb des Intervalls $] - 1; 1 [$ ist der Term $(1 - x^{2})$ kleiner null.)
Damit ist $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv.
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Bestimme die Nullstellen der Funktion $f$ .
Betrachte die beiden Terme $(1 - x^{2})$ und $e^{x}$ und entscheide, für welche x-Werte die Terme größer oder kleiner null sind.
Die Gerade $u$ ist die Tangente an $G_{h}$ im Punkt $(0 ∣ 1)$ . Es gibt genau eine Tangente $v$ an $G_{h}$ , die zu $u$ senkrecht ist. Geben Sie die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von $v$ an und erläutern Sie diese. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Gib die notwendigen Schritte zur Berechnung einer Gleichung von $v$ an und erläutere diese
Die Gerade $u$ ist die Tangente an $G_{h}$ im Punkt $(0 ∣ 1)$ $\;\Rightarrow\;m_u=h'(0)$
Es gibt eine Tangente $v$ an $G_{h}$ , die zu $u$ senkrecht ist $\;\Rightarrow\;m_u\cdot m_v=-1$
Steigung von $v: m_v=-\dfrac{1}{m_u}=-\dfrac{1}{h'(0)}$
Lösen der Gleichung $h'(x)= − \dfrac{1}{h'(0)}$ zur Bestimmung der x-Koordinate $x_{Q}$ des Berührpunkts $Q$ von $G_{h}$ und $v$ .
Bestimmung der y-Koordinate $y_{Q}$ von $Q$ : $y_{Q} = h (x_{Q})$
Bestimmung des y-Achsenabschnitts von $v$ mithilfe der Steigung von $v$ und der Koordinaten von $Q$ .
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Steigung von $m_v=-\dfrac{1}{m_u}=-\dfrac{1}{h'(0)}$
Löse $h'(x)= − \dfrac{1}{h'(0)}$ zur Bestimmung der x-Koordinate $x_{Q}$ des Berührpunkts $Q$ von $G_{h}$ und $v$ .
Berechne $y_{Q} = h (x_{Q})$
Bestimmung des y-Achsenabschnitts von $v$ mithilfe der Steigung von $v$ und der Koordinaten von $Q$ .
Berechnen Sie die Wendestellen von $h$ . In einem der Wendepunkte von $G_{h}$ ist die Steigung von $G_{h}$ maximal. Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Berechne die Wendestellen von $h$
$\text{Löse}(h''(x) = 0)$ $\;\Rightarrow\;$ $x_1 = −2 − \sqrt{3}$ und $x_2 = −2 + \sqrt{3}$ .
Es gibt zwei Wendestellen $x_{1}$ und $x_{2}$ .
Berechne den Wert der maximalen Steigung
Da $h^{'''} (x_{1}) > 0$ und $h^{'''} (x_{2}) < 0$ , ist $x_{2}$ die x-Koordinate des Punktes, in dem die
Steigung von $G_{h}$ maximal ist.
Anmerkung: $h^{'''} (x_{2})$ ist die 2. Ableitung von $h^{'} (x)$ und wenn die 2. Ableitung kleiner null ist, handelt es sich um ein Maximum.
Berechne $h^{'} (x_{2})$ :
Ergebnis berechnet mit dem CAS-Rechner von Geogebra
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Teil 1
$\text{Löse}(h''(x) = 0)\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
Teil 2
Betrachte $h^{'''} (x_{1})$ und $h^{'''} (x_{2})$ . Ist einer dieser beiden Werte kleiner null, dann gibt es an dieser Stelle die maximale Steigung.
Für $0 < 𝑤 < 1$ wird das Dreieck mit den Eckpunkten $(0 ∣ 0)$ , $(w ∣ 0)$ und $(w ∣ h (w))$ betrachtet. Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.
Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal
Skizze:
Es ist $A(w)=\dfrac{1}{2}\cdot w\cdot h(w)=\dfrac{1}{2}\cdot w\cdot (1 − w^2) \cdot e^w$
$\text{Löse}(A'(w) = 0)\;\Rightarrow\;$ im Bereich $0 < w < 1$ gibt es die Lösung $w\approx 0{,}68$ .
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist maximal für $w\approx 0{,}68$ .
Berechne den maximalen Flächeninhalt
Berechne $A (0,68)$ :
$A(0{,}68)\approx0{,}36$
Der maximale Flächeninhalt beträgt rund $0{,}36\;\text{FE}$ .
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Teil 1
Es ist $A(w)=\dfrac{1}{2}\cdot w\cdot h(w)$ . $\text{Löse}(A'(w) = 0)\;\Rightarrow\; w_1$
Teil 2
Berechne $A (w_{1})$ .
$G_{h}$ schließt mit der x-Achse eine Fläche $A$ ein.
Es gibt genau einen Punkt $P$ auf $G_{h}$ mit positiver x-Koordinate, sodass die Gerade durch die Punkte $O (0 ∣ 0)$ und $P$ die Fläche $A$ in zwei Flächenstücke gleichen Inhalts teilt.
Geben Sie eine Gleichung an, mit der die
x-Koordinate von $P$ bestimmt werden kann. Veranschaulichen Sie den Aufbau der Gleichung in Abbildung 2. [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Gib eine Gleichung an, mit der die x-Koordinate von $P$ bestimmt werden kann
Für die Koordinate $x_{P}$ des Punktes $P$ gilt:
Die Hälfte der Fläche, die $G_{h}$ mit der x-Achse einschließt, ist so groß wie die Summe der beiden Flächen $\textcolor{ff6600}{A_1}$ und $\textcolor{660099}{A_2}$ .
$\dfrac{1}{2}\cdot\underbrace{\displaystyle\int_{-1}^1h(x)\;\mathrm{d}x}_{A{\text{gesamt}}}=\textcolor{ff6600}{ \underbrace{\dfrac{1}{2}\cdot x_P\cdot h(x_P)}_{A_1}}+\textcolor{660099}{\underbrace{\displaystyle\int_{x_P}^1h(x)\;\mathrm{d}x}_{A_2}}$

Veranschauliche den Aufbau der Gleichung in Abbildung 2
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Teil 1
Zeichne einen Punkt $P$ auf $G_{h}$ mit positiver x-Koordinate ein. $x_{P}$ ist seine x-Koordinate.
Die Hälfte der Fläche, die $G_{h}$ mit der x-Achse einschließt, ist so groß wie die Summe der Dreiecksfläche $A_{Ox_PP}$ und der Fläche unter $G_{h}$ von $x_{P}$ bis $1$ .
Teil 2
Markiere die unter Teil 1 angegebenen Flächen in der Abbildung 2.