Teil A: Wahlpflichtteil

1
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_{f}$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ .
Abbildung 1
1. Bestimmen Sie grafisch den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-3}^{-1.5} f(x)\; \mathrm{d} x$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme grafisch den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-3}^{-1.5} f(x)\; \mathrm{d} x$
  Man zählt die Kästchen zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse im Bereich von $- 3$ bis $- 1,5$ . Es sind etwa $8$ Kästchen.
  $4$ Kästchen ergeben eine Einheit, d.h. der Wert des Integrals $\displaystyle\int^{−1{,}5}_{−3} f(x)\;\mathrm{d}x$ ist etwa $2$ .
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  Zähle die Kästchen zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse im Bereich von $- 3$ bis $- 1,5$ .
2. Beschreiben Sie, wie der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u$ mit $u (x) = - f (x) + 2$ aus $G_{f}$ erzeugt werden kann.
  Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $u$ an. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
  Beschreibe, wie der Graph der in $R$ definierten Funktion $u$ mit $𝑢 (𝑥) = - 𝑓 (𝑥) + 2$ aus $𝐺_{𝑓}$ erzeugt werden kann
  $f(x)\xrightarrow{\text{Spiegelung an der x-Achse}}-f(x)\xrightarrow{\text{Verschiebung um 2 in positive y-Richtung}}-f(x)+2$
  Gib die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $𝑢$ an
  Wird der Graph an der x-Achse gespiegelt, dann wird der Hochpunkt $(- 3 ∣ 1,5)$ zum Tiefpunkt und der Tiefpunkt $(0 ∣ 0)$ wird zum Hochpunkt.
  Nun muss der Graph noch um $2$ in positive y-Richtung verschoben werden, sodass der Hochpunkt nun die Koordinaten $(0 ∣ 2)$ hat.
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  Teil 1
  $- f (x)$ entspricht einer Spiegelung an der x-Achse. $+ 2$ verschiebt den Graphen um 2 nach oben.
  Teil 2
  Spiegele den Graphen an der x-Achse und verschiebe ihn um $2$ nach oben. Dann kann man die Koordinaten des Hochpunkts ablesen.
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g$ mit $g(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{x}-2$ und $h$ mit $h(x)=\mathrm{e}^{x}+1$ .
Abbildung 2 zeigt ihre Graphen.
Abbildung 2
1. Die erste Ableitungsfunktion von $g$ wird mit $g^{\prime}$ bezeichnet.
  Berechnen Sie $g^{\prime}(0)$ und veranschaulichen Sie in Abbildung 2, wie man diesen Wert grafisch ermitteln kann. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung und Steigungswinkel
  Berechne $g^{\prime}(0)$
  Gegeben ist $g(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{x}-2$ .
  $g'(x)=2 \cdot \mathrm{e}^{x}\;\Rightarrow\;g'(0)=2\cdot e^0=2$
  Die Ableitung von $g (x)$ an der Stelle $x = 0$ hat den Wert $2$ .
  Veranschauliche in Abbildung 2, wie man diesen Wert grafisch ermitteln kann
  Abbildung 2
  Zeichne im Punkt $(0 ∣ 0)$ die Tangente an den Graphen von $g$ . Zeichne ein Steigungsdreieck ein und lies die Steigung ab.
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  Teil 1
  Berechne $g^{'} (0)$ .
  Teil 2
  Zeichne im Punkt $(0 ∣ 0)$ die Tangente an den Graphen von $g$ .
  Zeichne ein Steigungsdreieck ein und lies die Steigung ab.
2. Beurteilen Sie die folgende Aussage:
  Es gibt eine Verschiebung in $y$ -Richtung, durch die der Graph von $h$ aus dem Graphen von $g$ erzeugt werden kann. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Beurteile die folgende Aussage: Es gibt eine Verschiebung in $y$ -Richtung, durch die der Graph von $h$ aus dem Graphen von $g$ erzeugt werden kann
  Die Aussage ist falsch, da die Steigungen der Graphen von $g$ und $h$ an der Stelle $x = 0$ nicht übereinstimmen:
  $h^{'} (x) = e^{x}$ , also ist $h'(0)=e^0=1\neq 2=g'(0)$ .
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  Betrachte die Steigungen der beiden Graphen an der Stelle $x = 0$ .
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Gegeben sind der Punkt $P (0 ∣ 0 ∣ 3)$ sowie die Geraden $g: \vec{x}=\overrightarrow{O P}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}$ , und $h: \vec{x}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ .
1. Zeigen Sie, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden, und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ an. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
  Zeige, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden
  Gegeben sind $P (0 ∣ 0 ∣ 3)$ und $g: \vec{x}=\overrightarrow{O P}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$ sowie $h: \vec{x}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$ .
  Setze $P$ in $g$ ein $\;\Rightarrow\;g: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$ .
  Für Schnittpunkt setze $g = h$ :
  $\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}=t \cdot\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix}=t \cdot\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}$
  Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt: $-2=-t\;\Rightarrow\;t=2$
  $t = 2$ eingesetzt in $\mathrm{I}$ folgt: $-4=2\cdot(-2)+r\;\Rightarrow\;r=0$
  $t = 2$ und $r = 0$ eingesetzt in $\mathrm{III}$ folgt: $4=2\cdot2+0\cdot 2\;\checkmark$
  Das Gleichungssystem hat somit die Lösung $t = 2$ und $r = 0$ , d.h. die Geraden schneiden sich.
  Gib die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ an
  Setze $r = 0$ in $h$ ein, dann erhält man die Koordinaten des Schnittpunktes.
  $\vec{x_S}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}+0 \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$
  Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich im Punkt $S (4 ∣ 2 ∣ - 1)$ .
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  Teil 1
  Setze $P$ in $g$ ein.
  Für Schnittpunkt setze $g = h$ und löse das Gleichungssystem.
  Teil 2
  Setze eine gefundene Lösung in die zugehörende Geradengleichung ein, dann erhält man die Koordinaten des Schnittpunktes.
2. Der Punkt $R (2 ∣ 1 ∣ 1)$ liegt auf der Gerade $g$ .
  Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes $P^{\prime} \neq P$ , der auf der Gerade $g$ liegt und den gleichen Abstand vom Punkt $R$ hat wie der Punkt $P$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung eines Punktes an einer Geraden
  Bestimme die Koordinaten eines Punktes $P^{\prime} \neq P$ , der auf der Gerade $g$ liegt und den gleichen Abstand vom Punkt $R$ hat wie der Punkt $P$
  Gegeben sind $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$ und der Punkt $R (2 ∣ 1 ∣ 1)$ , der auf der Geraden $g$ liegt.
  Berechne $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$
  
