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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Bei einem Secret-Sharing-Verfahren wird ein Geheimnis in Teilgeheimnisse auf verschiedene Personen aufgeteilt, um die Verantwortung in mehrere Hände zu legen. Es kann sinnvoll sein, dass ein geheimer Code, z.B. zum Öffnen eines Tresors, nicht einer Person allein bekannt ist, sondern lediglich von mehreren Personen gemeinsam ermittelt werden kann.
Unternehmen können ein solches Verfahren beispielsweise auf geometrischer Basis realisieren. Hierbei kann eine Auswahl von Mitarbeitenden mit Kenntnissen über notwendige Teilgeheimnisse den geheimen Code ermitteln, indem sie ihre Teilgeheimnisse in ein Computersystem eingeben, welches mit den Eingaben geometrische Fragestellungen löst.
Vereinfachend wird im Folgenden angenommen, dass der zu ermittelnde geheime Code immer aus drei Ziffern besteht.
Das Computersystem kennt die Gerade $g$ mit
$g : \vec{x} = (\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}), t \in ℝ$
Die Punkte $A (0 | - 3 | - 1), B (4 | 2 | 1)$ und $C (1 | - 1 | - 1)$ liegen in einer Ebene $H$ . Drei eingeweihte Mitarbeiter kennen als Teilgeheimnisse die Koordinaten von jeweils einem dieser Punkte. Der geheime Code wird durch die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $H$ ermittelt.
1. Die Koordinaten der Punkte $A, B$ und $C$ werden ins System eingegeben.
  Berechnen Sie den geheimen Code. (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Berechne den geheimen Code
  Gegeben sind die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}), t \in ℝ$ und die Punkte $A (0 | - 3 | - 1), B (4 | 2 | 1)$ und $C (1 | - 1 | - 1)$ , die in einer Ebene $H$ liegen.
  Bestimme die Gleichung der Ebene H:
  $H : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A C}$
  $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array})$
  $\vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
  Dann ist $H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
  Schneide g mit H:
  $(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 5 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  Man erhält ein lineares Gleichungssystem:
  $\begin{array}{cccccccl} (I) : 4 r & + & s & - & 4 t & = & 1 \\ (I I) : 5 r & + & 2 s & + & 2 t & = & 6 \\ (I I I) : 2 r & + & 0 s & + & t & = & 5 \end{array}$
  Der TR liefert die Lösung $r = 2, s = - 3$ und $t = 1$ .
  Für die Berechnung des Schnittpunktes setze $t = 1$ in die Geradengleichung ein.
  $\vec{O S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 4 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow S (5 | 1 | 3)$
  Der geheime Code ist dann 513.
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  Gegeben sind die Punkte $A (0 | - 3 | - 1), B (4 | 2 | 1)$ und $C (1 | - 1 | - 1)$ , die in einer Ebene $H$ liegen.
  Schneide $g$ mit $H$ $\Rightarrow$ lineares Gleichungssystem $\Rightarrow$ Der TR liefert die Lösung.
  Für die Berechnung des Schnittpunktes setze $t$ in die Geradengleichung ein $\Rightarrow S (x_{1} | x_{2} | x_{3}) \Rightarrow$ Code $x_{1} x_{2} x_{3}$ .
2. Der Punkt $S$ liegt nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$ . Ein vierter Mitarbeiter erhält den Punkt $D (12 | 12 | 5)$ als Teilgeheimnis. Der Punkt $D$ liegt in der Ebene $H$ .
  Begründen Sie, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor – Umwandeln von Ebenendarstellungen
  Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann
  Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ durch die Punkte $A$ und $B$ :
  $h : \vec{x} = \vec{O A} + u \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + u \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array})$
  Prüfe, ob der Punkt $D \in h$ ist:
  $(\begin{array}{c} 12 \\ 12 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + u \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 12 \\ 15 \\ 6 \end{array}) = u \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array})$
  Man erhält $u = 3$ als Lösung für alle drei Gleichungen, d.h. $D \in h$ .
  Somit kann keine Ebene mit den drei Punkten $A, B$ und $D$ gebildet werden.
  Das hat zur Folge, dass die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ nicht bestimmt werden können und das System kann keinen geheimen Code berechnen.
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  Erstelle die Gleichung der Geraden $h$ durch die Punkte $A$ und $B$ .
  Prüfe, ob der Punkt $D \in h$ ist.
  Liegt $D$ auf der Geraden $h$ , dann kann keine Ebene mit den drei Punkten $A, B$ und $D$ gebildet werden.
  Das hat zur Folge, dass die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ nicht bestimmt werden können.
3. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten eines von $C$ und $S$ verschiedenen Punktes $E$ so, dass durch die Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $E$ der geheime Code ermittelbar ist. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
  Bestimme rechnerisch die Koordinaten eines von $C$ und $S$ verschiedenen Punktes $E$ so, dass durch die Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $E$ der geheime Code ermittelbar ist
  Bekannt sind $H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + u \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array})$ .
  Berechne die Koordinaten eines Punktes $E \in H$ .
  Setze z.B. $r = 1$ und $s = - 1$ in $H$ ein:
  $H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow E (3 | 0 | 1)$
  Vergleiche $E (3 | 0 | 1)$ mit $A (0 | - 3 | - 1), B (4 | 2 | 1)$ , $C (1 | - 1 | - 1)$ und $S (5 | 1 | 3)$ .
  Der Punkt $E$ ist verschieden zu den Punkten $A, B, C$ und $S$ .
  Wegen $s \neq 0$ liegt der Punkt $E$ auch nicht auf der Geraden $h$ .
  Der Punkt $E$ eignet sich also für die Bestimmung des geheimen Codes.
  Durch die Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $E (3 | 0 | 1)$ ist der geheime Code ermittelbar.
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  Bekannt sind $H : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + u \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2 \end{array})$ .
  Berechne die Koordinaten eines Punktes $E \in H$ , indem für $r$ und $s$ Werte ungleich $0$ eingesetzt werden $\Rightarrow E$ .
  Vergleiche $E$ mit $A, B, C$ und $S$ .
  Prüfe oder argumentiere, dass $E$ auch nicht auf $h$ liegt.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Für ein $a \in ℝ$ ist die Gerade $h_{a} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 a \\ - 7 \\ a \end{array}), s \in ℝ$ , gegeben. Die Koordinaten des Schnittpunktes $S (5 | 1 | 3)$ der Geraden $g$ aus Aufgabe 1 mit der Geraden $h_{a}$ sind der geheime Code.
1. Bestimmen Sie $a \in ℝ$ so, dass sich $g$ und $h_{a}$ im Punkt $S$ schneiden. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Gerade (Inzidenz)
  Bestimme $a \in ℝ$ so, dass sich $g$ und $h_{a}$ im Punkt $S$ schneiden
  Da $S \in g$ muss auch $S \in h_{a}$ sein.
  Setze $S$ in $h_{a}$ ein:
  $(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 3 a \\ - 7 \\ a \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} 12 \\ - 7 \\ 4 \end{array}) = s \cdot (\begin{array}{c} 3 a \\ - 7 \\ a \end{array})$
  Aus Gleichung II folgt $s = 1$ .
  $s = 1$ in Gleichung I eingesetzt ergibt $12 = 1 \cdot 3 \cdot a \Rightarrow a = 4$
  Überprüfung mit Gleichung III: $4 = 1 \cdot 4 ✓$
  Für $a = 4$ schneiden sich $g$ und $h_{a}$ im Punkt $S$ .
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  Da $S \in g$ muss auch $S \in h_{a}$ sein.
  Setze $S$ in $h_{a}$ ein und löse nach $a$ auf.
2. Eingeweihte Mitarbeitende sollen als Teilgeheimnisse jeweils die Koordinaten eines von $S$ verschiedenen Punktes erhalten, der auf der Geraden $h_{4}$ liegt.
  Geben Sie die Koordinaten eines von $(- 7 | 8 | - 1)$ und $S$ verschiedenen Punktes $P$ an, der als Teilgeheimnis geeignet ist. $(1 P)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
  Gib die Koordinaten eines von $(- 7 | 8 | - 1)$ und $S$ verschiedenen Punktes $P$ an, der als Teilgeheimnis geeignet ist
  Gegeben sind $S (5 | 1 | 3)$ und $h_{4} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ - 7 \\ 4 \end{array})$ .
  Setze z.B. $s = - 1$ in $h_{4}$ ein $\Rightarrow \vec{O P} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ - 7 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 19 \\ 15 \\ - 5 \end{array})$
  Der Punkt $P (- 19 | 15 | - 5)$ ist ein Punkt, für den gilt $P \in h_{4}$ und er stimmt nicht mit $(- 7 | 8 | - 1)$ und $S (5 | 1 | 3)$ überein.
  Der Punkt $P$ ist als Teilgeheimnis geeignet.
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  Gegeben sind $S (5 | 1 | 3)$ und $h_{4} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 7 \\ 8 \\ - 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ - 7 \\ 4 \end{array})$ .
  Setze einen Wert für $s$ in $h_{4}$ ein $\Rightarrow P$ . Beachte $s \neq 0$ und $s \neq 1$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Ein weiteres Unternehmen verwendet als geheimen Code die ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{I J}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $I J$ .
Drei eingeweihte Mitarbeitende kennen als Teilgeheimnisse mit $I (4 | 3 | 2), J (8 | 6 | - 1)$ und $K (6 | 5 | 1)$ jeweils die Koordinaten eines Eckpunktes des gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ .
1. Zeigen Sie, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $I J$ sind. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
  Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $I J$ sind
  Berechne die Länge der Strecken $I J$ , $J K$ und $K I$ :
  $\vec{I J} = (\begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ - 3 \end{array}) \Rightarrow | \vec{I J} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{34} \approx 5,831$
  $\vec{J K} = (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) \Rightarrow | \vec{J K} | = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$
  $\vec{K I} = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow | \vec{J K} | = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9} = 3$
  Die Strecken $J K$ und $K I$ haben die gleiche Länge, d.h sie sind die Schenkel des Dreiecks und die Seite $I J$ ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks.
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  Berechne die Länge der Strecken $I J$ , $J K$ und $K I$ und vergleiche.
2. Berechnen Sie den geheimen Code. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichschenkliges Dreieck
  Berechne den geheimen Code
  Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{I J}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $I J$ besteht.
  Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks:
  Dazu wird die Mitte $M$ der Strecke $I J$ benötigt.
  $\vec{O M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O I} + \vec{O J}) = \frac{1}{2} \cdot ((\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 8 \\ 6 \\ - 1 \end{array})) = (\begin{array}{c} 6 \\ 4,5 \\ 0,5 \end{array})$
  Dann ist:
  $h = | \vec{O K} - \vec{O M} | = | (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 4,5 \\ 0,5 \end{array}) | = | (\begin{array}{c} 0 \\ 0,5 \\ 0,5 \end{array}) | = \sqrt{0^{2} + {0,5}^{2} + {0,5}^{2}} = \sqrt{0,5}$
  $h = \sqrt{0,5} \approx 0,707106..$
  Der geheime Code ist somit $707$ .
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  Bekannt ist, dass der geheime Code aus den ersten drei Nachkommastellen der ungerundeten Länge der Höhe $h_{I J}$ eines gleichschenkligen Dreiecks $I J K$ mit der Basis $I J$ besteht.
  Berechne die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks mithilfe der Mitte $M$ der Strecke $I J$ $\Rightarrow h = | \vec{O K} - \vec{O M} |$ .
  Lies die ersten drei Nachkommastellen ab.
3. Ein weiterer Mitarbeitender soll die Koordinaten eines von $K$ verschiedenen Punktes $L$ erhalten, der wie $K$ zusammen mit den Punkten $I$ und $J$ ein gleichschenkliges Dreieck $I J L$ mit der Basis $I J$ bildet. Auch aus den Koordinaten von $I, J$ und $L$ soll sich in gleicher Weise wie oben beschrieben der in b) berechnete geheime Code ergeben.
  Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung Punkt an Punkt
  Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L$
  Berechne den Spiegelpunkt von $K (6 | 5 | 1)$ :
  Es ist $\vec{O M} = (\begin{array}{c} 6 \\ 4,5 \\ 0,5 \end{array})$ und $\vec{K M} = \vec{O M} - \vec{O K} = (\begin{array}{c} 6 \\ 4,5 \\ 0,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 0,5 \\ - 0,5 \end{array})$
  $\Rightarrow \vec{O L} = \vec{O K} + 2 \cdot \vec{K M} = (\begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 0,5 \\ - 0,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 4 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow L (6 | 4 | 0)$
  Die Koordinaten eines geeigneten Punktes sind $L (6 | 4 | 0)$ .
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  Berechne den Spiegelpunkt von $K (6 | 5 | 1)$ .
  Berechne $\vec{O L} = \vec{O K} + 2 \cdot \vec{K M}$ mit $\vec{K M} = \vec{O M} - \vec{O K}$ und $\vec{O M}$ aus Aufgabe b).

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B3

Aufgabe 1

Berechne den geheimen Code

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Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der PunkteA,B und D das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann

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Bestimme rechnerisch die Koordinaten eines von C und S verschiedenen Punktes E so, dass durch die Eingabe der Koordinaten der Punkte A,B und E der geheime Code ermittelbar ist

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Aufgabe 2

Bestimme a∈ℝ so, dass sich g und ha im Punkt S schneiden

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Gib die Koordinaten eines von (−7|8|−1) und S verschiedenen Punktes P an, der als Teilgeheimnis geeignet ist

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Aufgabe 3

Zeige, dass I,J und K die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis IJ sind

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Berechne den geheimen Code

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Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes L

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Begründe, warum bei der Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $D$ das System den geheimen Code trotzdem nicht ermitteln kann

Bestimme rechnerisch die Koordinaten eines von $C$ und $S$ verschiedenen Punktes $E$ so, dass durch die Eingabe der Koordinaten der Punkte $A, B$ und $E$ der geheime Code ermittelbar ist

Bestimme $a \in ℝ$ so, dass sich $g$ und $h_{a}$ im Punkt $S$ schneiden

Gib die Koordinaten eines von $(- 7 | 8 | - 1)$ und $S$ verschiedenen Punktes $P$ an, der als Teilgeheimnis geeignet ist

Zeige, dass $I, J$ und $K$ die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Basis $I J$ sind

Ermittle rechnerisch die Koordinaten eines geeigneten Punktes $L$