Teil B: Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ . Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist
Gegeben ist $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Es gilt: Für alle $x \in \mathbb{R}$ ist $\mathrm{e}^{x}>0$ .
$h (x)$ ist also genau dann positiv, wenn $\left(1-x^{2}\right)>0$ ist, also nur für $- 1 < x < 1$ .
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Betrachte den Term $1 - x^{2}$ .
Für welche Werte von $x$ ist dieser Term positiv?
Die Gerade $u$ ist die Tangente an $G_{h}$ im Punkt $P(0 \mid 1)$ .
Es gibt einen weiteren Punkt $Q$ auf $G_{h}$ , in dem die Tangente $v$ an $G_{h}$ zu $u$ parallel ist.
Bestimmen Sie die x-Koordinate von $Q$ gerundet auf zwei Nachkommastellen. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Bestimme die x-Koordinate von $Q$ gerundet auf zwei Nachkommastellen
Bekannt ist: "Die Gerade $u$ ist die Tangente an $G_{h}$ im Punkt $P(0 \mid 1)$ .
Es gibt einen weiteren Punkt $Q$ auf $G_{h}$ , in dem die Tangente $v$ an $G_{h}$ zu $u$ parallel ist."
Berechne $h^{'} (x)$ :
$h^{'} (x) = e^{x} (- x^{2} - 2 x + 1)$
Im Punkt $P(0 \mid 1)$ ist $h'(0)=1\;\Rightarrow\;$ die Gerade $u$ hat die Steigung $m_{u}=1$ .
Für die parallele Tangente $v$ muss $m_{v}=m_{u}$ gelten.
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 1$ :
Die einzige weitere Lösung der Gleichung $h^{\prime}(x)=1$ und damit die gesuchte Koordinate hat gerundet auf zwei Nachkommastellen den Wert $- 0,62$ .
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Berechne $h^{'} (0)$ . Die Gerade $u$ hat die Steigung $m_{u}=h'(0)$ .
Für die parallele Tangente $v$ muss $m_{v}=m_{u}$ gelten.
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = h^{'} (0)$ .
Berechnen Sie die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden.
In einem der Wendepunkte von $G_{h}$ ist die Steigung von $G_{h}$ maximal.
Berechnen Sie den Wert der maximalen Steigung. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden
Löse die Gleichung $h^{\prime \prime}(x)=0$ .
Die Lösungen der Gleichung $h^{\prime \prime}(x)=0$ sind $x_{1}=-\sqrt{3}-2 \approx-3{,}73$ und $x_{2}=\sqrt{3}-2 \approx-0{,}27$ .
Wenn $h^{''} (x_{0}) = 0$ ist und zusätzlich $h'''(x_0)\neq 0$ gilt, dann besitzt $h$ an der Stelle $x_{0}$ einen Wendepunkt.
Berechne $h^{'''} (x_{1})$ und $h^{'''} (x_{2})$ :
Da $h'''(x_1)\approx 0{,}08>0$ und $h'''(x_2) \approx-2{,}65<0$ , liegen bei $x_{1}$ und $x_{2}$ jeweils Wendestellen vor.
Berechne den Wert der maximalen Steigung in einem der Wendepunkte von $G_{h}$
Für ein Maximum gilt allgemein: $h^{'} (x_{M}) = 0$ und $h^{''} (x_{M}) < 0$ .
Die betrachtete Funktion ist hier $h^{'} (x)$ .
Für ein Maximum der Steigung ergibt sich dann die folgende Bedingung: $h^{''} (x_{M}) = 0$ und $h^{'''} (x_{M}) < 0$ .
Berechnet wurde bereits $h'''(\sqrt{3}-2)\approx-2{,}65$ .
Wegen $h'''(\sqrt{3}-2)<0$ muss bei $x_{2}$ ein Hochpunkt des Graphen der Steigung $h^{'} (x)$ vorliegen, analog hat der Graph $h^{'}$ bei $x_{1}$ einen Tiefpunkt.
Berechne $h'(\sqrt{3}-2)$ :
Der Wert der maximalen Steigung von $G_{h}$ in dem Wendepunkt mit der x-Koordinate $x_{2}=\sqrt{3}-2$ , beträgt rund $1,12$ .
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Teil 1
Löse die Gleichung $h^{\prime \prime}(x)=0$ . $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
Überprüfe $h^{'''} (x_{1})$ und $h^{'''} (x_{2})$ .
Teil 2
Für ein Maximum der Steigung ergibt sich die folgende Bedingung: $h^{''} (x_{M}) = 0$ und $h^{'''} (x_{M}) < 0$ .
Vergleiche mit den Ergebnissen für $h^{'''} (x)$ aus Teil 1.
(i) Der globale Hochpunkt $H$ von $G_{h}$ liegt im Intervall $[0; 1]$ .
Geben Sie seine Koordinaten an. (2 P)
(ii) $G_{h}$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche $A$ ein. Die Gerade $k$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch $H$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat.
(4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes $H$ von $G_{h}$ an
Es ist $h^{'} (x) = e^{x} (- x^{2} - 2 x + 1)$ .
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 0$ :
Der CAS-Rechner liefert die beiden Lösungen $x_1=-\sqrt{2}-1$ und $x_2=\sqrt{2}-1$ .
Berechne $h''(-\sqrt{2}-1)\approx0{,}25>0\;\Rightarrow\;$ TP an der Stelle $x_{1}$ .
Berechne $h''(\sqrt{2}-1)\approx-4{,}28<0\;\Rightarrow\;$ HP an der Stelle $x_{2}$ .
Berechne $h(x_2)=(2 \cdot \sqrt{2}-2) \cdot \mathrm{e}^{\sqrt{2}-1}$
Dann hat der Hochpunkt die Koordinaten: $HP\left(\sqrt{2}-1 \mid(2 \cdot \sqrt{2}-2) \cdot \mathrm{e}^{\sqrt{2}-1}\right) \approx HP(0{,}414 \mid 1{,}254)$ .
(ii)Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat
Für die Nullstellen von $h$ gilt: $h(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$ oder $x = 1$ .
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x)\; \mathrm{d} x$ .
Die beiden Flächen $A_{1}$ und $A_{2}$
Zur Veranschaulichung wurde die obige Zeichnung angefertigt.
Man erkennt, dass die größere Fläche die Fläche $A_{2}$ ist.
Dies kann auch berechnet werden:
$A=\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x) \;\mathrm{d} x\approx1{,}47$
$A_2=\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x\approx0{,}95$
$A_1=A-A_2=1{,}47-0{,}95=0{,}52\;\Rightarrow\;$ die größere Fläche ist die Fläche $A_{2}$ .
Gesucht ist also das Verhältnis $\dfrac{A_2}{A}$ :
$\dfrac{A_2}{A}=\frac{\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x}{\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x) \;\mathrm{d} x} \approx 0{,}647$
Der Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat, beträgt rund $64{,}7\ \%$ .
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(i)
Löse die Gleichung $h^{'} (x) = 0$ . $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
Berechne $h^{''} (x_{1})$ und $h^{''} (x_{2})$ und entscheide, an welche Stelle ein Hochpunkt liegt.
Berechne $h(x_1 \;\text{oder}\;x_2)$ und gib die Koordinaten des Hochpunktes an.
(ii)
Berechne die Flächen $A=\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x) \;\mathrm{d} x$ und $A_2=\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x$ und entscheide, welche der beiden Teilflächen $A_{1}$ oder $A_{2}$ die größere ist.
Berechne dann $\dfrac{A_{\text{größere}}}{A}$ .
Für $0 < w < 1$ wird das Dreieck mit den Eckpunkten $(0 \mid 0),(w \mid 0)$ und $(w \mid h(w))$ betrachtet. Für einen Wert von $w$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks maximal.
Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden
Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i(w)=\frac{1}{2} \cdot w \cdot h(w)=\frac{1}{2} \cdot w \cdot \left(1-w^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{w}$ .
Löse die Gleichung $i^{\prime}(w)=0$ .
Die Gleichung $i^{\prime}(w)=0$ hat für $0 < w < 1$ nur die Lösung $w_{1}$ mit $w_{1} \approx 0{,}68$ .
Berechne $i^{''} (0,68)$ :
Wegen $i^{\prime \prime}\left(0{,}68\right) \approx-4{,}43<0$ liegt dort als einzige Extremstelle im Bereich $0 < w < 1$ das absolute Maximum vor.
Berechne $i (0,68)$ :
Aus $i\left(0{,}68\right) \approx 0{,}36$ folgt:
Der maximale Flächeninhalt beträgt etwa $0{,}36\;\text{FE}$ .
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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Der Flächeninhalt berechnet sich für $0 < w < 1$ mittels der Funktion $i$ mit $i(w)=\frac{1}{2} \cdot w \cdot h(w)$ .
Für die Bestimmung des Extremums löse die Gleichung $i^{\prime}(w)=0$ . Diese Gleichung hat für $0 < w < 1$ nur die Lösung $w_{1}$ .
Für den Nachweis des Maximums berechne $i^{''} (w_{1})$ .
Der maximale Flächeninhalt ist dann $i (w_{1})$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert h(x)h(x)h(x) nur für −1<x<1-1<x<1−1<x<1 positiv ist

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Bestimme die x-Koordinate von QQQ gerundet auf zwei Nachkommastellen

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Berechne die Wendestellen von hhh, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Berechne den Wert der maximalen Steigung in einem der Wendepunkte von GhG_{h}Gh​

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(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes HHH von GhG_{h}Gh​ an

(ii)Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche AAA hat

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Berechne den maximalen Flächeninhalt, ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

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Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Funktionswert $h (x)$ nur für $- 1 < x < 1$ positiv ist

Bestimme die x-Koordinate von $Q$ gerundet auf zwei Nachkommastellen

Berechne die Wendestellen von $h$ , ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden

Berechne den Wert der maximalen Steigung in einem der Wendepunkte von $G_{h}$

(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes $H$ von $G_{h}$ an

(ii)Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat