B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Bei einem Secret-Sharing-Verfahren wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse auf verschiedene Personen aufgeteilt, um die Verantwortung in mehrere Hände zu legen. Es kann sinnvoll sein, dass ein geheimer Code, z.B. zum Öffnen eines Tresors, nicht einer Person allein bekannt ist, sondern lediglich von mehreren Personen gemeinsam ermittelt werden kann.

Unternehmen können ein solches Verfahren beispielsweise auf geometrischer Basis realisieren. Hierbei kann eine Auswahl von Mitarbeitenden mit Kenntnissen über notwendige Teilgeheimnisse den geheimen Code ermitteln, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eingeben, welches mit den Eingaben geometrische Fragestellungen löst.

Vereinfachend wird im Folgenden angenommen, dass der zu ermittelnde geheime Code immer aus drei Ziffern besteht.

Das Computersystem kennt die Gerade $g$ mit
$\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\3 \\4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}4 \\-2 \\-1\end{array}\right), t \in \mathbb{R}$
Die Punkte $A (0 ∣ - 3 ∣ - 1), B (4 ∣ 2 ∣ 1)$ und $C (1 ∣ - 1 ∣ - 1)$ liegen in einer Ebene $H$ . Drei eingeweihte Mitarbeiter kennen als Teilgeheimnisse die Koordinaten von jeweils einem dieser Punkte. Der geheime Code wird durch die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ ermittelt.
(i) Die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ werden ins System eingegeben.
Berechnen Sie den geheimen Code.
(ii) Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$ . Ein vierter Mitarbeiter erhält den Punkt $D (12 ∣ 12 ∣ 5)$ als Teilgeheimnis. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$ .
Begründen Sie, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann.
(7 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
(i) Berechne den geheimen Code
Gegeben sind die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\3 \\4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}4 \\-2 \\-1\end{array}\right), t \in \mathbb{R}$ und die Punkte $A (0 ∣ - 3 ∣ - 1), B (4 ∣ 2 ∣ 1)$ und $C (1 ∣ - 1 ∣ - 1)$ , die in einer Ebene $H$ liegen.
Bestimme die Gleichung der Ebene H:
$H: \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
Dann ist $H: \vec x=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
Schneide g mit H:
$\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1\\6\\5\end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\1\end{pmatrix}$
Man erhält ein lineares Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \;\mathrm{(I)}:\;\;\;4r & + & s & - & 4t & = & 1 & \\\mathrm{(II)}:\;\;\; 5r & + & 2s & + &2 t &=& 6\\\mathrm{(III)}:\;\;\; 2r & + & 0s & + & t &=& 5\end{array}$
Der TR liefert die Lösung $r = 2, s = - 3$ und $t = 1$ .
Für die Berechnung des Schnittpunktes setze $t = 1$ in die Geradengleichung ein.
$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;S(5|1|3)$
Der geheime Code ist dann 513.
(ii) Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann
Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ durch die Punkte $A$ und $B$ :
$h: \vec x=\overrightarrow{OA}+u\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}$
Prüfe, ob der Punkt $D\in h$ ist:
$\begin{pmatrix}12\\12\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}12\\15\\6\end{pmatrix}=u\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}$
Man erhält $u = 3$ als Lösung für alle drei Gleichungen, d.h. $D\in h$ .
Somit kann keine Ebene mit den drei Punkten $A, B$ und $D$ gebildet werden.
Das hat zur Folge, dass die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ nicht bestimmt werden können und das System kann keinen geheimen Code berechnen.
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(i)
Gegeben sind die Punkte $A (0 ∣ - 3 ∣ - 1), B (4 ∣ 2 ∣ 1)$ und $C (1 ∣ - 1 ∣ - 1)$ , die in einer Ebene $H$ liegen.
Schneide $g$ mit $H$ $\;\Rightarrow\;$ lineares Gleichungssystem $\;\Rightarrow\;$ Der TR liefert die Lösung.
Für die Berechnung des Schnittpunktes setze $t$ in die Geradengleichung ein $\Rightarrow\;S(x_1|x_2|x_3)\;\Rightarrow\;$ Code $x_{1} x_{2} x_{3}$ .
(ii)
Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ durch die Punkte $A$ und $B$ .
Prüfe, ob der Punkt $D\in h$ ist.
Liegt $D$ auf der Geraden $h$ , dann kann keine Ebene mit den drei Punkten $A, B$ und $D$ gebildet werden.
Das hat zur Folge, dass die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ nicht bestimmt werden können.
Es ist nicht nur möglich, die Koordinaten von Punkten von Ebenen in das System einzugeben, das System kann auch andere Informationen über die Ebene verarbeiten, z.B. die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Geschäftsführerin kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $H$ .
(i) Begründen Sie, warum die Geschäftsführerin bereits zusammen mit einem beliebigen der vier eingeweihten Mitarbeiter den geheimen Code ermitteln kann.
(ii) Berechnen Sie einen Normalenvektor von $H$ . (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor – Umwandeln von Ebenendarstellungen
(i) Begründe, warum die Geschäftsführerin bereits zusammen mit einem beliebigen der vier eingeweihten Mitarbeiter den geheimen Code ermitteln kann
Kennt man den Normalenvektor der Ebene und einen weiteren Punkt, kann die Normalenform der Ebene ermittelt werden und die Berechnung des Codes ist möglich.
(ii) Berechne einen Normalenvektor von $H$
Es ist $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}$
Ein Normalenvektor von $H$ ist der Vektor $\vec n=\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}$ .
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(i)
Kennt man den Normalenvektor der Ebene und einen weiteren Punkt, kann die Normalenform der Ebene ermittelt werden.
(ii)
Berechne $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

(i) Berechne den geheimen Code

(ii) Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der PunkteA,BA, BA,B und DDD das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann

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(i) Begründe, warum die Geschäftsführerin bereits zusammen mit einem beliebigen der vier eingeweihten Mitarbeiter den geheimen Code ermitteln kann

(ii) Berechne einen Normalenvektor von HHH

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(ii) Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann

(ii) Berechne einen Normalenvektor von $H$