  $\overrightarrow{O P'}=\overrightarrow{O P}+2 \cdot \overrightarrow{P R}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\-1\end{pmatrix}$ , also hat der Punkt $P^{'}$ die Koordinaten $P^{\prime}(4|2|-1)$ .
  Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung. Sie ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert.
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  Berechne $\overrightarrow{PR}$ .
  Dann ist $\overrightarrow{O P'}=\overrightarrow{O P}+2 \cdot \overrightarrow{P R}$ .
4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Punkte $A (1 ∣ 1 ∣ 0), B (4 ∣ 1 ∣ 0)$ , $E (1 ∣ 1 ∣ 4)$ und $H (1 ∣ 7 ∣ 4)$ sind Eckpunkte des in Abbildung 3 dargestellten Quaders $A B C D E F G H$ .
Abbildung 3
1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $G$ an. (1 P)
  
  Gib die Koordinaten des Punktes $G$ an
  $G$ hat dieselbe $x$ -Koordinate wie $B$ , dieselbe $y$ -Koordinate wie $H$ und dieselbe $z$ -Koordinaten wie $H$ .
  Die Koordinaten des Punktes $G$ lauten: $G (4 ∣ 7 ∣ 4)$ .
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  Überlege Dir anhand der gegebenen Koordinaten, welche Koordinaten der Punkt $G$ hat.
2. Der Quader wird parallel zu einer Gerade so verschoben, dass sich der Schnittpunkt seiner Raumdiagonalen im Koordinatenursprung befindet.
  Dabei entsteht der Quader $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime} F^{\prime} G^{\prime} H^{\prime}$ .
  Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $H^{\prime}$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
  Ermittle die Koordinaten des Punktes $H^{'}$
  Für die Koordinatenermittlung von $H^{'}$ wird der Schnittpunkt der beiden Raumdiagonalen des Quaders benötigt.
  Dieser Schnittpunkt $S$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{B H}$ .
  $\overrightarrow{O S}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O H}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\7\\4\end{pmatrix}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix}5\\8\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\4\\2\end{pmatrix}$
  Somit gilt: $S (2,5 ∣ 4 ∣ 2)$ .
  Der Quader wird so verschoben, dass sich der Schnittpunkt seiner Raumdiagonalen $S$ im Koordinatenursprung befindet.
  $\Rightarrow\;\overrightarrow{OH'}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}1\\7\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2{,}5\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1{,}5\\3\\2\end{pmatrix}$
  Die Koordinaten des Punkts $H^{'}$ lauten $(- 1,5 ∣ 3 ∣ 2)$ .
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  Für die Koordinatenermittlung von $H^{'}$ wird der Schnittpunkt der beiden Raumdiagonalen des Quaders benötigt. Dieser Schnittpunkt $S$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{B H}$ . Berechne $S$ .
  Der Quader wird so verschoben, dass sich der Schnittpunkt seiner Raumdiagonalen $S$ im Koordinatenursprung befindet.
  $\overrightarrow{OH'}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OS}$
3. Geben Sie einen Eckpunkt des Quaders $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime} F^{\prime} G^{\prime} H^{\prime}$ an, der nur positive Koordinaten hat. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader
  Gib einen Eckpunkt des Quaders $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ an, der nur positive Koordinaten hat
  Der Punkt $G$ des Quaders wird bei der Verschiebung auf den Punkt $S$ geschoben. $S$ hat die Koordinaten $(2,5 ∣ 4 ∣ 2)$ . Somit hat $G^{'}$ nun die Koordinaten von $S$ , die alle positiv sind.
  Der Punkt $G^{'} (2,5 ∣ 4 ∣ 2)$ ist der gesuchte Eckpunkt.
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  Der Punkt $S$ hat z.B. nur positive Koordinaten. Überlege Dir, welcher Punkt bei der Verschiebung des Quaders auf $S$ fällt.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
In einem Spielwarengeschäft erhält jedes Kind im Rahmen einer Werbeaktion einen kleinen, blickdicht verpackten Ball. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Ball eine Glitzerfärbung hat, beträgt $40 %$ .
1. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von drei Kindern jedes Kind einen Ball mit Glitzerfärbung erhält, kleiner als $10 %$ ist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Zeige, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von drei Kindern jedes Kind einen Ball mit Glitzerfärbung erhält, ist kleiner als $10 %$
  Gegeben ist $p_{\text{Glitzer}}=0{,}4$ .
  Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P (X = 3)$ :
  $P(X=3)=0{,}4^3=0{,}064<0{,}1$
  Damit ist $P(X=3)<10\; \%$ .
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  Berechne $P (X = 3)$ mit $p = 0,4$ und $n = 3$ .
2. Beschreiben Sie in diesem Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4}+4 \cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3} \cdot \dfrac{2}{5}$ berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Beschreiben Sie in diesem Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4}+4 \cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3} \cdot \dfrac{2}{5}$ berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an
  Gegeben ist $p_{\text{Glitzer}}=0{,}4=\dfrac{2}{5}$ .
  Dann ist die Gegenwahrscheinlichkeit $\overline{p}_{\text{Glitzer}}=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$
  Der 1. Term $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4}$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $4$ Kindern keines einen Ball mit Glitzerfärbung erhält.
  Der 2. Term $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{4}$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $4$ Kindern eines einen Ball mit Glitzerfärbung erhält.
  Zufallsexperiment: Vier Kinder erhalten jeweils einen Ball.
  Ereignis: Mindestens drei dieser Bälle haben keine Glitzerfärbung.
  (Oder: Höchstens ein Kind erhält einen Ball mit Glitzerfärbung.)
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  Untersuche getrennt die beiden Teile des angegebenen Terms.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p=\frac{1}{4}$ .
1. Für die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ gilt: $\sigma=\sqrt{3}$ .
  Berechnen Sie $n$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Standardabweichung
  Berechne $n$
  Gegeben: $\sigma=\sqrt{3}$ und $p=\frac{1}{4}$ .
  Es ist $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{n\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}}=\sqrt{3}\;\xrightarrow{\text{quadrieren}}n\cdot\dfrac{3}{16}=3\;\Rightarrow\;n=16$
  Das gesuchte $n$ ist gleich $16$ .
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  Es ist $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$ .
  Setze die gegebenen Werte $\sigma$ und $p$ ein und löse nach $n$ auf.
2. Die folgende Abbildung 4 zeigt die Werte $P_{n ; \frac{1}{4}}(X=k)$ der Zufallsgröße $X$ im Bereich von $k = 3$ bis $k = 5$ ; Abbildung 5 zeigt kumulierte Werte $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq k)$ der Zufallsgröße $X$ im Bereich von $k = 3$ bis $k = 5$ .
  In Abbildung 5 fehlt der Wert $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)$ . (3 P)
  Ermitteln Sie näherungsweise $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)$ und vervollständigen Sie Abbildung 5.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kumulierte Wahrscheinlichkeit
  Ermittele näherungsweise $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)$
  Abbildung 4 entnimmt man $P_{n ; \frac{1}{4}}(X = 4)\approx 0{,}23$ .
  Abbildung 5 entnimmt man $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 3)\approx 0{,}40$ .
  Dann folgt für $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)=P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 3)+P_{n ; \frac{1}{4}}(X=4) \approx 0{,}40+0{,}23=0{,}63$ .
  Näherungsweise beträgt $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)\approx0{,}63$ .
  Vervollständige Abbildung 5
  Der Wert $0,63$ wird für $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)$ in die Abbildung 5 eingezeichnet.
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  Teil 1
  Abbildung 4 entnimmt man $P_{n ; \frac{1}{4}}(X = 4)$ und Abbildung 5 entnimmt man $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 3)$ .
  Dann gilt: $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)=P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 3)+P_{n ; \frac{1}{4}}(X=4)$ .
  Teil 2
  Der berechnete Wert wird für $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)$ in die Abbildung 5 eingezeichnet.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil A: Wahlpflichtteil

Aufgabe 1

Bestimme grafisch den Wert des Integrals ∫−3−1.5f(x) dx\displaystyle\int_{-3}^{-1.5} f(x)\; \mathrm{d} x∫−3−1.5​f(x)dx

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Beschreibe, wie der Graph der in R\RR definierten Funktion uuu mit 𝑢(𝑥)=−𝑓(𝑥)+2𝑢(𝑥) = −𝑓(𝑥) + 2u(x)=−f(x)+2 aus 𝐺𝑓𝐺_𝑓Gf​ erzeugt werden kann

Gib die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von 𝑢𝑢u an

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Aufgabe 2

Berechne g′(0)g^{\prime}(0)g′(0)

Veranschauliche in Abbildung 2, wie man diesen Wert grafisch ermitteln kann

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Beurteile die folgende Aussage: Es gibt eine Verschiebung in yyy-Richtung, durch die der Graph von hhh aus dem Graphen von ggg erzeugt werden kann

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Aufgabe 3

Zeige, dass sich die Geraden ggg und hhh schneiden

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes SSS an

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Bestimme die Koordinaten eines Punktes P′≠PP^{\prime} \neq PP′=P, der auf der Gerade ggg liegt und den gleichen Abstand vom Punkt RRR hat wie der Punkt PPP

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Aufgabe 4

Gib die Koordinaten des Punktes GGG an

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Ermittle die Koordinaten des Punktes H′H'H′

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Gib einen Eckpunkt des Quaders A′B′C′D′E′F′G′H′A'B'C'D'E'F'G'H'A′B′C′D′E′F′G′H′ an, der nur positive Koordinaten hat

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Aufgabe 5

Zeige, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von drei Kindern jedes Kind einen Ball mit Glitzerfärbung erhält, ist kleiner als 10 %10\; \%10%

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Aufgabe 6

Berechne nnn

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Ermittele näherungsweise Pn;14(X≤4)P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)Pn;41​​(X≤4)

Vervollständige Abbildung 5

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Bestimme grafisch den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-3}^{-1.5} f(x)\; \mathrm{d} x$

Beschreibe, wie der Graph der in $R$ definierten Funktion $u$ mit $𝑢 (𝑥) = - 𝑓 (𝑥) + 2$ aus $𝐺_{𝑓}$ erzeugt werden kann

Gib die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $𝑢$ an

Berechne $g^{\prime}(0)$

Beurteile die folgende Aussage: Es gibt eine Verschiebung in $y$ -Richtung, durch die der Graph von $h$ aus dem Graphen von $g$ erzeugt werden kann

Zeige, dass sich die Geraden $g$ und $h$ schneiden

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ an

Bestimme die Koordinaten eines Punktes $P^{\prime} \neq P$ , der auf der Gerade $g$ liegt und den gleichen Abstand vom Punkt $R$ hat wie der Punkt $P$

Gib die Koordinaten des Punktes $G$ an

Ermittle die Koordinaten des Punktes $H^{'}$

Gib einen Eckpunkt des Quaders $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'} G^{'} H^{'}$ an, der nur positive Koordinaten hat

Zeige, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von drei Kindern jedes Kind einen Ball mit Glitzerfärbung erhält, ist kleiner als $10 %$

Berechne $n$

Ermittele näherungsweise $P_{n ; \frac{1}{4}}(X \leq 4)$