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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}, x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1
1. Begründen Sie, dass die Funktion $f$ nur eine Nullstelle besitzt. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Begründe, dass die Funktion $f$ nur eine Nullstelle besitzt
  Es ist $\mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ .
  Deshalb gilt: $f(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}=0 \Leftrightarrow x=0$ .
  Somit besitzt die Funktion $f$ nur eine Nullstelle an der Stelle $x = 0$ .
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  Es ist $\mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ . $f (x)$ kann nur für $x = 0$ null werden.
2. Untersuchen Sie den Graphen von $f$ rechnerisch auf lokale Extrempunkte. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Untersuche den Graphen von $f$ rechnerisch auf lokale Extrempunkte
  Berechne $f^{'} (x)$ und $f^{''} (x)$ :
  Der CAS Rechner liefert $f^{\prime}(x)=\left(9-\frac{27}{2} x\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}$ und $f^{\prime \prime}(x)=\left(\frac{81}{4} \cdot x-27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}$ .
  Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Setze $f'(x)=0\;\Rightarrow\;9-\dfrac{27}{2}x=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{2}{3}$ .
  An der Stelle $x=\dfrac{2}{3}$ liegt eine Extremstelle vor.
  Überprüfe die Art der Extremstelle mit der 2. Ableitung:
  $f''\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{27}{2}\cdot e^{-1}<0$
  Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $x=\frac{2}{3}$ einen Hochpunkt.
  Berechne $f(\frac{2}{3})=\dfrac{6}{e}\approx2{,}21$ $\;\Rightarrow\;HP\left(\frac{2}{3}|\frac{6}{e}\right)$ .
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  Berechne $f^{'} (x)$ und $f^{''} (x)$ .
  Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist $f^{'} (x) = 0$ .
  Setze $f'(x)=0\;\Rightarrow\;x_1$ .
  Bestimme die Art des Extremums mit $f^{''} (x_{1})$ .
  Berechne $f(x_1)\;\Rightarrow\;E(x_1\mid f(x_1))$ .
3. Der Graph der Funktion $f$ hat genau einen Wendepunkt.
  Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Ermittele die Koordinaten des Wendepunktes
  Es ist $f^{\prime \prime}(x)=\left(\frac{81}{4} \cdot x-27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}$
  Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime}(x)=0$ .
  $\Rightarrow\;0=\frac{81}{4} \cdot x-27\;\Rightarrow\;x=\dfrac{4}{3}$
  Laut Aufgabenstellung hat der Graph von $f$ genau einen Wendepunkt und der liegt an der Stelle $x=\dfrac{4}{3}$ vor.
  Berechne $f(\frac{4}{3})=9\cdot\dfrac{4}{3}\cdot e^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}}=12\cdot e^{-2}$ .
  Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $WP\left(\frac{4}{3}|12\cdot e^{-2}\right)$ , gerundet $W P (1,33 ∣ 1,62)$ .
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  Laut Aufgabenstellung hat der Graph von $f$ genau einen Wendepunkt.
  Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime}(x)=0$ .
  Löse diese Gleichung nach $x_{W}$ auf und berechne $f (x_{W})$ .
4. Ermitteln Sie, an welchen Stellen im Intervall $[0; 6]$ der Graph der Funktion $f$ die größte bzw. die kleinste Steigung hat. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Ermittele, an welchen Stellen im Intervall $[0; 6]$ der Graph der Funktion $f$ die größte bzw. die kleinste Steigung hat
  Die größte bzw. kleinste Steigung liegt im Wendepunkt oder am Rand des Intervalls vor.
  Berechne $f'(0), f'(\frac{4}{3})$ und $f^{'} (6)$ :
  Es ist $f^{\prime}(x)=\left(9-\frac{27}{2} x\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}$ .
  Dann folgt:
  $f^{\prime}(0)=9$
  $f^{\prime}(\frac{4}{3})=\left(9-\frac{27}{2}\cdot \frac{4}{3}\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}=-9\cdot e^{-2}\approx-1{,}22$
  $f^{\prime}(6)=\left(9-\frac{27}{2}\cdot 6\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{3}{2} \cdot 6}=-72\cdot e^{-9}\approx-0{,}01$
  Die größte Steigung besteht an der Stelle $x = 0$ und die kleinste Steigung liegt an der Wendestelle $x=\frac{4}{3}$ vor.
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  Berechne $f'(0), f'(\frac{4}{3})$ und $f^{'} (6)$ und vergleiche.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}, x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1
1. Der Graph der Funktion $f$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = 6$ schließen die Fläche $A$ ein.
  Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche $A$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittele den Inhalt der Fläche $A$
  Demnach ist: $A=\displaystyle\int_{0}^{6} f(x) \;\mathrm{d} x \approx 4$ .
  Der Inhalt der Fläche $A$ beträgt rund $4 \;\mathrm{FE}$ .
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  Berechne $A=\displaystyle\int_{0}^{6} f(x) \;\mathrm{d} x$ .
2. Für jedes $0<u \leq 6$ sind $O(0 \mid 0), P(6 \mid 0)$ und $Q_{u}(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.
  (i) Zeichnen Sie das Dreieck $O P Q_{u}$ mit $u = 2$ in Abbildung 1 ein. (1 P)
  (ii) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $O P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{O P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ berechnen lässt. (2 P)
  (iii) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $O P Q_{u}$ maximal wird. (2 P)
  (iv) Bestimmen Sie alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $O P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
  (i) Zeichne das Dreieck $O P Q_{u}$ mit $u = 2$ in Abbildung 1 ein
  Abbildung 1
  (ii) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $O P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{O P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ berechnen lässt
  Da die Grundseite $\overline{O P}$ des Dreiecks $O P Q_{u}$ eine Länge von $6$ Längeneinheiten hat und die Länge der zugehörigen Höhe durch $f (u)$ gegeben ist, gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{O P Q_{u}}(u)=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot f(u)=3 \cdot f(u)$ .
  (iii) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $O P Q_{u}$ maximal wird
  Bekannt ist: $HP(\dfrac{2}{3}|\dfrac{6}{3})$ .
  Da der Flächeninhalt immer der dreifache Wert des Funktionswertes $f (u)$ und der Funktionswert im Hochpunkt maximal ist, wird der Flächeninhalt des Dreiecks $O P Q_{u}$ für $u=\frac{2}{3}$ maximal.
  (iv) Bestimmen Sie alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $O P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat
  Gegeben ist $A_{O P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)=3\cdot 9 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot u}=27\cdot u \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot u}$ .
  Löse die Gleichung $27\cdot u \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot u}=4$
  Somit ist $u \approx 0{,}20 \vee u \approx 1{,}58$ .
  Für diese beiden Werte hat das Dreieck $O P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.
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  (i)
  Zeichne die drei gegebenen Punkte in die Abbildung ein und verbinde sie zu einem Dreieck.
  (ii)
  Die Grundseite des Dreiecks hat immer die Länge $6$ und die zugehörige Höhe ist durch $f (u)$ gegeben. Setze in die Dreiecksflächenformel ein.
  (iii)
  Wenn $Q_{u}$ im Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt, ist die Dreiecksfläche maximal.
  (iv)
  Es ist $A_{O P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ .
  Setze $f (u)$ ein und löse die Gleichung $A_{O P Q_{u}}(u)=4$ .
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}, x \in \mathbb{R}$ .
Für ein $z$ mit $\frac{2}{3}<z<\frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ . Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \geq z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 0,9$ .
Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$ -Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat:
I: $\quad t(z)=f(z)$
II: $\quad t^{\prime}(z)=f^{\prime}(z)$
III: $\displaystyle\int_{0}^{z} f(x)\; \mathrm{d} x+\int_{z}^{c} t(x)\; \mathrm{d} x=4$ , wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.
Abbildung 2
1. (i) Begründen Sie die Wahl der Bedingungen I und II. (2 P)
  (ii) Erläutern Sie die linke Seite der Gleichung in Bedingung III. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  (i) Begründe die Wahl der Bedingungen I und II
  Die Bedingungen I und II stellen sicher, dass es sich bei der Funktion $t$ um die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $R$ handelt bzw. dass der Übergang „knickfrei“ erfolgt.
  (ii) Erläutere die linke Seite der Gleichung in Bedingung III
  Mit dem ersten Integral wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[0; z]$ berechnet.
  Mit dem zweiten Integral wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $t$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[z; c]$ berechnet, wobei $c$ die Nullstelle der Funktion $t$ ist.
