Teil B: Stochastik

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.
1. Unter den Abonnenten sind $70 %$ höchstens $40$ Jahre alt. Von diesen haben $80 %$ das Komplettpaket gewählt. Unter denjenigen Abonnenten, die älter sind als $40$ Jahre, haben sich $50 %$ für das Komplettpaket entschieden.
  Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar
  Baumdiagramm
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  Übertrage die Werte aus der Aufgabenstellung in ein Baumdiagramm.
2. Eine unter allen Abonnenten zufällig ausgewählte Person hat sich für das Komplettpaket entschieden.
  Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens $40$ Jahre alt ist. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
  Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens $40$ Jahre alt ist
  Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ .
  Es gilt:
  $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}7\cdot 0{,}8}{0{,}7\cdot 0{,}8+0{,}3\cdot 0{,}5}\approx0{,}7887$
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person höchstens $40$ Jahre alt ist, beträgt etwa $0,7887$ .
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  Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B} (A)$ .
3. Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ mehr als $20$ Personen älter sind als $40$ Jahre. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kumulierte Wahrscheinlichkeit
  Bestimme die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ mehr als $20$ Personen älter sind als $40$ Jahre
  Es ist $Z$ : Anzahl der Personen, die älter als $40$ Jahre sind.
  Gesucht ist $P_{n;\;0{,}3}(Z\geq 21)\geq 0{,}99$ .
  $P_{n;\;0{,}3}(Z\geq 21)=\text{binomCdf}(n, 0.3, 21, \infty)\geq 0{,}99$
  Berechne für einige Werte von $n$ diesen Ausdruck.
  $n=102\;\Rightarrow\;\text{binomCdf}(102, 0.3, 21, \infty)\approx 0{,}9878<0{,}99$
  $n=103\;\Rightarrow\;\text{binomCdf}(103, 0.3, 21, \infty)\approx 0{,}9895<0{,}99$
  $n=104\;\Rightarrow\;\text{binomCdf}(104, 0.3, 21, \infty)\approx 0{,}9910>0{,}99\;\checkmark$
  Es müssen also mindestens $104$ Personen ausgewählt werden, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ mehr als $20$ Personen älter sind als $40$ Jahre.
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  Es ist $Z$ : Anzahl der Personen, die älter als $40$ Jahre sind.
  Gesucht ist $P_{n;\;0{,}3}(Z\geq 21)\geq 0{,}99$ .
  Berechne für einige Werte von $n$ den Ausdruck $\text{binomCdf}(n, 0.3, 21, \infty)$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Nach Aufgabe 1 gilt:
Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.
Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit $60 %$ soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb.
Im Anschluss soll die Nullhypothese „Der Anteil der zufriedenen Abonnenten beträgt höchstens $60 %$ .“ mithilfe einer Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Abonnenten auf einem Signifikanzniveau von $5 %$ getestet werden.
1. Geben Sie an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Gib an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte
  Man möchte vermeiden, den Algorithmus dauerhaft einzusetzen, obwohl sich durch diesen Einsatz die Zufriedenheit der Abonnenten nicht erhöht hat.
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  Durch den Einsatz des Algorithmus hat sich die Zufriedenheit der Abonnenten nicht erhöht. Ist es dann sinnvoll, ihn weiter einzusetzen?
2. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens $132$ Abonnenten mit dem Angebot zufrieden sind.
  Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt:
  $X$ : Anzahl der zufriedenen Abonnenten in der Stichprobe
  $P_{200 ;\; 0{,}6}(X \geq 132) \approx 0{,}047$
  Begründen Sie, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänzen Sie diese geeignet. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Begründe, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänze diese geeignet
  Es könnte eine Zahl $k < 132$ geben, sodass für dieses $k$ gilt: $P_{200;\;0{,}6}(X\geq k)\leq 0{,}05$
  In diesem Fall würde der Ablehnungsbereich vergrößert.
  Erst mit $P_{200 ;\; 0{,}6}(X \geq 131) \approx 0{,}0639>0{,}05$ ist sicher, dass $132$ tatsächlich die untere Grenze des Ablehnungsbereichs ist.
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  Es könnte eine Zahl $k < 132$ geben, sodass für dieses $k$ gilt: $P_{200;\;0{,}6}(X\geq k)\leq 0{,}05$
  Berechne $P_{200 ;\; 0{,}6}(X \geq 131)$ . Was folgt daraus?
3. Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90 %$ betragen könnte. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90 %$ betragen könnte
  Nimm an, dass der Anteil der zufriedenen Abonnenten z.B. $61 %$ beträgt. Die Nullhypothese wird verworfen und die Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Fehlers zweiter Art beträgt dann:
  $P_{200 ;\; 0{,}61}(X \leq 131)=\text{binomCdf}(200{,}0.61{,}0,131) \approx 0{,}9166>0{,}9$
  Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90 %$ .
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  Nimm an, dass der Anteil der zufriedenen Abonnenten z.B. $61 %$ beträgt.
  Berechne dann $P_{200 ;\; 0{,}61}(X \leq 131)$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Ein Internetnutzer hat verschiedene Möglichkeiten, Videos zu streamen. Im Folgenden wird die Zufallsgröße $Y$ : „Wöchentliche Streamingdauer (in h)“ einer zufällig ausgewählten Person im Alter von mindestens $14$ Jahren betrachtet. Die Zufallsgröße $Y$ wird durch eine Normalverteilung mit den Kenngrößen $\mu_{Y}=8{,}87$ und $\sigma_{Y}=2{,}20$ modelliert.
1. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person im Alter von mindestens $14$ Jahren in einer zufällig ausgewählten Woche mehr als $10$ Stunden streamt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Ermittele die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person im Alter von mindestens $14$ Jahren in einer zufällig ausgewählten Woche mehr als $10$ Stunden streamt
  Es ist Zufallsgröße $Y$ : „Wöchentliche Streamingdauer (in h)“
  Weiterhin gegeben sind die Kenngrößen $\mu_{Y}=8{,}87$ und $\sigma_{Y}=2{,}20$ .
  In einer Woche gibt es $7\cdot 24=168$ Stunden.
  Mehr als $10$ Stunden in einer Woche streamen $\;\Rightarrow\;10<Y<168$ .
  Berechne $P(10<Y<168)=\text{normCdf}(10, 168{,}8.87{,}2.20)\approx0{,}3038$ .
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person im Alter von mindestens $14$ Jahren in einer zufällig ausgewählten Woche mehr als $10$ Stunden streamt, beträgt rund $0,3038$ .
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  In einer Woche gibt es $7\cdot 24=168$ Stunden.
  Berechne $P (10 < Y < 168)$ .
2. Die Zufallsgröße Z: „Wöchentliche Streamingdauer (in h)“ einer zufällig ausgewählten Person im Alter von $14$ bis $29$ Jahren wird ebenfalls durch eine Normalverteilung modelliert.
  Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion $\varphi_{z}$ der Zufallsgröße $Z$ .
  Abbildung
  Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise die Kenngrößen $\mu_{z}$ und $\sigma_{z}$ der Normalverteilung für die Zufallsgröße $Z$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Ermittele mithilfe der Abbildung näherungsweise die Kenngrößen $\mu_{z}$ und $\sigma_{z}$ der Normalverteilung für die Zufallsgröße $Z$
  Betrachte die Abbildung.
  Dann liegt der Hochpunkt etwa bei $x = 18$ und der linke Wendepunkt liegt etwa bei $x = 14,5$ . Siehe eingezeichnete Werte in der Abbildung:
  Wenn der Hochpunkt etwa bei $x = 18$ liegt, dann ist $\mu_Z\approx18$ .
  Der linke Wendepunkt liegt etwa bei $x = 14,5$ , dann ist $\sigma_Z\approx18-14{,}5=3{,}5$ .
  Die Kenngrößen $\mu_{z}$ und $\sigma_{z}$ der Normalverteilung für die Zufallsgröße $Z$ sind $\mu_Z\approx18$ und $\sigma_Z\approx3{,}5$ .
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  Finde die Stellen, an denen der Hochpunkt und ein Wendepunkt liegen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil B: Stochastik

Aufgabe 1

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens 404040 Jahre alt ist

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Bestimme die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 %99\ \%99 % mehr als 202020 Personen älter sind als 404040 Jahre

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Aufgabe 2

Gib an, welche Überlegung des Managements zur Wahl dieser Nullhypothese geführt haben könnte

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Begründe, dass die beiden Lösungsschritte zur Bestimmung der unteren Grenze nicht ausreichend sind, und ergänze diese geeignet

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Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als 90 %90\ \%90 % betragen könnte

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Aufgabe 3

Ermittele die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person im Alter von mindestens 141414 Jahren in einer zufällig ausgewählten Woche mehr als 101010 Stunden streamt

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Ermittele mithilfe der Abbildung näherungsweise die Kenngrößen μz\mu_{z}μz​ und σz\sigma_{z}σz​ der Normalverteilung für die Zufallsgröße ZZZ

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie höchstens $40$ Jahre alt ist

Bestimme die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99 %$ mehr als $20$ Personen älter sind als $40$ Jahre

Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bei diesem Ablehnungsbereich der Nullhypothese mehr als $90 %$ betragen könnte

Ermittele die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person im Alter von mindestens $14$ Jahren in einer zufällig ausgewählten Woche mehr als $10$ Stunden streamt

Ermittele mithilfe der Abbildung näherungsweise die Kenngrößen $\mu_{z}$ und $\sigma_{z}$ der Normalverteilung für die Zufallsgröße $Z$