Gib die Koordinaten des Punktes $GG$ an

$GG$ hat dieselbe $xx$-Koordinate wie $BB$, dieselbe $yy$-Koordinate wie $HH$ und dieselbe $zz$-Koordinaten wie $HH$.

Die Koordinaten des Punktes $GG$ lauten: $G(4\mathrm{\mid }7\mathrm{\mid }4)G(4|7|4)$.

Ermittle die Koordinaten des Punktes $H^{\mathrm{\prime }}H\text{'}$

Für die Koordinatenermittlung von $H^{\mathrm{\prime }}H\text{'}$ wird der Schnittpunkt der beiden Raumdiagonalen des Quaders benötigt.

Dieser Schnittpunkt $SS$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BH}\backslash overline\{B\; H\}$.

$\overrightarrow{OS}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OH})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 4\end{array}\right))={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 8\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,5}\\ 4\\ 2\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{O\; S\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash left(\backslash overrightarrow\{O\; B\}+\backslash overrightarrow\{O\; H\}\backslash right)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash left(\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 1\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}+\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 7\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}5\backslash \backslash 8\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}2\{,\}5\backslash \backslash 4\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

Somit gilt: $S(\mathrm{2,5}\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }2)S(2\{,\}5|4|\; 2)$.

Der Quader wird so verschoben, dass sich der Schnittpunkt seiner Raumdiagonalen $SS$ im Koordinatenursprung befindet.

$\Rightarrow \overrightarrow{O{H}^{\mathrm{\prime }}}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OS}=\left(\begin{array}{c}1\\ 7\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,5}\\ 4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,5}\\ 3\\ 2\end{array}\right)\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash overrightarrow\{OH\text{'}\}=\backslash overrightarrow\{OH\}-\backslash overrightarrow\{OS\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 7\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}2\{,\}5\backslash \backslash 4\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}-1\{,\}5\backslash \backslash 3\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$

Die Koordinaten des Punkts $H^{\mathrm{\prime }}H\text{'}$ lauten $(-\mathrm{1,5}\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }2)(-1\{,\}5|3|2)$.

Gib einen Eckpunkt des Quaders $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}{E}^{\mathrm{\prime }}{F}^{\mathrm{\prime }}{G}^{\mathrm{\prime }}{H}^{\mathrm{\prime }}A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}F\text{'}G\text{'}H\text{'}$ an, der nur positive Koordinaten hat

Der Punkt $GG$ des Quaders wird bei der Verschiebung auf den Punkt $SS$ geschoben. $SS$ hat die Koordinaten $(\mathrm{2,5}\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }2)(2\{,\}5|4|2)$. Somit hat $G^{\mathrm{\prime }}G\text{'}$ nun die Koordinaten von $SS$, die alle positiv sind.

Der Punkt $G^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{2,5}\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }2)G\text{'}(2\{,\}5|4|2)$ ist der gesuchte Eckpunkt.