B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Ein weiteres Unternehmen verwendet als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{I J}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $I J$ .

Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse mit $I (4 | 3 | 2), J (8 | 6 | - 1)$ und $K (6 | 5 | 1)$ jeweils die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ .

Zeigen Sie, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $I J$ sind. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $I J$ sind
Berechne die Länge der Strecken $I J$ , $J K$ und $K I$ :
$\vec{I J} = (\begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) \Rightarrow | \vec{I J} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{34} \approx 5,831$
$\vec{J K} = (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) \Rightarrow | \vec{J K} | = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$
$\vec{K I} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow | \vec{J K} | = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9} = 3$
Die Strecken $J K$ und $K I$ haben die gleiche Länge, d.h sie sind die Schenkel des Dreiecks und die Seite $I J$ ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks.
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Berechne die Länge der Strecken $I J$ , $J K$ und $K I$ und vergleiche.
Berechnen Sie den geheimen Code. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
Berechne den geheimen Code
Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{I J}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $I J$ besteht.
Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks:
Dazu wird die Mitte $M$ der Strecke $I J$ benötigt.
$\vec{O M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O I} + \vec{O J}) = \frac{1}{2} \cdot ((\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ - 1 \end{array})) = (\begin{array}{c} 6 \\ 4,5 \\ 0,5 \end{array})$
Dann ist:
$h = | \vec{O K} - \vec{O M} | = | (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 4,5 \\ 0,5 \end{array}) | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 0,5 \\ 0,5 \end{array}) | = \sqrt{0^{2} + {0,5}^{2} + {0,5}^{2}} = \sqrt{0,5}$
$h = \sqrt{0,5} \approx 0,707106..$
Der geheime Code ist somit $707$ .
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Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{I J}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $I J$ besteht.
Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks mithilfe der Mitte $M$ der Strecke $I J$ $\Rightarrow h = | \vec{O K} - \vec{O M} |$ .
Lies die ersten drei Nachkommastellen ab.
Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $I J L$ mit der Basis $I J$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I, J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in b) berechnete geheime Code ergeben.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L$
Berechne den Spiegelpunkt von $K (6 | 5 | 1)$ :
Es ist $\vec{O M} = (\begin{array}{c} 6 \\ 4,5 \\ 0,5 \end{array})$ und $\vec{K M} = \vec{O M} - \vec{O K} = (\begin{array}{c} 6 \\ 4,5 \\ 0,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 0,5 \\ - 0,5 \end{array})$
$\Rightarrow \vec{O L} = \vec{O K} + 2 \cdot \vec{K M} = (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 0,5 \\ - 0,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 4 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow L (6 | 4 | 0)$
Die Koordinaten eines geeigneten Punktes sind $L (6 | 4 | 0)$ .
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Berechne den Spiegelpunkt von $K (6 | 5 | 1)$ .
Berechne $\vec{O L} = \vec{O K} + 2 \cdot \vec{K M}$ mit $\vec{K M} = \vec{O M} - \vec{O K}$ und $\vec{O M}$ aus Aufgabe b).

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Zeige, dass I,J und K die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis IJ sind

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Berechne den geheimen Code

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Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes L

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Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $I J$ sind

Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L$