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Aufgabe 1A

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit

f(x)=31000⋅x4−8100⋅x3+610⋅x2.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von f sowie den Punkt P(0|−58).

Bild
  1. Der Graph von f besitzt den Tiefpunkt (0|0).

    Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von f keine weiteren Extrempunkte besitzt. [4 BE]

  2. Die Gerade durch die Punkte P(0|−58) und Q(−14|−1) wird mit t bezeichnet.

    Ermitteln Sie eine Gleichung von t. Weisen Sie rechnerisch nach, dass t die Tangente an den Graphen von f im Punkt (5|f(5)) ist. [5 BE]

    [Zur Kontrolle: Gleichung von 𝑡:𝑩=32đ‘„âˆ’58]

  3. Der Graph von f und die Tangente t schließen eine FlĂ€che ein, die aus zwei FlĂ€chenstĂŒcken besteht.

    Berechnen Sie den Inhalt dieser FlÀche. [6 BE]

  4. Der Graph der in ℝ definierten Funktion g kann aus dem Graphen von f erzeugt

    werden.

    Der Punkt (12|12) des Graphen von g wird dabei aus dem Punkt (10|10) des

    Graphen von f erzeugt und fĂŒr alle x∈ℝ gilt 𝑔(đ‘„)=𝑎⋅𝑓(đ‘â‹…đ‘„) mit a,b∈ℝ+

    Geben Sie in diesem Zusammenhang die Bedeutung von a und b an und

    berechnen Sie die Werte von 𝑎 und 𝑏. [4 BE]

  5. Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander.

    Die Geschwindigkeit von Radfahrer F wird in den ersten 10 Sekunden (s) nach dem Start durch die Funktion f mit f(x)=31000⋅x4−8100⋅x3+610⋅x2

    beschrieben.

    Die Geschwindigkeit von Radfahrer H wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start

    durch die in ℝ definierte Funktion h mit h(x)=1576⋅x4−118⋅x3+12⋅x2 beschrieben.

    Dabei ist x die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und f(x) bzw. h(x) die

    Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde (ms).

    Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Radfahrer F drei Sekunden nach dem Start

    sowie den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von 8mserreicht. [4 BE]

    Bild
  6. Nach den ersten 12 Sekunden fÀhrt Radfahrer H mit konstanter Geschwindigkeit.

    Geben Sie diese konstante Geschwindigkeit an.

    Zeigen Sie durch Rechnung, dass der zum Radfahrer H gehörende Graph in der

    Abbildung 2 an der Stelle 12 eine waagerechte Tangente aufweist. [4 BE]

  7. Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider

    Radfahrer gleich groß sind. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit xs bezeichnet.

    Berechnen Sie xs. [3 BE]

  8. Es gibt genau einen Zeitpunkt in den ersten 10 Sekunden nach dem Start, zu dem einer

    der beiden Radfahrer den anderen ĂŒberholt.

    Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Geschwindigkeit des schnelleren Radfahrers die

    Geschwindigkeit des langsameren Radfahrers zum Zeitpunkt des Überholens ĂŒbersteigt.

    [5 BE]