Zeige rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt

Löse $(f^{\prime }(x)=0)$ mit den beiden Lösungen $x=0$ oder $x=10$

Bei $x=0$ besitzt der Graph von $f$ den Tiefpunkt $(0|0)$.

$x=10$:

Berechne $f^{\prime \prime }(10)$ und $f^{\prime \prime \prime }(10)$:

$f^{\prime \prime }(10)=0$ und $f^{\prime \prime \prime }(10)={\displaystyle \frac{6}{25}}>0$

Bei $x=10$ besitzt der Graph von $f$ einen Terrassenpunkt (Sattelpunkt) und damit keine weiteren Extrempunkte.

Ermittle eine Gleichung von $t$

Aus $P$ entnimmt man den y-Achsenabschnitt $b=-{\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Setze in $y=m\cdot x+b=m\cdot x-{\displaystyle \frac{5}{8}}$ die Koordinaten von $Q$ ein:

$-1=m\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}})-{\displaystyle \frac{5}{8}}\Rightarrow -{\displaystyle \frac{3}{8}}=m\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}})\Rightarrow m={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Damit erhält man:

Weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$ ist

$t$ ist Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$, wenn:

• $f(5)=t(5)$

• $f^{\prime }(5)=m_t$

Berechne: $f(5)=\mathrm{6,875}$ und $t(5)=\mathrm{6,875}\Rightarrow f(5)=t(5)✓$

$f^{\prime }(5)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ und $m_t={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow f^{\prime }(5)=m_t✓$

Beide Bedingungen sind erfüllt:

$\Rightarrow t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5|f(5))$.

Berechne den Inhalt dieser Fläche

Für die Integrationsgrenzen berechne $f\cap t$:

Löse$($$f(x)=t(x)$$)$:

Man erhält die Lösungen $x_1={\displaystyle \frac{-5\sqrt{22}+25}{3}}$, $x_2=5$ und $x_3={\displaystyle \frac{5\sqrt{22}+25}{3}}$.

Bei $x_2=5$ berühren sich $f$ und $t$ (siehe Aufgabe b).

Berechne den Flächeninhalt:

$$A={\displaystyle {\int }_{x_1}^{x_3}(t(x)-f(x))\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{770}{81}}\cdot \sqrt{22}\approx \mathrm{44,6}}$$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt rund $\mathrm{44,6}\text{FE}$.

Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an

Die Funktion $f$ wird mit dem Faktor $a$ in y-Richtung gestreckt und anschließend mit dem Faktor ${\displaystyle \frac{1}{b}}$ in x-Richtung gestreckt.

$\underset{\text{Streckung in y-Richt.mit Faktor a}}{\underbrace{f\stackrel{\stackrel{}{\cdot a}}{\to }a\cdot f}}\underset{\text{Streckung in x-Richt.mit Faktor}\frac{1}{b}}{\underbrace{\stackrel{\stackrel{}{f(b\cdot x)}}{\to }a\cdot f(b\cdot x)}}=g(x)$

Berechne die Werte von $𝑎$ und $𝑏$

Der Punkt $(12|12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10|10)$ des

Graphen von $f$ erzeugt:

$\Rightarrow g(12)=a\cdot f(10)\Rightarrow 12=a\cdot 10\Rightarrow a={\displaystyle \frac{6}{5}}$

Weiterhin folgt: $12={\displaystyle \frac{1}{b}}\cdot 10\Rightarrow b={\displaystyle \frac{5}{6}}$

Berechne $f(3)$:

$f(3)=\mathrm{3,483}$

Die Geschwindigkeit beträgt etwa $\mathrm{3,5}\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Löse$(f(x)=8)$:

Die Gleichung hat im betrachteten Zeitraum die Lösung $x\approx \mathrm{5,82}$, d. h. die

Geschwindigkeit wird etwa $\mathrm{5,8}$ Sekunden nach dem Start erreicht.

Gib diese konstante Geschwindigkeit an

Berechne $h(12)$:

$h(12)=12$

Die konstante Geschwindigkeit beträgt $12\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $H$ gehörende Graph in der Abbildung 2 an der Stelle $12$ eine waagerechte Tangente aufweist

Berechne $h^{\prime }(12)$:

$h^{\prime }(12)=0$, d.h. die Tangente hat an der Stelle $x=0$ die Steigung null (waagrechte Tangente).

Berechne $x_s$

Löse$(f(x)=h(x))$:

Für $0<x<10$ hat die Gleichung die Lösung $x_s={\displaystyle \frac{880-20}{91}}\cdot \sqrt{298}\approx \mathrm{5,88}$.

Der Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider Radfahrer gleich groß sind, ist etwa $\mathrm{5,88}$ Sekunden nach dem Start.

Berechne, um wieviel Prozent die Geschwindigkeit des schnelleren Radfahrers die Geschwindigkeit des langsameren Radfahrers zum Zeitpunkt des Überholens übersteigt

Der zurückgelegte Weg muss beim Überholen für beide Radfahrer gleich groß sein. d.h. das $${\displaystyle {\int }_0^z(f(x)-h(x))\mathrm{d}x}$$ muss gleich null sein (gleicher zurückgelegter Weg).

$$\text{Löse}\left({\displaystyle {\int }_0^z(f(x)-h(x))\mathrm{d}x=0,z}\right)$$

Für $0<z<10$ erhält man die Lösung $z_1={\displaystyle \frac{1100-20\cdot \sqrt{295}}{91}}$.

Berechne die prozentuale Änderung:

Es ist ${\displaystyle \frac{h(z_1)-f(z_1)}{f(z_1)}}\approx \mathrm{0,11}=11\%$

Um $11\%$ Prozent übersteigt die Geschwindigkeit des schnelleren Radfahrers die Geschwindigkeit des langsameren Radfahrers zum Zeitpunkt des Überholens.