Begründe, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist

Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs

Der Funktionsterm enthält nur ungerade Exponenten, d.h. der Graph von $𝑓$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Alternativ:

$f(-x)=(-x{)}^3-4(-x)=-x^3+4x=-(x^3-4x)=-f(x)$

Aus $f(-x)=-f(x)$ folgt, dass der Graph von $𝑓$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

Berechne den Inhalt dieser Fläche

Für die Flächenberechnung werden die Nullstellen der Funktion benötigt.

$0=x(x^2-4)\Rightarrow x_1=0$ und $x_{\mathrm{2,3}}=\pm 2$

Im Intervall $[-2;0]$ ist $f(x)\ge 0$ und wegen der Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs gilt dann:

$$A=2\cdot {\displaystyle {\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot {[{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-2x^2]}_{-2}^0=2\cdot (0-(4-8))=8}$$

Der Inhalt dieser Fläche beträgt $8\text{FE}$.