Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p = \frac{1}{4}$ .

Für die Standardabweichung $σ$ von $X$ gilt: $σ = \sqrt{3}$ .
Berechnen Sie $n$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Standardabweichung
Berechne $n$
Gegeben: $σ = \sqrt{3}$ und $p = \frac{1}{4}$ .
Es ist $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{n \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{3} \overset{\overset{}{quadrieren}}{\to} n \cdot \frac{3}{16} = 3 \Rightarrow n = 16$
Das gesuchte $n$ ist gleich $16$ .
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Es ist $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ .
Setze die gegebenen Werte $σ$ und $p$ ein und löse nach $n$ auf.
Die folgende Abbildung 4 zeigt die Werte $P_{n; \frac{1}{4}} (X = k)$ der Zufallsgröße $X$ im Bereich von $k = 3$ bis $k = 5$ ; Abbildung 5 zeigt kumulierte Werte $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq k)$ der Zufallsgröße $X$ im Bereich von $k = 3$ bis $k = 5$ .
In Abbildung 5 fehlt der Wert $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 4)$ . (3 P)
Ermitteln Sie näherungsweise $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 4)$ und vervollständigen Sie Abbildung 5.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kumulierte Wahrscheinlichkeit
Ermittele näherungsweise $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 4)$
Abbildung 4 entnimmt man $P_{n; \frac{1}{4}} (X = 4) \approx 0,23$ .
Abbildung 5 entnimmt man $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 3) \approx 0,40$ .
Dann folgt für $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 4) = P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 3) + P_{n; \frac{1}{4}} (X = 4) \approx 0,40 + 0,23 = 0,63$ .
Näherungsweise beträgt $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 4) \approx 0,63$ .
Vervollständige Abbildung 5
Der Wert $0,63$ wird für $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 4)$ in die Abbildung 5 eingezeichnet.
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Teil 1
Abbildung 4 entnimmt man $P_{n; \frac{1}{4}} (X = 4)$ und Abbildung 5 entnimmt man $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 3)$ .
Dann gilt: $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 4) = P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 3) + P_{n; \frac{1}{4}} (X = 4)$ .
Teil 2
Der berechnete Wert wird für $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 4)$ in die Abbildung 5 eingezeichnet.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 6

Berechne n

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Ermittele näherungsweise Pn;14(X≤4)

Vervollständige Abbildung 5

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Berechne $n$

Ermittele näherungsweise $P_{n; \frac{1}{4}} (X \leq 4)$