Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Gegeben sind der Punkt $P (0 ∣ 0 ∣ 3)$ sowie die Geraden $g: \vec{x}=\overrightarrow{O P}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$ , und $h: \vec{x}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ .

Zeigen Sie, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden, und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ an. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Zeige, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden
Gegeben sind $P (0 ∣ 0 ∣ 3)$ und $g: \vec{x}=\overrightarrow{O P}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$ sowie $h: \vec{x}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$ .
Setze $P$ in $g$ ein $\;\Rightarrow\;g: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$ .
Für Schnittpunkt setze $g = h$ :
$\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}=t \cdot\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix}=t \cdot\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$
Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt: $-2=-t\;\Rightarrow\;t=2$
$t = 2$ eingesetzt in $\mathrm{I}$ folgt: $-4=2\cdot(-2)+r\;\Rightarrow\;r=0$
$t = 2$ und $r = 0$ eingesetzt in $\mathrm{III}$ folgt: $4=2\cdot2+0\cdot 2\;\checkmark$
Das Gleichungssystem hat somit die Lösung $t = 2$ und $r = 0$ , d.h. die Geraden schneiden sich.
Gib die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ an
Setze $r = 0$ in $h$ ein, dann erhält man die Koordinaten des Schnittpunktes.
$\vec{x_S}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}+0 \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$
Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $S (4 ∣ 2 ∣ - 1)$ .
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Teil 1
Setze $P$ in $g$ ein.
Für Schnittpunkt setze $g = h$ und löse das Gleichungssystem.
Teil 2
Setze eine gefundene Lösung in die zugehörende Geradengleichung ein, dann erhält man die Koordinaten des Schnittpunktes.
Der Punkt $R (2 ∣ 1 ∣ 1)$ liegt auf der Gerade $g$ .
Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes $P^{\prime} \neq P$ , der auf der Gerade $g$ liegt und den gleichen Abstand vom Punkt $R$ hat wie der Punkt $P$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung eines Punktes an einer Geraden
Bestimme die Koordinaten eines Punktes $P^{\prime} \neq P$ , der auf der Gerade $g$ liegt und den gleichen Abstand vom Punkt $R$ hat wie der Punkt $P$
Gegeben sind $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$ und der Punkt $R (2 ∣ 1 ∣ 1)$ , der auf der Geraden $g$ liegt.
Berechne $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{O P'}=\overrightarrow{O P}+2 \cdot \overrightarrow{P R}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}$ , also hat der Punkt $P^{'}$ die Koordinaten $P^{\prime}(4|2|-1)$ .
Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung. Sie ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert.
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Berechne $\overrightarrow{PR}$ .
Dann ist $\overrightarrow{O P'}=\overrightarrow{O P}+2 \cdot \overrightarrow{P R}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Zeige, dass sich die Geraden ggg und hhh schneiden

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes SSS an

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Bestimme die Koordinaten eines Punktes P′≠PP^{\prime} \neq PP′=P, der auf der Gerade ggg liegt und den gleichen Abstand vom Punkt RRR hat wie der Punkt PPP

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Zeige, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ an

Bestimme die Koordinaten eines Punktes $P^{\prime} \neq P$ , der auf der Gerade $g$ liegt und den gleichen Abstand vom Punkt $R$ hat wie der Punkt $P$