Zeige, dass $P(\overline{L}\cap \overline{D})=\mathrm{0,28}$ gilt

$72\%$ der Studierenden haben mindestens eines dieser beiden Endgeräte.

$\Rightarrow P(L\cap D)+P(L\cap \overline{D})+P(\overline{L}\cap D)=\mathrm{0,72}$

$\Rightarrow P(\overline{L}\cap \overline{D})=1-(P(L\cap D)+P(L\cap \overline{D})+P(\overline{L}\cap D))=1-\mathrm{0,72}=\mathrm{0,28}$

Gib das zugrundeliegende Ereignis im Sachzusammenhang an

Ereignis: Die ausgewählte Person besitzt weder einen Laptop noch einen

Desktop-PC.

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

Laut Aufgabenstellung haben $56\%$ der Studierenden einen Laptop und $33\%$ besitzen einen Desktop-PC.

Mit diesen beiden Angaben beginnt die Vierfeldertafel:

Zunächst können durch Differenzbildung zwei weitere Felder ausgefüllt werden:

Aus Aufgabe a) folgt: $P(\overline{L}\cap \overline{D})=\mathrm{0,28}$. Dieser Wert wird eingetragen.

Dann ist $P(L\cap \overline{D})=\mathrm{0,67}-\mathrm{0,28}=\mathrm{0,39}$ und $P(\overline{L}\cap D)=\mathrm{0,44}-\mathrm{0,28}=\mathrm{0,16}$.

Der letzte Wert ist dann $P(L\cap D)=\mathrm{0,33}-\mathrm{0,16}=\mathrm{0,17}$.

Die vollständige Vierfeldertafel sieht dann so aus:

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die zufällig ausgewählte Person zwar einen Laptop, jedoch keinen Desktop-PC besitzt

Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit $P(L\cap \overline{D})$.

Aus der Vierfeldertafel entnimmt man: $P(L\cap \overline{D})=\mathrm{0,39}$

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese einen Laptop besitzt

Gesucht ist $P_D(L)$:

Mit den Werten aus der Vierfeldertafel folgt:

$P_D(L)={\displaystyle \frac{P(L\cap D)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,17}}{\mathrm{0,33}}}\approx \mathrm{0,52}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese einen Laptop besitzt, beträgt rund $52\%$.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $70\%$ dieser $900$ Personen bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen

$70\%$ dieser $n=900$ Personen sind $630$ Personen.

Gegeben ist weiterhin, dass $68\%$ der Besitzer von Laptops und

Desktop-PCs bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen$\Rightarrow p=\mathrm{0,68}$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:$P(X\le 630)=\text{binomCdf}(900;\mathrm{0,68};0;630)\approx \mathrm{0,9075}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $70\%$ dieser $900$ Personen bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen, beträgt rund $91\%$.

Berechne den Erwartungswert $\mu$ von $X$

Es ist $\mu =n\cdot p=900\cdot \mathrm{0,68}=612$

Der Erwartungswert von $X$ beträgt $612$.

Ermittele die kleinste mögliche natürliche Zahl $k$, sodass $P(\mu -k\le X\le \mu )\ge 30\%$ gilt

Gefordert ist: $P(\mu -k\le X\le \mu )\ge \mathrm{0,3}$

$\Rightarrow P(612-k\le X\le 612)\ge \mathrm{0,3}$

Man findet:

$P(600\le X\le 612)\approx \mathrm{0,3269}>\mathrm{0,3}$

$P(601\le X\le 612)\approx \mathrm{0,3072}>\mathrm{0,3}$

$P(602\le X\le 612)\approx \mathrm{0,2866}<\mathrm{0,3}$

Also ist hier die richtige Lösung: $P(612-11\le X\le 612)\approx \mathrm{0,3072}>\mathrm{0,3}\Rightarrow k=11$

Die kleinste mögliche natürliche Zahl $k$, sodass $P(\mu -k\le X\le \mu )\ge 30\%$ gilt, ist $k=11$.

Ergänze im dargestellten Koordinatensystem die Skalierungen der Achsen und erläutere Dein Vorgehen

Es gilt: $0\le p\le 1$

Deshalb muss die rechte Grenze des Graphens auf der p-Achse $1$ sein.

(Ein Kästchen auf der p-Achse entspricht dann $\mathrm{0,2}$.)

Bei $p=\mathrm{0,4}$ (in der Skizze eingetragen) kann der $\sigma$-Wert genau bestimmt werden.

Es ist $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

Mit $n=15000$ und $p=\mathrm{0,4}$ folgt dann:

$\sigma =\sqrt{15000\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}=60$

(Ein Kästchen auf der $\sigma$-Achse entspricht dann $20$.)