B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}, x \in \mathbb{R}$ .

Für $k > 0$ ist die Funktion $j$ mit der Gleichung $j(x)=4 \cdot k^{2} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$ für $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

Setzt man $k = 1,5$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm von $f$ .

Setzt man $k = 2,6$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x)=4 \cdot 2{,}6^{2} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-2{,}6 \cdot x}$ .

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und in einem weiteren Punkt $S$ .
(i) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$ . (2 P)
(ii) Skizzieren Sie mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g$ in Abbildung 3.
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
(i) Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und g
Gegeben sind $f(x)=9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot x}$ und $g(x)=4 \cdot 2{,}6^{2} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-2{,}6 \cdot x}=27{,}04\cdot x \cdot \mathrm{e}^{-2{,}6 \cdot x}$ .
Betrachte die Graphen der beiden Funktionen. Für den Hochpunkt des Graphen von $g$ erhält man $x_H\approx0{,}3846$ und $y_H\approx3{,}8259$ , sodass sich gerundet der Hochpunkt ergibt: $H P (0,38 ∣ 3,83)$ .
Für den Schnittpunkt $S$ der Graphen von $f$ und g erhält man $x_S\approx1{,}000084$ und $y_S\approx2{,}008087$ , sodass sich gerundet der Schnittpunkt $S$ ergibt: $S (1 ∣ 2)$ .
(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g$ in Abbildung 3
Abbildung 3
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Betrachte die Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ und lasse Dir den Hochpunkt von $g$ und den zweiten Schnittpunkt $S$ anzeigen.
Setzt man einen bestimmten Wert von $k$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $h$ , deren Graph in Abbildung 3 dargestellt ist.
Geben Sie ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von $k$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Gib ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von $k$ an
Für $k = 1,5$ erhält man die Funktion $f$ .
Für $k = 2,6$ erhält man die Funktion $g$ .
Der Graph der Funktion $h$ liegt zwischen den beiden Graphen von $f$ und $g$ , sodass hier $k\approx2$ sein muss.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Für $k = 1,5$ erhält man die Funktion $f$ . Für $k = 2,6$ erhält man die Funktion $g$ .
Der Graph der Funktion $h$ liegt zwischen den beiden Graphen von $f$ und $g$ .
Welchen Wert kann man dann für $k$ annehmen?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

(i) Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von ggg und des Schnittpunkts SSS der Graphen von fff und g

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion ggg in Abbildung 3

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von kkk an

Hast du eine Frage oder Feedback?

(i) Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ und des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und g

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g$ in Abbildung 3

Gib ohne weitere Rechnung einen Schätzwert für diesen Wert von $k$ an