B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}, x \in \mathbb{R}$ .

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.

$P_{u}(u \mid f(u))$ ist ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f$ .

$P_{u}$ legt zusammen mit $N(1 \mid 0)$ und $F_{u}(u \mid 0)$ das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ fest.

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt
Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
$P_{2}$ stimmt mit dem Hochpunkt von $f$ überein.
Demnach ist $P_{2}(2 \mid f(2))$ und $f(2)=10 \cdot(2-1) \cdot \mathrm{e}^{-2}\approx1{,}35\;\Rightarrow\;P_2(2\mid 1{,}35)$ .
Zeichne $N(1 \mid 0)$ und $F_{2}(2 \mid 0)$ in Abbildung 1 ein und markiere den Hochpunkt $P_2(2\mid 1{,}35)$ . Verbinde zu einem Dreieck.
Abbildung 1
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Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
$P_{2}$ stimmt mit dem Hochpunkt von $f$ überein.
Zeichne $N(1 \mid 0)$ und $F_{2}(2 \mid 0)$ in Abbildung 1 ein und markiere den Hochpunkt.
Verbinde zu einem Dreieck.
Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks
Bekannt sind $N(1 \mid 0)$ , $F_{2}(2 \mid 0)$ und $P_2(2\mid 1{,}35)$ .
Dann gilt für die Dreiecksfläche:
$A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot(2-1)\cdot f(2)\approx \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1{,}35=0{,}675$
Der Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks beträgt rund $0{,}675\;\mathrm{FE}$ .
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Bekannt sind $N(1 \mid 0)$ , $F_{2}(2 \mid 0)$ und $P_2(2\mid 1{,}35)$ .
Dann gilt für die Dreiecksfläche $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$ .
Setze die Werte für $g$ und $h$ ein.
Untersuchen Sie, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2\;\mathrm{FE}$ hat. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Untersuche, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2\;\mathrm{FE}$ hat
Für die Dreiecksfläche gilt: $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$ .
Dabei ist $g = u - 1$ und $h=f(u)\;\Rightarrow\;A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot(u-1)\cdot 10 \cdot(u-1) \cdot \mathrm{e}^{-u}$ .
$\Rightarrow\;A_\triangle=5\cdot(u-1)^2 \cdot \mathrm{e}^{-u}$
Es soll gelten: $A_\triangle=2$ .
Löse die Gleichung $5\cdot(u-1)^2 \cdot \mathrm{e}^{-u}=2$ .
Mit dem CAS-Rechner erhält man $u\approx0{,}2745$ .
Man kann also den Punkt $P_{0{,}2745}(0{,}2745\mid f(0{,}2745))$ auf dem Graphen von $f$ so wählen, dass das zugehörige Dreieck $N F_{_{0{,}2745}} P_{_{0{,}2745}}$ den Flächeninhalt $2\;\mathrm{FE}$ hat.
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Für die Dreiecksfläche gilt: $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$ .
Dabei ist $g = u - 1$ und $h=f(u)\;\Rightarrow\;A_\triangle$ .
Löse die Gleichung $A_\triangle=2\;\Rightarrow\;u_1$ .
Es gibt einen Punkt $P_{u_1}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck NFuPuN F_{u} P_{u}NFu​Pu​ ein, das sich ergibt, wenn PuP_{u}Pu​ mit dem Hochpunkt von fff übereinstimmt

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Bestimme den Flächeninhalt des in a) gezeichneten Dreiecks

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Untersuche, ob PuP_{u}Pu​ so auf dem Graphen von fff gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck NFuPuN F_{u} P_{u}NFu​Pu​ den Flächeninhalt 2 FE2\;\mathrm{FE}2FE hat

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Zeichne in Abbildung 1 das Dreieck $N F_{u} P_{u}$ ein, das sich ergibt, wenn $P_{u}$ mit dem Hochpunkt von $f$ übereinstimmt

Untersuche, ob $P_{u}$ so auf dem Graphen von $f$ gewählt werden kann, dass das zugehörige Dreieck $N F_{u} P_{u}$ den Flächeninhalt $2\;\mathrm{FE}$ hat