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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Bei einem Secret-Sharing-Verfahren wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse auf verschiedene Personen aufgeteilt, um die Verantwortung in mehrere Hände zu legen. Es kann sinnvoll sein, dass ein geheimer Code, z.B. zum Öffnen eines Tresors, nicht einer Person allein bekannt ist, sondern lediglich von mehreren Personen gemeinsam ermittelt werden kann.
Unternehmen können ein solches Verfahren beispielsweise auf geometrischer Basis realisieren. Hierbei kann eine Auswahl von Mitarbeitenden mit Kenntnissen über notwendige Teilgeheimnisse den geheimen Code ermitteln, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eingeben, welches mit den Eingaben geometrische Fragestellungen löst.
Vereinfachend wird im Folgenden angenommen, dass der zu ermittelnde geheime Code immer aus drei Ziffern besteht.
1. Das Computersystem kennt die Gerade $g$ mit
  $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\3 \\4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}4 \\-2 \\-1\end{array}\right), t \in \mathbb{R}$
  Die Punkte $A (0 ∣ - 3 ∣ - 1), B (4 ∣ 2 ∣ 1)$ und $C (1 ∣ - 1 ∣ - 1)$ liegen in einer Ebene $H$ . Drei eingeweihte Mitarbeiter kennen als Teilgeheimnisse die Koordinaten von jeweils einem dieser Punkte. Der geheime Code wird durch die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ ermittelt.
  (i) Die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ werden ins System eingegeben.
  Berechnen Sie den geheimen Code.
  (ii) Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$ . Ein vierter Mitarbeiter erhält den Punkt $D (12 ∣ 12 ∣ 5)$ als Teilgeheimnis. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$ .
  Begründen Sie, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann.
  (7 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  (i) Berechne den geheimen Code
  Gegeben sind die Gerade $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\3 \\4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}4 \\-2 \\-1\end{array}\right), t \in \mathbb{R}$ und die Punkte $A (0 ∣ - 3 ∣ - 1), B (4 ∣ 2 ∣ 1)$ und $C (1 ∣ - 1 ∣ - 1)$ , die in einer Ebene $H$ liegen.
  Bestimme die Gleichung der Ebene H:
  $H: \vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$
  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
  Dann ist $H: \vec x=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
  Schneide g mit H:
  $\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1\\6\\5\end{pmatrix}=r\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\1\end{pmatrix}$
  Man erhält ein lineares Gleichungssystem:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} \;\mathrm{(I)}:\;\;\;4r & + & s & - & 4t & = & 1 & \\\mathrm{(II)}:\;\;\; 5r & + & 2s & + &2 t &=& 6\\\mathrm{(III)}:\;\;\; 2r & + & 0s & + & t &=& 5\end{array}$
  Der TR liefert die Lösung $r = 2, s = - 3$ und $t = 1$ .
  Für die Berechnung des Schnittpunktes setze $t = 1$ in die Geradengleichung ein.
  $\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;S(5|1|3)$
  Der geheime Code ist dann 513.
  (ii) Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann
  Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ durch die Punkte $A$ und $B$ :
  $h: \vec x=\overrightarrow{OA}+u\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}$
  Prüfe, ob der Punkt $D\in h$ ist:
  $\begin{pmatrix}12\\12\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}12\\15\\6\end{pmatrix}=u\cdot \begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}$
  Man erhält $u = 3$ als Lösung für alle drei Gleichungen, d.h. $D\in h$ .
  Somit kann keine Ebene mit den drei Punkten $A, B$ und $D$ gebildet werden.
  Das hat zur Folge, dass die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ nicht bestimmt werden können und das System kann keinen geheimen Code berechnen.
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  (i)
  Gegeben sind die Punkte $A (0 ∣ - 3 ∣ - 1), B (4 ∣ 2 ∣ 1)$ und $C (1 ∣ - 1 ∣ - 1)$ , die in einer Ebene $H$ liegen.
  Schneide $g$ mit $H$ $\;\Rightarrow\;$ lineares Gleichungssystem $\;\Rightarrow\;$ Der TR liefert die Lösung.
  Für die Berechnung des Schnittpunktes setze $t$ in die Geradengleichung ein $\Rightarrow\;S(x_1|x_2|x_3)\;\Rightarrow\;$ Code $x_{1} x_{2} x_{3}$ .
  (ii)
  Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ durch die Punkte $A$ und $B$ .
  Prüfe, ob der Punkt $D\in h$ ist.
  Liegt $D$ auf der Geraden $h$ , dann kann keine Ebene mit den drei Punkten $A, B$ und $D$ gebildet werden.
  Das hat zur Folge, dass die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ nicht bestimmt werden können.
2. Es ist nicht nur möglich, die Koordinaten von Punkten von Ebenen in das System einzugeben, das System kann auch andere Informationen über die Ebene verarbeiten, z.B. die Koordinaten eines Normalenvektors. Eine Geschäftsführerin kennt als Teilgeheimnis die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $H$ .
  (i) Begründen Sie, warum die Geschäftsführerin bereits zusammen mit einem beliebigen der vier eingeweihten Mitarbeiter den geheimen Code ermitteln kann.
  (ii) Berechnen Sie einen Normalenvektor von $H$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor – Umwandeln von Ebenendarstellungen
  (i) Begründe, warum die Geschäftsführerin bereits zusammen mit einem beliebigen der vier eingeweihten Mitarbeiter den geheimen Code ermitteln kann
  Kennt man den Normalenvektor der Ebene und einen weiteren Punkt, kann die Normalenform der Ebene ermittelt werden und die Berechnung des Codes ist möglich.
  (ii) Berechne einen Normalenvektor von $H$
  Es ist $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}$
  Ein Normalenvektor von $H$ ist der Vektor $\vec n=\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}$ .
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  (i)
  Kennt man den Normalenvektor der Ebene und einen weiteren Punkt, kann die Normalenform der Ebene ermittelt werden.
  (ii)
  Berechne $\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Ein anderes Unternehmen verwendet als geheimen Code die ersten drei Ziffern der ungerundeten Dezimaldarstellung des Volumens einer quadratischen Pyramide. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt in der dem System bekannten Ebene $Q:-3 x_{1}+4 x_{3}=9$ .
Eine Geschäftsführerin kennt $(1,5 ∣ 3,5 ∣ 6,5)$ als Koordinaten der Spitze der Pyramide. Die Mitarbeitenden kennen als Teilgeheimnisse die Koordinaten von jeweils einem Eckpunkt der Grundfläche.
Drei Mitarbeitende und die Geschäftsführerin geben ihre Teilgeheimnisse $(1 ∣ 1 ∣ 3), (1 ∣ 6 ∣ 3)$ ,
(⁣ $5 ∣ 1 ∣ 6$ ) und $(1,5 ∣ 3,5 ∣ 6,5)$ ein.
Berechnen Sie den geheimen Code. (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Berechne den geheimen Code
Bekannt sind: Eine Geschäftsführerin kennt $(1,5 ∣ 3,5 ∣ 6,5)$ als Koordinaten der Spitze der Pyramide. Die Koordinaten von jeweils einem Eckpunkt der Grundfläche sind $(1 ∣ 1 ∣ 3),$
$(1 ∣ 6 ∣ 3)$ und ⁣ $(5 ∣ 1 ∣ 6)$ . Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt in der dem System bekannten Ebene $Q:-3 x_{1}+4 x_{3}=9$ .
Gesucht ist das Volumen einer quadratischen Pyramide $V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$ .
Berechne die Länge einer Quadratseite:
Mit $A (1 ∣ 1 ∣ 3)$ und $B (1 ∣ 6 ∣ 3)$ erhält man $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\6\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;|\overrightarrow{AB}|=5$
Für die Höhe berechne den Abstand der Spitze $S (1,5 ∣ 3,5 ∣ 6,5)$ von der Ebene $Q$ :
Die Hessesche Normalform der Ebene $Q$ lautet: $Q_{HNF}: \;\dfrac{-3x_1+4x_3-9}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=0$
Für den Abstand des Punktes $S$ von der Ebene $Q$ gilt dann:
$d(S,Q)=\left|\dfrac{(-3)\cdot 1{,}5+4\cdot 6{,}5-9}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}\right|=\dfrac{12{,}5}{5}=2{,}5$
Berechne das Pyramidenvolumen: $V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot 5^2\cdot 2{,}5\approx20{,}83$
Damit lautet der gesuchte Code $208$ .
