A3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Eine in $ℝ$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $f^{'}$ und zweiter Ableitungsfunktion $f^{''}$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle.
Es gilt $f^{'} (x_{2}) = 0$ und $f^{''} (x_{2}) \neq 0$ .
$f^{'}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}$ .

Abbildung 1 zeigt die Positionen von $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$ .

Begründen Sie, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist
Da $f^{'}$ an der Stelle $x_{3}$ ein Minimum hat (und $f^{'}$ nicht konstant sein kann, da $f$ laut Aufgabenstellung keine lineare Funktion ist), ist der Grad von $f^{'}$ mindestens $2$ und damit der Grad von $f$ mindestens $3$ .
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$f^{'}$ hat an der Stelle $x_{3}$ ein Minimum. Daher ist der Grad von $f^{'}$ mindestens $2$ .
Was folgt daraus für den Grad von $f$ ?
Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$
Bekannt ist:
$f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle. $\Rightarrow$ der Graph von $f$ schneidet bei $x_{1}$ die $x$ -Achse.
Es gilt $f^{'} (x_{2}) = 0$ und $f^{''} (x_{2}) \neq 0$ . $\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{2}$ ein Extremum.
$f^{'}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}$ . $\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{3}$ einen Wendepunkt.
Mögliche Lösung:
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Bekannt ist:
$f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle. $\Rightarrow$ der Graph von $f$ schneidet bei $x_{1}$ die $x$ -Achse.
Es gilt $f^{'} (x_{2}) = 0$ und $f^{''} (x_{2}) \neq 0$ . $\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{2}$ ein Extremum.
$f^{'}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}$ . $\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{3}$ einen Wendepunkt.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Begründe, dass der Grad von f mindestens 3 ist

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Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von f

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Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist

Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$