B4 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Füllmenge der Flaschen soll als normalverteilt mit einem Erwartungswert von $600,5$ ml und einer Standardabweichung von $0,23$ ml angenommen werden.

Eine Flasche wird zufällig ausgewählt.
Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
A: „Die Flasche enthält mehr als 601 ml Öl.“
B: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0,5$ ml vom Erwartungswert ab.“
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
$A$ : „Die Flasche enthält mehr als $601 \mathrm{~ml}$ Öl.“
$X$ : Füllmenge in $\mathrm{ml}$
Normalverteilung mit $\mu=600{,}5\; \mathrm{ml}$ und $\sigma=0{,}23\; \mathrm{ml}$
Gesucht ist: $P(X>601)=\text{normCdf}(601,\infty,600.5, 0.23)\approx0{,}0148558$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche mehr als $601\; \mathrm{ml}$ Öl enthält, beträgt rund $1,5 %$ .
$B$ : „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\; \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert ab.“
Es ist $\mu-0{,}5=600$ und $\mu+0{,}5=601$
Berechne: $P(600\leq X\leq601)=\text{normCdf}(600, 601, 600.5, 0.23)\approx0{,}9702884$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge der Flasche um höchstens $0{,}5\; \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert abweicht, beträgt etwa $97 %$ .
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A: Berechne $P(X>601)=\text{normCdf}(601,\infty,600.5, 0.23)$ .
B: Berechne $P(600\leq X\leq601)=\text{normCdf}(600, 601, 600.5, 0.23)$ .
Die Füllmenge einer Flasche ist nie negativ. Die Normalverteilung, die zur Beschreibung der Füllmenge der Flaschen verwendet wird, ist jedoch auch für negative reelle Zahlen definiert und nimmt dabei ausschließlich positive Werte an.
Begründen Sie, dass die Verwendung der Normalverteilung dennoch sinnvoll ist.
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Begründe, dass die Verwendung der Normalverteilung dennoch sinnvoll ist
Die Wahrscheinlichkeit, die die verwendete Normalverteilung für negative Füllmengen liefert, ist so gering, dass sie im Sachzusammenhang vernachlässigt werden kann $\left(P_{600{,}5 ; 0{,}23}(X<0) \approx 0\right)$ .
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Zeige, dass $P_{600{,}5 ; 0{,}23}(X<0)$ ungefähr gleich null ist.
Das Unternehmen möchte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600$ ml Öl enthält, verringern. Für die nötige Änderung der Maschine, die die Flaschen befüllt, gibt es zwei Vorschläge:
Vorschlag 1： Die eingestellte Füllmenge von $600,5$ ml wird erhöht.
Vorschlag 2: Die Genauigkeit, mit der die eingestellte Füllmenge von $600,5$ ml erreicht wird, wird erhöht.
Die eingestellte Füllmenge entspricht stets dem Erwartungswert der Zufallsgröße.
Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, die vor der Änderung der Maschine die Füllmenge der Flaschen beschreibt.
Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen einer Dichtefunktion, die sich aus dem Vorschlag 1 ergeben könnte, und in Abbildung 2 den Graphen einer Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt.
Begründen Sie für jeden Vorschlag mithilfe des skizzierten Graphen, dass damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird. (6 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Vorschlag 1:
Der Erwartungswert der Verteilung muss größer werden, d.h. die Verteilung rutscht nach rechts. Die Form der Verteilung ändert sich nicht, d.h. die Genauigkeit der Abfüllung bleibt unverändert.
Vorschlag 2:
Hier muss der Erwartungswert beibehalten werden. Die Streuung um den Erwartungswert soll aber kleiner sein, d.h. der Graph wird etwas "schlanker". Dafür muss aber das Maximum größer werden, denn die Fläche unter dem Graphen muss weiterhin den Wert $1$ haben.
Begründung für Vorschlag 1, damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird
Wie kann man am Graphen erkennen, wie wahrscheinlich es ist, dass die Flasche weniger als $600\; \mathrm{ml}$ Öl enthält?
Man findet diese Wahrscheinlichkeit als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall von minus unendlich bis $600$ .
Diese Fläche ist beim ursprünglichen Graphen größer als bei dem nach rechts verschobenen Graphen. In der Abbildung 1 ist die Fläche schwarz markiert, um die der ursprüngliche Graph in dem angegebenen Intervall größer ist.
Mit anderen Worten: Vorschlag 1 führt durch die Verschiebung in positive 𝑥-Richtung zu einer Verkleinerung dieser Fläche.
Der Vorschlag eignet sich dafür, dass die Firma ihr Ziel erreicht.
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Vorschlag 1:
Der Erwartungswert der Verteilung muss größer werden, d.h. die Verteilung rutscht nach rechts. Die Form der Verteilung ändert sich nicht.
Vorschlag 2:
Der Erwartungswert wird beibehalten. Die Streuung um den Erwartungswert soll aber kleiner sein, d.h. der Graph wird etwas "schlanker". Dafür muss aber das Maximum größer werden, denn die Fläche unter dem Graphen muss weiterhin den Wert $1$ haben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Flasche weniger als $600\; \mathrm{ml}$ Öl enthält, entspricht der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse in Intervall $]-\infty; 600]$ . Vorschlag 1 führt durch die Verschiebung in positive 𝑥-Richtung zu einer Verkleinerung dieser Fläche.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

AAA : „Die Flasche enthält mehr als 601 ml601 \mathrm{~ml}601 ml Öl.“

BBB : „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um 0,5 ml0{,}5\; \mathrm{ml}0,5ml vom Erwartungswert ab.“

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Begründe, dass die Verwendung der Normalverteilung dennoch sinnvoll ist

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Begründung für Vorschlag 1, damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird

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$A$ : „Die Flasche enthält mehr als $601 \mathrm{~ml}$ Öl.“

$B$ : „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\; \mathrm{ml}$ vom Erwartungswert ab.“