Gesucht ist $V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$ .
Berechne die Länge einer Quadratseite $|\overrightarrow{AB}|$ , mit den Punkten $A (1 ∣ 1 ∣ 3)$ und $B (1 ∣ 6 ∣ 3)$ .
Für die Höhe $h$ berechne den Abstand der Spitze $S$ von der Ebene $Q$ mithilfe der Hesseschen Normalform der Ebene $Q$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Ein weiteres Unternehmen verwendet als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{I J}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $\overline{I J}$ .
Zwei Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse mit $I (4 ∣ 3 ∣ 2)$ bzw. $J (8 ∣ 6 ∣ - 1)$ jeweils die Koordinaten eines der beiden Endpunkte der Basis $\overline{I J}$ , ein dritter eingeweihter Mitarbeitender kennt mit $K (6 ∣ 5 ∣ 1)$ die Koordinaten der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ .
1. Zeigen Sie, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{I J}$ sind. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
  Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{I J}$ sind
  Berechne die Länge der Strecken $\overline{IJ}$ , $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ :
  $\overrightarrow{IJ}=\begin{pmatrix}8\\6\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\-3\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{IJ}\right|=\sqrt{4^2+3^2+(-3)^2}=\sqrt{34}\approx5{,}831$
  $\overrightarrow{JK}=\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\6\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{JK}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$
  $\overrightarrow{KI}=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{JK}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9}=3$
  Die Strecken $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ haben die gleiche Länge.
  Das Dreieck mit der Basis $\overline{I J}$ ist gleichschenklig.
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  Berechne die Länge der Strecken $\overline{IJ}$ , $\overline{JK}$ und $\overline{KI}$ und vergleiche.
2. Berechnen Sie den geheimen Code.
  $[$ Zur Kontrolle: Der geheime Code ist 707. $]$ (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
  Berechne den geheimen Code
  Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{I J}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $\overline{I J}$ besteht.
  Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks:
  Dazu wird die Mitte $M$ der Strecke $\overline{I J}$ benötigt.
  $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{O J}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}8\\6\\-1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}$
  Dann ist:
  $h=\left|\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OM}\right|=\left|\begin{pmatrix}6\\5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\0{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+0{,}5^2+0{,}5^2}=\sqrt{0{,}5}$
  $h=\sqrt{0{,}5}\approx0{,}707106..$
  Der Code ist somit $707$ .
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  Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{\overline{I J}}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $\overline{I J}$ besteht.
  Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks mithilfe der Mitte $M$ der Strecke $\overline{I J}$ $\;\Rightarrow\;h=|\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OM}|$ .
  Lies die ersten drei Nachkommastellen ab.
3. Der Punkt $L (6 ∣ 4 ∣ 0)$ ergibt sich durch Spiegelung des Punktes $K$ an der Geraden $I J$
  $[$ Ein Nachweis ist nicht erforderlich $]$ . Mit den Koordinaten von $L$ kann ein anderer Mitarbeitender zusammen mit den Mitarbeitenden, die die Koordinaten von $I$ und $J$ kennen, den geheimen Code ermitteln.
  Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines Punktes $P$ erhalten, der wie $K$ bzw. $L$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $I J P$ mit der Basis $\overline{I J}$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I, J$ und $P$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in b) berechnete geheime Code ergeben.
