B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f (x) = 9 \cdot x \cdot e^{- 1,5 \cdot x}, x \in ℝ$ .

Für $k > 0$ ist die Funktion $j$ mit der Gleichung $j (x) = 4 \cdot k^{2} \cdot x \cdot e^{- k \cdot x}$ für $x \in ℝ$ gegeben.

Setzt man $k = 1,5$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm von $f$ .

Setzt man $k = 2,6$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g (x) = 4 \cdot {2,6}^{2} \cdot x \cdot e^{- 2,6 \cdot x}$ .

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und in einem weiteren Punkt $S$ .
(i) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$ . (2 P)
(ii) Skizzieren Sie mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g$ in Abbildung 3.
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
(i) Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und g
Gegeben sind $f (x) = 9 \cdot x \cdot e^{- 1,5 \cdot x}$ und $g (x) = 4 \cdot {2,6}^{2} \cdot x \cdot e^{- 2,6 \cdot x} = 27,04 \cdot x \cdot e^{- 2,6 \cdot x}$ .
Betrachte die Graphen der beiden Funktionen. Für den Hochpunkt des Graphen von $g$ erhält man $x_{H} \approx 0,3846$ und $y_{H} \approx 3,8259$ , sodass sich gerundet der Hochpunkt ergibt: $H P (0,38 | 3,83)$ .
Für den Schnittpunkt $S$ der Graphen von $f$ und g erhält man $x_{S} \approx 1,000084$ und $y_{S} \approx 2,008087$ , sodass sich gerundet der Schnittpunkt $S$ ergibt: $S (1 | 2)$ .
(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g$ in Abbildung 3
Abbildung 3
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Betrachte die Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ und lasse Dir den Hochpunkt von $g$ und den zweiten Schnittpunkt $S$ anzeigen.
Setzt man einen bestimmten Wert von $k$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $h$ , deren Graph in Abbildung 3 dargestellt ist.
Geben Sie ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von $k$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Gib ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von $k$ an
Für $k = 1,5$ erhält man die Funktion $f$ .
Für $k = 2,6$ erhält man die Funktion $g$ .
Der Graph der Funktion $h$ liegt zwischen den beiden Graphen von $f$ und $g$ , sodass hier $k \approx 2$ sein muss.
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Für $k = 1,5$ erhält man die Funktion $f$ . Für $k = 2,6$ erhält man die Funktion $g$ .
Der Graph der Funktion $h$ liegt zwischen den beiden Graphen von $f$ und $g$ .
Welchen Wert kann man dann für $k$ annehmen?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

(i) Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von g und des Schnittpunkts S der Graphen von f und g

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion g in Abbildung 3

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Gib ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von k an

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(i) Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und g

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g$ in Abbildung 3

Gib ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von $k$ an