  Die Addition der beiden Integrale ergibt den Flächeninhalt der in der Aufgabe beschriebenen Fläche.
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  (i)
  Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit $t$ Tangente an f ist?
  Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit der Übergang zwischen $f$ und $t$ „knickfrei“ erfolgt?
  (ii)
  Es werden zwei Flächen berechnet.
  Um welche Flächen handelt es sich?
  Wie groß ist die Gesamtfläche?
2. Aus den Bedingungen folgt $z \approx 0{,}9428$ . [Nachweis nicht erforderlich.]
  (i) Bestimmen Sie für $z = 0,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist. (3 P)
  (ii) Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion $t$ . (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  (i) Bestimme für $z = 0,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist
  Gegeben ist $z = 0,9428$ .
  Dann ist $f^{\prime}(0{,}9428) \approx-0{,}9063$ und $f(0{,}9428) \approx 2{,}0629$ .
  Für die allgemeine Tangentengleichung gilt:
  $y = f^{'} (z) \cdot (x - z) + f (z) y = f ' ( z ) ⋅ ( x − z ) + f (z)$
  Die Funktion $t$ hat somit die Gleichung (gerundete Werte):
  $t(x)=-0{,}9063 \cdot(x-0{,}9428)+2{,}0629 \approx-0{,}9063 \cdot x+2{,}9174$
  Die Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(0{,}9428 \mid f(0{,}9428))$ ist, lautet $t(x)=-0{,}9063 \cdot x+2{,}9174$ .
  (ii) Ermittele die Nullstelle dieser Funktion
  Setze $t (x) = 0$ :
  $0=-0{,}9063 \cdot x+2{,}9174\;\Rightarrow\;x=\dfrac{2{,}9174}{0{,}9063}\approx3{,}22$
  Die Nullstelle dieser Funktion ist $x\approx3{,}22$ .
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  (i)
  Gegeben ist $z = 0,9428$ .
  Berechne $f^{'} (z)$ und $f (z)$ .
  Setze in $t : y = f^{'} (z) \cdot (x - z) + f (z) t: y = f'( z ) ⋅ ( x − z ) + f ( z )$ ein.
  (ii)
  Setze $t (x) = 0$ und löse nach $x$ auf.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}, x \in \mathbb{R}$ .
Für $k > 0$ ist die Funktion $j$ mit der Gleichung $j(x)=4 \cdot k^{2} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$ für $x \in \mathbb{R}$ gegeben.
Setzt man $k = 1,5$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm von $f$ .
Setzt man $k = 2,6$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x)=4 \cdot 2{,}6^{2} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-2{,}6 \cdot x}$ .
Abbildung 3
1. Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und in einem weiteren Punkt $S$ .
  (i) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$ . (2 P)
  (ii) Skizzieren Sie mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g$ in Abbildung 3.
  (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  (i) Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und g
  Gegeben sind $f(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}$ und $g(x)=4 \cdot 2{,}6^{2} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-2{,}6 \cdot x}=27{,}04\cdot x \cdot \mathrm{e}^{-2{,}6 \cdot x}$ .
  Betrachte die Graphen der beiden Funktionen. Für den Hochpunkt des Graphen von $g$ erhält man $x_H\approx0{,}3846$ und $y_H\approx3{,}8259$ , sodass sich gerundet der Hochpunkt ergibt: $H P (0,38 ∣ 3,83)$ .
  Für den Schnittpunkt $S$ der Graphen von $f$ und g erhält man $x_S\approx1{,}000084$ und $y_S\approx2{,}008087$ , sodass sich gerundet der Schnittpunkt $S$ ergibt: $S (1 ∣ 2)$ .
  (ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g$ in Abbildung 3
  Abbildung 3
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  Betrachte die Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ und lasse Dir den Hochpunkt von $g$ und den zweiten Schnittpunkt $S$ anzeigen.
2. Setzt man einen bestimmten Wert von $k$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $h$ , deren Graph in Abbildung 3 dargestellt ist.
  Geben Sie ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von $k$ an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Gib ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von $k$ an
  Für $k = 1,5$ erhält man die Funktion $f$ .
  Für $k = 2,6$ erhält man die Funktion $g$ .
  Der Graph der Funktion $h$ liegt zwischen den beiden Graphen von $f$ und $g$ , sodass hier $k\approx2$ sein muss.
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  Für $k = 1,5$ erhält man die Funktion $f$ . Für $k = 2,6$ erhält man die Funktion $g$ .
  Der Graph der Funktion $h$ liegt zwischen den beiden Graphen von $f$ und $g$ .
  Welchen Wert kann man dann für $k$ annehmen?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B1

