B4 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Im Jahr 2018 wurden in Nordrhein-Westfalen etwa $390000$ praktische Führerscheinprüfungen abgelegt. Der relative Anteil von bestandenen Prüfungen lag in dem Jahr bei etwa $70 %$ . Für eine Fahrschule, in der n praktische Prüfungen durchgeführt werden, beschreibt im Folgenden die Zufallsgröße $X$ jeweils die Anzahl an bestandenen Prüfungen. Es wird vereinfachend angenommen, dass X stets binomialverteilt ist.

Bei einer Fahrschulkette geht man am Standort Düsseldorf für das Jahr 2021 von insgesamt $250$ praktischen Führerscheinprüfungen aus. Im Modell wird angenommen, dass $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ ist.

Ermitteln Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“
E2: „Es werden mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“
(8 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit
E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“
$X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
Berechne $P(X\leq 160)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}0{,}160)\approx0{,}0240$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,024$ .
E2: „Es werden mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“
Berechne $80 %$ von $250 \;\Rightarrow\;0{,}8\cdot 250=200$ .
Dann ist $P(X\geq 200)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}200{,}250)\approx0{,}00023$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden werde, beträgt etwa $0,00023$ .
E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung:
$\mu=n\cdot p=250\cdot 0{,}7=175$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{250\cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3}\approx7{,}25$
Dann wird gesucht:
$P= 1-P(175-7{,}25\leq X\leq 175+7{,}25)$ .
Das ergibt gerundet: $1-P(168\leq X\leq 182)=1-\text{binomPdf}(250{,}0.7{,}168{,}182)\approx1-0{,}6995=0{,}3005$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, beträgt rund $0,3005$ .
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Bekannt ist: $X$ binomialverteilt mit $p = 0,7$ und $n = 250$ .
E1: Berechne $P(X\leq 160)$ .
E2: Berechne $80 %$ von $250 \;\Rightarrow\;x_1$ . Berechne $P(X\geq x_1)$ .
E3: Berechne den Erwartungswert $\mu=n\cdot p=\mu_1$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sigma_1$ .
Berechne $1-P(\mu_1-\sigma_1\leq X\leq \mu_1+\sigma_1)$ . Achte auf die richtige Rundung der Werte.
Im Folgenden ist $k$ eine ganze Zahl mit $0 \leq k \leq 250$ .
(i) Bestimmen Sie für $k = 165$ die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq k)$ , dass mindestens $k$ praktische Prüfungen bestanden werden.
(ii) Beschreiben Sie, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von $k$ verändert wird.
(iii) Die Wahrscheinlichkeit, für mindestens $k$ bestandene praktische Prüfungen soll kleiner oder gleich $60 %$ sein.
Ermitteln Sie, wie groß $k$ in diesem Fall mindestens gewählt werden muss.
(6 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden
Berechne $P(X\geq 165)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}165{,}250)\approx0{,}9251$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden, beträgt etwa $0,9251$ .
(ii) Beschreibe, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von $k$ verändert wird
Wird $k$ größer als $165$ gewählt, dann verringert sich das Intervall $(X\geq k)$ und die Wahrscheinlichkeit wird kleiner.
Z.B. $P(X\geq 170)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}170{,}250)\approx0{,}7772$
oder $P(X\geq 175)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}175{,}250)\approx0{,}5311$ .
Wird dagegen $k$ kleiner als $165$ gewählt, dann vergrößert sich das Intervall $(X\geq k)$ und die Wahrscheinlichkeit wird größer.
Z.B. $P(X\geq 160)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}160{,}250)\approx0{,}9826$
oder $P(X\geq 155)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}155{,}250)\approx0{,}9972$ .
(iii) Ermittle, wie groß $k$ in diesem Fall mindestens gewählt werden muss
Berechne $P(X\geq k)=\text{binomCdf}(250{,}0.7,k,250)\leq 0{,}6$ .
Setze für $k$ Werte ein.
Für $k = 173$ erhält man: $P(X\geq 173)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}173{,}250)\approx0{,}6380>0{,}6$
Für $k = 174$ erhält man:
$P(X\geq 174)=\text{binomCdf}(250{,}0.7{,}174{,}250)\approx0{,}5854<0{,}6$
Der Wert von $k$ muss mindestens $174$ sein.
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(i)
Berechne $P(X\geq 165)$ .
(ii)
Wird $k$ größer als $165$ gewählt, dann verringert sich das Intervall $(X\geq k)$ . Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit?
Wird dagegen $k$ kleiner als $165$ gewählt, dann vergrößert sich das Intervall $(X\geq k)$ . Was bedeutet das für die Wahrscheinlichkeit?
(iii)
Berechne $P(X\geq k)\leq 0{,}6$ . Setze für $k$ Werte ein, bis die berechnete Wahrscheinlichkeit kleiner oder gleich $0,6$ ist.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit

E1: „Es werden höchstens 160160160 praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mindestens 80 %80\;\%80% der praktischen Prüfungen bestanden.“

E3: „Die Anzahl der bestandenen praktischen Prüfungen weicht um mindestens eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“

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(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 165165165 praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Beschreibe, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von kkk verändert wird

(iii) Ermittle, wie groß kkk in diesem Fall mindestens gewählt werden muss

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E1: „Es werden höchstens $160$ praktische Prüfungen bestanden.“

E2: „Es werden mindestens $80 %$ der praktischen Prüfungen bestanden.“

(i) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $165$ praktische Prüfungen bestanden werden

(ii) Beschreibe, wie sich die in (i) bestimmte Wahrscheinlichkeit ändert, wenn der Wert von $k$ verändert wird

(iii) Ermittle, wie groß $k$ in diesem Fall mindestens gewählt werden muss