A2

Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe

Betrachte das Verhalten des Graphen von $f(x)=x^3-xf(x)=x^\{3\}-x$ für $xx$ gegen unendlich.

Es ist $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; f(x)=\backslash infty$.

Demnach entfällt Graph II (hier gilt $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; f(x)=-\backslash infty$).

Graph III gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $ff$ und die $xx$-Achse einschließen

Die abgelesenen Nullstellen des Graphen von $ff$ sind $x=-1x=-1$ bzw. $x=1x=1$.

Wegen der Punktsymmetrie des Graphen von $ff$ gilt:

$A=2\cdot {\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot {[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2]}_{-1}^0=2\cdot (0-(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}))=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}}A=2\; \backslash cdot\; \backslash displaystyle\backslash int\_\{-1\}^0f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=2\backslash cdot\backslash left[\backslash dfrac\{1\}\{4\}x^4-\backslash dfrac\{1\}\{2\}x^2\backslash right]\_\{-1\}^0=2\backslash cdot\backslash left(0-\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{4\}-\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash right)\backslash right)=2\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{4\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}$

Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $ff$ und die $xx$-Achse einschließen, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{F}\mathrm{E}\backslash dfrac\{1\}\{2\; \}\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.

Ermittle die Extremstelle von $ff$

Gegeben ist $f(x)=(x+2)\cdot {\mathrm{e}}^{-x+4}f(x)=(x+2)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x+4\}$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot e^{-x+4}+(x+2)\cdot e^{-x+4}\cdot (-1)=-(x+1)\cdot e^{-x+4}f\text{'}(x)=1\backslash cdot\; e^\{-x+4\}+(x+2)\backslash cdot\; e^\{-x+4\}\backslash cdot\; (-1)=-(x+1)\backslash cdot\; e^\{-x+4\}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=-(x+1)\cdot e^{-x+4}f\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0\; =-(x+1)\backslash cdot\; e^\{-x+4\}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x+4}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-x+4\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x+1=0\Rightarrow x=-1x+1=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-1$

Die Funktion $ff$ hat für $x=-1x=-1$ genau eine lokale Extremstelle.

Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $ff$

Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}f\_\{1\}$ mit $f_1(x)=(x+2)(2x+1)\cdot {\mathrm{e}}^{x}f\_\{1\}(x)=(x+2)(2\; x+1)\; \backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{x\}$ an

Gegeben ist $f_1(x)=(x+2)(2x+1)\cdot {\mathrm{e}}^{x}f\_\{1\}(x)=(x+2)(2\; x+1)\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}$.

Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_1(x)=0f\_1(x)=0$.

$0=(x+2)(2x+1)\cdot {\mathrm{e}}^{x}0=(x+2)(2\; x+1)\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2\vee 2x+1=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash Rightarrow\backslash ;x+2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-2\backslash vee\; 2x+1=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}$

Demnach sind $x=-2x=-2$ und $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}$ die beiden Nullstellen.

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a=0a=0$

Für $a=0a=0$ erhält man die Funktion $f_0(x)=(x+2)(2x)\cdot {\mathrm{e}}^{x}f\_\{0\}(x)=(x+2)(2x)\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}$.

Der Graph von $f_{0}f\_0$ hat die beiden Nullstellen $x=-2x=-2$ und $x=0x=0$.

(Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt, siehe auch Aufgabe a.)

Dies stimmt mit der gegebenen Abbildung 3 überein.

In Abbildung 3 ist der Graph von $f_{0}f\_0$ abgebildet.

Ermittle, für welchen Wert von $aa$ der Punkt $P(3\mid 40{\mathrm{e}}^3)P\backslash left(3\; \backslash mid\; 40\; \backslash mathrm\{e\}^\{3\}\backslash right)$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}f\_\{a\}$ liegt

Gegeben ist der Punkt $P(3\mid 40{\mathrm{e}}^3)P\backslash left(3\; \backslash mid\; 40\; \backslash mathrm\{e\}^\{3\}\backslash right)$.

Setze die Koordinaten von $PP$ in $f_a(x)=(x+2)(2x+a)\cdot {\mathrm{e}}^{x}f\_\{a\}(x)=(x+2)(2\; x+a)\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}$ ein:

Für $a=2a=2$ liegt der Punkt $P(3\mid 40{\mathrm{e}}^3)P\backslash left(3\; \backslash mid\; 40\; \backslash mathrm\{e\}^\{3\}\backslash right)$ auf dem Graphen der Funktion $f_{2}f\_\{2\}$.

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $XX$

Gegeben sind $n=100n=100$ und $p=\mathrm{0,5}p=0\{,\}5$.

Dann gilt für den Erwartungswert:

$\mu =n\cdot p=100\cdot \mathrm{0,5}=50\backslash mu=n\backslash cdot\; p=100\backslash cdot\; 0\{,\}5=50$.

Der Erwartungswert beträgt $5050$.

Für die Standardabweichung gilt:

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{100\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}=\sqrt{25}=5\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\backslash cdot\; (1-p)\}=\backslash sqrt\{100\backslash cdot\; 0\{,\}5\backslash cdot\; 0\{,\}5\}=\backslash sqrt\{25\}=5$

Die Standardabweichung beträgt $55$.

Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40\le X\le 60)P(40\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; 60)$

Bekannt ist: $P(X\ge 61)P(X\; \backslash geq\; 61)$ beträgt etwa $2\mathrm{\%}2\; \backslash \%$.

$\Rightarrow P(X\le 60)=1-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,98}\backslash Rightarrow\backslash ;P(X\backslash leq\; 60)=1-0\{,\}02=0\{,\}98$

Wegen $p=\mathrm{0,5}p=0\{,\}5$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch zum Erwartungswert $5050$.

$\Rightarrow P(X\le 39)=P(X\ge 61)\backslash Rightarrow\backslash ;P(X\backslash leq\; 39)=P(X\backslash geq\; 61)$

$\Rightarrow P(40\le X\le 60)=P(X\le 60)-P(x\le 39)=\mathrm{0,98}-\mathrm{0,02}=\mathrm{0,96}\backslash Rightarrow\backslash ;P(40\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; 60)=P(X\backslash leq\; 60)-P(x\backslash leq\; 39)=0\{,\}98-0\{,\}02=0\{,\}96$

Der zugehörige Wert für die Wahrscheinlichkeit $P(40\le X\le 60)P(40\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; 60)$ beträgt $\mathrm{0,96}0\{,\}96$.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keine "6" auftritt, $\frac{25}{36}\backslash frac\{25\}\{36\}$ beträgt

Die Wahrscheinlichkeit keine $66$ zu würfeln beträgt ${\displaystyle \frac{5}{6}}\backslash dfrac\{5\}\{6\}$.

Dann gilt mit den Pfadregeln für $P\left(\bar{6}\bar{6}\right)={\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{25}{36}}P\backslash left(\backslash overline\{6\}\backslash ;\; \backslash overline\{6\}\backslash right)=\backslash dfrac\{5\}\{6\}\backslash cdot\; \backslash dfrac\{5\}\{6\}=\backslash dfrac\{25\}\{36\}$.

Begründe für jede der folgenden Abbildungen 4, 5 und 6, dass sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $XX$ zeigt

Bekannt ist: Die beiden Würfel werden $3636$-mal geworfen. Die binomialverteilte Zufallsgröße $XX$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen keine "$66$" auftritt.

Es ist $\mu =n\cdot p=36\cdot {\displaystyle \frac{25}{36}}=25\backslash mu=n\backslash cdot\; p=36\backslash cdot\; \backslash dfrac\{25\}\{36\}=25$.

Bei Abbildung 4 liegt der Erwartungswert bei $2020$. Damit passt die Abbildung 4 nicht zum berechneten Erwartungswert $2525$.

Bei Abbildung 5 liegt der Erwartungswert zwar bei $2525$, aber die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist hier größer als $11$. (Addiert man nur die mittleren $55$ Werte, erhält man schon eine Wahrscheinlichkeit, die größer als $11$ ist.)

Es ist $n=36n=36$. Bei Abbildung 6 finden man aber noch Wahrscheinlichkeitswerte für $k>36k>36$, was ein Widerspruch ist.