A2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^{3}-x$ .

Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar.
Abbildung 1
Geben Sie die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründen Sie ihre Angabe.
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert
Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe
Betrachte das Verhalten des Graphen von $f(x)=x^{3}-x$ für $x$ gegen unendlich.
Es ist $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)=\infty$ .
Demnach entfällt Graph II (hier gilt $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)=-\infty$ ).
Graph III gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.
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Betrachte das Verhalten des Graphen von $f(x)=x^{3}-x$ für $x$ gegen unendlich.
Ein Graph gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen.
$[$ Hinweis: Die Nullstellen dürfen dabei der obigen Abbildung 1 entnommen werden. $]$
(3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen
Die abgelesenen Nullstellen des Graphen von $f$ sind $x = - 1$ bzw. $x = 1$ .
Wegen der Punktsymmetrie des Graphen von $f$ gilt:
$A=2 \cdot \displaystyle\int_{-1}^0f(x)\;\mathrm{d}x=2\cdot\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0=2\cdot\left(0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)\right)=2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$
Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen, beträgt $\dfrac{1}{2 }\;\mathrm{FE}$ .
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Lies die Nullstellen des Graphen von $f$ ab und berücksichtige bei der Flächenberechnung die Punktsymmetrie des Graphen von $f$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe

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Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von fff und die xxx-Achse einschließen

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Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen