A2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Für jedes $\mathrm{a} \in \mathbb{R}$ ist durch die Gleichung $f_{a}(x)=(x+2)(2 x+a) \cdot\mathrm{e}^{x}, x \in \mathbb{R}$ , eine Funktion $f_{a}$ gegeben.

Geben Sie die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1}(x)=(x+2)(2 x+1)\cdot \mathrm{e}^{x}$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1}(x)=(x+2)(2 x+1) \cdot\mathrm{e}^{x}$ an
Gegeben ist $f_{1}(x)=(x+2)(2 x+1)\cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
$0=(x+2)(2 x+1)\cdot \mathrm{e}^{x}$
Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$\Rightarrow\;x+2=0\;\Rightarrow\;x=-2\vee 2x+1=0\;\Rightarrow\;x=-\dfrac{1}{2}$
Demnach sind $x = - 2$ und $x=-\dfrac{1}{2}$ die beiden Nullstellen.
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Für die Nullstellen löse die Gleichung $f_{1} (x) = 0$ .
Benutze dabei den Satz vom Nullprodukt.
In Abbildung 3 ist der Graph der Funktion $f_{a}$ für ein konkretes $a$ abgebildet.
Begründen Sie, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$ . (2 P)
Abbildung 3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$
Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0}(x)=(x+2)(2x)\cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Der Graph von $f_{0}$ hat die beiden Nullstellen $x = - 2$ und $x = 0$ .
(Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt, siehe auch Aufgabe a.)
Dies stimmt mit der gegebenen Abbildung 3 überein.
In Abbildung 3 ist der Graph von $f_{0}$ abgebildet.
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Für $a = 0$ erhält man die Funktion $f_{0}(x)=(x+2)(2x)\cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Welche Nullstellen hat der Graph von $f_{0}$ ?
Vergleiche mit Abbildung 3.

Ermitteln Sie, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P\left(3 \mid 40 \mathrm{e}^{3}\right)$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt. (2 P)

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$\displaystyle 40 \mathrm{e}^{3}$	$=$	$\displaystyle (3+2)(2 \cdot 3+a)\cdot \mathrm{e}^{3}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 40 \mathrm{e}^{3}$	$=$	$\displaystyle 5\cdot(6+a)\cdot \mathrm{e}^{3}$	$\displaystyle :\mathrm{e}^{3}$
$\displaystyle 40$	$=$	$\displaystyle 30+5a$	$\displaystyle -30$
$\displaystyle 10$	$=$	$\displaystyle 5a$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle a$

Aufgabe 3

Gib die Nullstellen der Funktion f1f_{1}f1​ mit f1(x)=(x+2)(2x+1)⋅exf_{1}(x)=(x+2)(2 x+1) \cdot\mathrm{e}^{x}f1​(x)=(x+2)(2x+1)⋅ex an

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Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: a=0a=0a=0

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Ermittle, für welchen Wert von aaa der Punkt P(3∣40e3)P\left(3 \mid 40 \mathrm{e}^{3}\right)P(3∣40e3) auf dem Graphen der Funktion faf_{a}fa​ liegt

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Gib die Nullstellen der Funktion $f_{1}$ mit $f_{1}(x)=(x+2)(2 x+1) \cdot\mathrm{e}^{x}$ an

Begründe, dass für den Graphen in Abbildung 3 gilt: $a = 0$

Ermittle, für welchen Wert von $a$ der Punkt $P\left(3 \mid 40 \mathrm{e}^{3}\right)$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt