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Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}, x \in \mathbb{R}$ .

Für ein $z$ mit $\frac{2}{3}<z<\frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ . Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \geq z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 0,9$ .

Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$ -Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat:

I: $\quad t(z)=f(z)$

II: $\quad t^{\prime}(z)=f^{\prime}(z)$

III: $\displaystyle\int_{0}^{z} f(x)\; \mathrm{d} x+\int_{z}^{c} t(x)\; \mathrm{d} x=4$ , wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(i) Begründen Sie die Wahl der Bedingungen I und II. (2 P)
(ii) Erläutern Sie die linke Seite der Gleichung in Bedingung III. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
(i) Begründe die Wahl der Bedingungen I und II
Die Bedingungen I und II stellen sicher, dass es sich bei der Funktion $t$ um die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $R$ handelt bzw. dass der Übergang „knickfrei“ erfolgt.
(ii) Erläutere die linke Seite der Gleichung in Bedingung III
Mit dem ersten Integral wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[0; z]$ berechnet.
Mit dem zweiten Integral wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $t$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[z; c]$ berechnet, wobei $c$ die Nullstelle der Funktion $t$ ist.
Die Addition der beiden Integrale ergibt den Flächeninhalt der in der Aufgabe beschriebenen Fläche.
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(i)
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit $t$ Tangente an f ist?
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit der Übergang zwischen $f$ und $t$ „knickfrei“ erfolgt?
(ii)
Es werden zwei Flächen berechnet.
Um welche Flächen handelt es sich?
Wie groß ist die Gesamtfläche?
Aus den Bedingungen folgt $z \approx 0{,}9428$ . [Nachweis nicht erforderlich.]
(i) Bestimmen Sie für $z = 0,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist. (3 P)
(ii) Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion $t$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
(i) Bestimme für $z = 0,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist
Gegeben ist $z = 0,9428$ .
Dann ist $f^{\prime}(0{,}9428) \approx-0{,}9063$ und $f(0{,}9428) \approx 2{,}0629$ .
Für die allgemeine Tangentengleichung gilt:
$y = f^{'} (z) \cdot (x - z) + f (z) y = f ' ( z ) ⋅ ( x − z ) + f (z)$
Die Funktion $t$ hat somit die Gleichung (gerundete Werte):
$t(x)=-0{,}9063 \cdot(x-0{,}9428)+2{,}0629 \approx-0{,}9063 \cdot x+2{,}9174$
Die Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(0{,}9428 \mid f(0{,}9428))$ ist, lautet $t(x)=-0{,}9063 \cdot x+2{,}9174$ .
(ii) Ermittele die Nullstelle dieser Funktion
Setze $t (x) = 0$ :
$0=-0{,}9063 \cdot x+2{,}9174\;\Rightarrow\;x=\dfrac{2{,}9174}{0{,}9063}\approx3{,}22$
Die Nullstelle dieser Funktion ist $x\approx3{,}22$ .
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(i)
Gegeben ist $z = 0,9428$ .
Berechne $f^{'} (z)$ und $f (z)$ .
Setze in $t : y = f^{'} (z) \cdot (x - z) + f (z) t: y = f'( z ) ⋅ ( x − z ) + f ( z )$ ein.
(ii)
Setze $t (x) = 0$ und löse nach $x$ auf.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

(i) Begründe die Wahl der Bedingungen I und II

(ii) Erläutere die linke Seite der Gleichung in Bedingung III

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(i) Bestimme für z=0,9428z=0{,}9428z=0,9428 rechnerisch eine Gleichung der Funktion ttt, deren Graph die Tangente an den Graphen von fff im Punkt R(z∣f(z))R(z \mid f(z))R(z∣f(z)) ist

(ii) Ermittele die Nullstelle dieser Funktion

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(i) Bestimme für $z = 0,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist