Begründe, dass der Graph von $ff$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist

Der Graph von $ff$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs

Der Funktionsterm enthält nur ungerade Exponenten, d.h. der Graph von $𝑓𝑓$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Alternativ:

$f(-x)=(-x{)}^3-4(-x)=-x^3+4x=-(x^3-4x)=-f(x)f(-x)=\; (-x)^3\; -\; 4(-x)=-x^3+4x=-(x^3\; -\; 4x)=-f(x)$

Aus $f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)$ folgt, dass der Graph von $𝑓𝑓$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

Berechne den Inhalt dieser Fläche

Für die Flächenberechnung werden die Nullstellen der Funktion benötigt.

$0=x(x^2-4)\Rightarrow x_1=00=x(x^2-4)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x\_1=0$ und $x_{\mathrm{2,3}}=\pm 2x\_\{2\{,\}3\}=\backslash pm2$

Im Intervall $[-2;0][-2;0]$ ist $f(x)\ge 0f(x)\backslash geq0$ und wegen der Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs gilt dann:

$A=2\cdot {\displaystyle {\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot {[\frac{1}{4}{x}^4-2x^2]}_{-2}^0=2\cdot (0-(4-8))=8}A=2\backslash cdot\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^0f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=2\backslash cdot\backslash left[\backslash dfrac\{1\}\{4\}x^4-2x^2\backslash right]\_\{-2\}^0=2\backslash cdot(0-(4-8))=8$

Der Inhalt dieser Fläche beträgt $8\text{FE}8\backslash ;\; \backslash text\{FE\}$.