Aufgabe 1

Begründe, dass die Funktion fff nur eine Nullstelle besitzt

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Untersuche den Graphen von fff rechnerisch auf lokale Extrempunkte

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Ermittele die Koordinaten des Wendepunktes

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Ermittele, an welchen Stellen im Intervall [0;6][0 ; 6][0;6] der Graph der Funktion fff die größte bzw. die kleinste Steigung hat

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Aufgabe 2

Ermittele den Inhalt der Fläche AAA

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(i) Zeichne das Dreieck OPQuO P Q_{u}OPQu​ mit u=2u=2u=2 in Abbildung 1 ein

(ii) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks OPQuO P Q_{u}OPQu​ in Abhängigkeit von uuu mit der Gleichung AOPQu(u)=3⋅f(u)A_{O P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)AOPQu​​(u)=3⋅f(u) berechnen lässt

(iii) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von uuu der Flächeninhalt des Dreiecks OPQuO P Q_{u}OPQu​ maximal wird

(iv) Bestimmen Sie alle Werte von uuu, für die das Dreieck OPQuO P Q_{u}OPQu​ einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat

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Aufgabe 3

(i) Begründe die Wahl der Bedingungen I und II

(ii) Erläutere die linke Seite der Gleichung in Bedingung III

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(i) Bestimme für z=0,9428z=0{,}9428z=0,9428 rechnerisch eine Gleichung der Funktion ttt, deren Graph die Tangente an den Graphen von fff im Punkt R(z∣f(z))R(z \mid f(z))R(z∣f(z)) ist

(ii) Ermittele die Nullstelle dieser Funktion

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Aufgabe 4

(i) Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von ggg und des Schnittpunkts SSS der Graphen von fff und g

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion ggg in Abbildung 3

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Gib ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von kkk an

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Begründe, dass die Funktion $f$ nur eine Nullstelle besitzt

Untersuche den Graphen von $f$ rechnerisch auf lokale Extrempunkte

Ermittele, an welchen Stellen im Intervall $[0; 6]$ der Graph der Funktion $f$ die größte bzw. die kleinste Steigung hat

Ermittele den Inhalt der Fläche $A$

(i) Zeichne das Dreieck $O P Q_{u}$ mit $u = 2$ in Abbildung 1 ein

(ii) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $O P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{O P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ berechnen lässt

(iii) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $O P Q_{u}$ maximal wird

(iv) Bestimmen Sie alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $O P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat

(i) Bestimme für $z = 0,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist

(i) Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und g

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g$ in Abbildung 3

Gib ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von $k$ an