Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $XX$

Gegeben sind $n=100n=100$ und $p=\mathrm{0,5}p=0\{,\}5$.

Dann gilt für den Erwartungswert:

$\mu =n\cdot p=100\cdot \mathrm{0,5}=50\backslash mu=n\backslash cdot\; p=100\backslash cdot\; 0\{,\}5=50$.

Der Erwartungswert beträgt $5050$.

Für die Standardabweichung gilt:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{100\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}=\sqrt{25}=5\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\backslash cdot\; (1-p)\}=\backslash sqrt\{100\backslash cdot\; 0\{,\}5\backslash cdot\; 0\{,\}5\}=\backslash sqrt\{25\}=5$

Die Standardabweichung beträgt $55$.

Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40\le X\le 60)P(40\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; 60)$

Bekannt ist: $P(X\ge 61)P(X\; \backslash geq\; 61)$ beträgt etwa $2\mathrm{\%}2\; \backslash \%$.

$\Rightarrow P(X\le 60)=1-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,98}\backslash Rightarrow\backslash ;P(X\backslash leq\; 60)=1-0\{,\}02=0\{,\}98$

Wegen $p=\mathrm{0,5}p=0\{,\}5$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch zum Erwartungswert $5050$.

$\Rightarrow P(X\le 39)=P(X\ge 61)\backslash Rightarrow\backslash ;P(X\backslash leq\; 39)=P(X\backslash geq\; 61)$

$\Rightarrow P(40\le X\le 60)=P(X\le 60)-P(x\le 39)=\mathrm{0,98}-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,96}\backslash Rightarrow\backslash ;P(40\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; 60)=P(X\backslash leq\; 60)-P(x\backslash leq\; 39)=0\{,\}98-0\{,\}02=0\{,\}96$

Der zugehörige Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40\le X\le 60)P(40\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; 60)$ beträgt $\mathrm{0,96}0\{,\}96$.