Teil B: Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $h$ mit $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ . Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist
Gegeben ist $h (x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{x}$ .
Es gilt: Für alle $x \in ℝ$ ist $e^{x} > 0$ .
$h (x)$ ist also genau dann positiv, wenn $(1 - x^{2}) > 0$ ist, also nur für $- 1 < x < 1$ .
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Betrachte den Term $1 - x^{2}$ .
Für welche Werte von $x$ ist dieser Term positiv?
Die Gerade $u$ ist die Tangente an $G_{h}$ im Punkt $P (0 | 1)$ .
Es gibt einen weiteren Punkt $Q$ auf $G_{h}$ , in dem die Tangente $v$ an $G_{h}$ zu $u$ parallel ist.
Bestimmen Sie die x-Koordinate von $Q$ gerundet auf zwei Nachkommastellen. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Bestimme die x-Koordinate von $Q$ gerundet auf zwei Nachkommastellen
Bekannt ist: "Die Gerade $u$ ist die Tangente an $G_{h}$ im Punkt $P (0 | 1)$ .
Es gibt einen weiteren Punkt $Q$ auf $G_{h}$ , in dem die Tangente $v$ an $G_{h}$ zu $u$ parallel ist."
Berechne $h^{'} (x)$ :
$h^{'} (x) = e^{x} (- x^{2} - 2 x + 1)$
Im Punkt $P (0 | 1)$ ist $h^{'} (0) = 1 \Rightarrow$ die Gerade $u$ hat die Steigung $m_{u} = 1$ .
Für die parallele Tangente $v$ muss $m_{v} = m_{u}$ gelten.
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 1$ :
Die einzige weitere Lösung der Gleichung $h^{'} (x) = 1$ und damit die gesuchte Koordinate hat gerundet auf zwei Nachkommastellen den Wert $- 0,62$ .
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Berechne $h^{'} (0)$ . Die Gerade $u$ hat die Steigung $m_{u} = h^{'} (0)$ .
Für die parallele Tangente $v$ muss $m_{v} = m_{u}$ gelten.
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = h^{'} (0)$ .
Berechnen Sie die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.
In einem der Wendepunkte von $G_{h}$ ist die Steigung von $G_{h}$ maximal.
Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden
Löse die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ .
Die Lösungen der Gleichung $h^{''} (x) = 0$ sind $x_{1} = - \sqrt{3} - 2 \approx - 3,73$ und $x_{2} = \sqrt{3} - 2 \approx - 0,27$ .
Wenn $h^{''} (x_{0}) = 0$ ist und zusätzlich $h^{'''} (x_{0}) \neq 0$ gilt, dann besitzt $h$ an der Stelle $x_{0}$ einen Wendepunkt.
Berechne $h^{'''} (x_{1})$ und $h^{'''} (x_{2})$ :
Da $h^{'''} (x_{1}) \approx 0,08 > 0$ und $h^{'''} (x_{2}) \approx - 2,65 < 0$ , liegen bei $x_{1}$ und $x_{2}$ jeweils Wendestellen vor.
Berechne den Wert der maximalen Steigung in einem der Wendepunkte von $G_{h}$
Für ein Maximum gilt allgemein: $h^{'} (x_{M}) = 0$ und $h^{''} (x_{M}) < 0$ .
Die betrachtete Funktion ist hier $h^{'} (x)$ .
Für ein Maximum der Steigung ergibt sich dann die folgende Bedingung: $h^{''} (x_{M}) = 0$ und $h^{'''} (x_{M}) < 0$ .
Berechnet wurde bereits $h^{'''} (\sqrt{3} - 2) \approx - 2,65$ .
Wegen $h^{'''} (\sqrt{3} - 2) < 0$ muss bei $x_{2}$ ein Hochpunkt des Graphen der Steigung $h^{'} (x)$ vorliegen, analog hat der Graph $h^{'}$ bei $x_{1}$ einen Tiefpunkt.
Berechne $h^{'} (\sqrt{3} - 2)$ :
Der Wert der maximalen Steigung von $G_{h}$ in dem Wendepunkt mit der x-Koordinate $x_{2} = \sqrt{3} - 2$ , beträgt rund $1,12$ .
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Teil 1
Löse die Gleichung $h^{''} (x) = 0$ . $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$
Überprüfe $h^{'''} (x_{1})$ und $h^{'''} (x_{2})$ .
Teil 2
Für ein Maximum der Steigung ergibt sich die folgende Bedingung: $h^{''} (x_{M}) = 0$ und $h^{'''} (x_{M}) < 0$ .
Vergleiche mit den Ergebnissen für $h^{'''} (x)$ aus Teil 1.
(i) Der globale Hochpunkt $H$ von $G_{h}$ liegt im Intervall $[0; 1]$ .
Geben Sie seine Koordinaten an. (2 P)
(ii) $G_{h}$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche $A$ ein. Die Gerade $k$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch $H$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat.
(4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes $H$ von $G_{h}$ an
Es ist $h^{'} (x) = e^{x} (- x^{2} - 2 x + 1)$ .
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 0$ :