  (i) Beschreiben Sie die Lage geeigneter Punkte.
  (ii) Aus Sicherheitsgründen sollen sich die Koordinaten des Punktes $P$ von den Koordinaten der beiden Punkte $K$ und $L$ unterscheiden.
  Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $P$ .
  $[$ Hinweis: Die Koordinaten des Punktes $P$ müssen nicht ganzzahlig sein. $]$
  (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor – Umwandeln von Ebenendarstellungen
  (i) Beschreibe die Lage geeigneter Punkte
  Betrachte eine Ebene $E$ , die den Punkt $M$ enthält und senkrecht zur Strecke $\overline{I J}$ verläuft. (Die Gerade $g_{IJ}$ ist eine Lotgerade der Ebene $E$ .)
  Alle Punkte in der Ebene $E$ , die auf einem Kreis mit dem Radius $r = 0,707$ um den Punkt $M$ liegen, sind geeignete Punkte.
  (ii) Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $P$
  Gesucht ist ein Vektor $\vec u$ , der senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{IJ}=\begin{pmatrix}4\\3\\-3\end{pmatrix}$ steht.
  Der Vektor $\vec u$ darf nicht parallel zum Vektor $\overrightarrow{MK}=\begin{pmatrix}0\\0{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}$ verlaufen.
  Z.B. ist $\vec u=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$ ein geeigneter Vektor, denn $\vec u\nparallel \overrightarrow{MK}$ und $\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}4\\3\\-3\end{pmatrix}=0$ .
  Berechne von $\vec u$ den Einheitsvektor mit der Länge 1:
  $\vec u^0=\dfrac{1}{|\vec u|}\vec u=\dfrac{1}{\sqrt{(-3)^2+4^2+0^2}}\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$
  Damit vom Punkt $M$ ausgehend mithilfe des Einheitsvektors $\vec u^0$ ein Punkt $P$ auf dem unter (i) beschriebenen Kreis mit dem Radius $r = 0,707$ erreicht wird, muss folgende Vektorgleichung gelten:
  $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+0{,}707\cdot \vec u^0=\begin{pmatrix}6\\4{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}+0{,}707\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6{,}4242\\4{,}5\\1{,}0656\end{pmatrix}$
  Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P (6,4242 ∣ 4,5 ∣ 1,0656)$
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  (i)
  Betrachte eine Ebene $E$ , die den Punkt $M$ enthält und senkrecht zur Strecke $\overline{I J}$ verläuft.
  Alle Punkte auf einem Kreis, mit Radius $h$ (siehe i) um $M$ in der Ebene $E$ , sind geeignet.
  (ii)
  Gesucht ist ein Vektor $\vec u$ , der senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{IJ}$ steht.
  Berechne den Einheitsvektor $\vec u^0$ von $\vec u$ .
  Damit vom Punkt $M$ ausgehend mithilfe des Einheitsvektors $\vec u^0$ ein Punkt $P$ auf dem unter (i) beschriebenen Kreis mit dem Radius $h$ erreicht wird, muss eine Vektorgleichung aufgestellt und berechnet werden.

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B3

Aufgabe 1

(i) Berechne den geheimen Code

(ii) Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der PunkteA,BA, BA,B und DDD das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann

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(i) Begründe, warum die Geschäftsführerin bereits zusammen mit einem beliebigen der vier eingeweihten Mitarbeiter den geheimen Code ermitteln kann

(ii) Berechne einen Normalenvektor von HHH

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Aufgabe 2

Berechne den geheimen Code

Aufgabe 3

Zeige, dass I,JI, JI,J und KKK die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis IJ‾\overline{I J}IJ sind

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Berechne den geheimen Code

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(i) Beschreibe die Lage geeigneter Punkte

(ii) Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes PPP

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(ii) Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann

(ii) Berechne einen Normalenvektor von $H$

Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $\overline{I J}$ sind

(ii) Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $P$