Teil B: Stochastik - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Nach Aufgabe 1 gilt:

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit $60 %$ soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb.

Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens $60 %$ .“ mithilfe einer Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von $5 %$ getestet werden.

Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Gib an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte
Man möchte vermeiden, den Algorithmus dauerhaft einzusetzen, obwohl sich durch diesen Einsatz die Zufriedenheit der Abonnenten nicht erhöht hat.
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Durch den Einsatz des Algorithmus hat sich die Zufriedenheit der Abonnenten nicht erhöht. Ist es dann sinnvoll, ihn weiter einzusetzen?
Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens $132$ Abonnenten mit dem Angebot zufrieden sind.
Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:
- $X$ : Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
- $P_{200 ;\; 0{,}6}(X \geq 132) \approx 0{,}047$
Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese geeignet. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Begründe, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänze diese geeignet
Es könnte eine Zahl $k < 132$ geben, sodass für dieses $k$ gilt: $P_{200;\;0{,}6}(X\geq k)\leq 0{,}05$
In diesem Fall würde der Ablehnungsbereich vergrößert.
Erst mit $P_{200 ;\; 0{,}6}(X \geq 131) \approx 0{,}0639>0{,}05$ ist sicher, dass $132$ tatsächlich die untere Grenze des Ablehnungsbereichs ist.
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Es könnte eine Zahl $k < 132$ geben, sodass für dieses $k$ gilt: $P_{200;\;0{,}6}(X\geq k)\leq 0{,}05$
Berechne $P_{200 ;\; 0{,}6}(X \geq 131)$ . Was folgt daraus?
Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90 %$ betragen könnte. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90 %$ betragen könnte
Nimm an, dass der Anteil der zufriedenen Abonnenten z.B. $61 %$ beträgt. Die Nullhypothese wird verworfen und die Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Fehlers zweiter Art beträgt dann:
$P_{200 ;\; 0{,}61}(X \leq 131)=\text{binomCdf}(200{,}0.61{,}0,131) \approx 0{,}9166>0{,}9$
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90 %$ .
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Nimm an, dass der Anteil der zufriedenen Abonnenten z.B. $61 %$ beträgt.
Berechne dann $P_{200 ;\; 0{,}61}(X \leq 131)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Gib an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte

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Begründe, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänze diese geeignet

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Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als 90 %90\ \%90 % betragen könnte

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Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90 %$ betragen könnte