Der CAS-Rechner liefert die beiden Lösungen $x_{1} = - \sqrt{2} - 1$ und $x_{2} = \sqrt{2} - 1$ .
Berechne $h^{''} (- \sqrt{2} - 1) \approx 0,25 > 0 \Rightarrow$ TP an der Stelle $x_{1}$ .
Berechne $h^{''} (\sqrt{2} - 1) \approx - 4,28 < 0 \Rightarrow$ HP an der Stelle $x_{2}$ .
Berechne $h (x_{2}) = (2 \cdot \sqrt{2} - 2) \cdot e^{\sqrt{2} - 1}$
Dann hat der Hochpunkt die Koordinaten: $H P (\sqrt{2} - 1 | (2 \cdot \sqrt{2} - 2) \cdot e^{\sqrt{2} - 1}) \approx H P (0,414 | 1,254)$ .
(ii)Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat
Für die Nullstellen von $h$ gilt: $h (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ oder $x = 1$ .
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\int_{- 1}^{1} h (x) d x$ .
Die beiden Flächen $A_{1}$ und $A_{2}$
Zur Veranschaulichung wurde die obige Zeichnung angefertigt.
Man erkennt, dass die größere Fläche die Fläche $A_{2}$ ist.
Dies kann auch berechnet werden:
$A = \int_{- 1}^{1} h (x) d x \approx 1,47$
$A_{2} = \int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x \approx 0,95$
$A_{1} = A - A_{2} = 1,47 - 0,95 = 0,52 \Rightarrow$ die größere Fläche ist die Fläche $A_{2}$ .
Gesucht ist also das Verhältnis $\frac{A_{2}}{A}$ :
$\frac{A_{2}}{A} = \frac{\int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x}{\int_{- 1}^{1} h (x) d x} \approx 0,647$
Der Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat, beträgt rund $64,7 %$ .
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(i)
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 0$ . $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$
Berechne $h^{''} (x_{1})$ und $h^{''} (x_{2})$ und entscheide, an welche Stelle ein Hochpunkt liegt.
Berechne $h (x_{1} oder x_{2})$ und gib die Koordinaten des Hochpunktes an.
(ii)
Berechne die Flächen $A = \int_{- 1}^{1} h (x) d x$ und $A_{2} = \int_{- 1}^{- 1 + \sqrt{2}} h (x) d x$ und entscheide, welche der beiden Teilflächen $A_{1}$ oder $A_{2}$ die größere ist.
Berechne dann $\frac{A_{größere}}{A}$ .
Für $0 < w < 1$ wird das Dreieck mit den Eckpunkten $(0 | 0), (w | 0)$ und $(w | h (w))$ betrachtet. Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.
Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden
Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot (1 - w^{2}) \cdot e^{w}$ .
Löse die Gleichung $i^{'} (w) = 0$ .
Die Gleichung $i^{'} (w) = 0$ hat für $0 < w < 1$ nur die Lösung $w_{1}$ mit $w_{1} \approx 0,68$ .
Berechne $i^{''} (0,68)$ :
Wegen $i^{''} (0,68) \approx - 4,43 < 0$ liegt dort als einzige Extremstelle im Bereich $0 < w < 1$ das absolute Maximum vor.
Berechne $i (0,68)$ :
Aus $i (0,68) \approx 0,36$ folgt:
Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa $0,36 FE$ .
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i (w) = \frac{1}{2} \cdot w \cdot h (w)$ .
Für die Bestimmung des Extremums löse die Gleichung $i^{'} (w) = 0$ . Diese Gleichung hat für $0 < w < 1$ nur die Lösung $w_{1}$ .
Für den Nachweis des Maximums berechne $i^{''} (w_{1})$ .
Der maximale Flächeninhalt ist dann $i (w_{1})$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x) nur für −1<x<1 positiv ist

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Bestimme die x-Koordinate von Q gerundet auf zwei Nachkommastellen

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Berechne die Wendestellen von h, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Berechne den Wert der maximalen Steigung in einem der Wendepunkte von Gh

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(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes H von Gh an

(ii)Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche A hat

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Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

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Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist

Bestimme die x-Koordinate von $Q$ gerundet auf zwei Nachkommastellen

Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Berechne den Wert der maximalen Steigung in einem der Wendepunkte von $G_{h}$

(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes $H$ von $G_{h}$ an

(ii)Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat